Méthodes linéaires et quasi-linéaires

Nous proposons différentes méthodes d’estimation “auto-initialisantes”, c’est à dire ne nécessitant pas d’ini-tialisation externe. Ces méthodes sont linéaires ou quasi-linéaires. Cette section est organisée d’une manière stratifiée : nous examinons tout d’abord le cas projectif, puis affine, en enfin les cas métrique et Euclidien. Deux catégories de méthodes apparaissent dans le cas projectif. Les méthodes basées sur l’estimation de la matrice d’homographie (4× 4) usuelle et celles basées sur l’estimation de la matrice d’homographie (6 × 6) pour

droites 3D. On retrouve ces deux catégories de méthodes dans le cas affine. Pour les cas métrique et Euclidien, on propose des méthodes spécifiques prenant en compte les contraintes non-linéaires d’orthonormalité sur les matrices de rotation, et des méthodes basées sur l’estimation d’une affinité puis l’extraction de la transformation recherchée.

Contrairement au maximum de vraisemblance, ces méthodes n’estiment que le mouvement. Elles mini-misent une erreur de transfert, exprimée entre des primitives transférées de la première vers la deuxième re-construction.

La différence fondamentale entre les méthodes basées sur une matrice de mouvement usuelle (4× 4) et

celles basées sur une matrice de mouvement pour droites 3D (6× 6) réside dans la forme de la fonction de coût

minimisée. Cette différence est similaire à celle observée au chapitre 6, pour la reconstruction de droites, entre l’algorithme de Hartley [92] et les algorithmes proposés : on montre en §6.3.1, chapitre 6, que l’algorithme de Hartley minimise une fonction de coût de forme “duale” à celle de l’erreur de reprojection. Ici, dans le cas d’une fonction de coût exprimée dans les images, les méthodes basées sur une matrice de mouvement usuelle minimisent une erreur “duale” à l’erreur de reprojection, exprimée à partir de distances entre des points prédits et des droites observées. Ces méthodes peuvent utiliser des données minimales ou redondantes et le résultat est obtenu directement. Elle peuvent facilement être combinées avec des correspondances de points ou de plans. Les méthodes basées sur une matrice de mouvement pour droites 3D minimisent une erreur de transfert exprimée avec des distances entre des droites prédites et des points observés, dont la forme est proche de celle de l’erreur de reprojection. La fonction de coût est donc de forme proche de celle du maximum de vraisemblance. Cependant, le mouvement, en espace projectif, n’est obtenu qu’après une phase d’extraction, introduisant un biais par rapport à la fonction de coût minimisée2En espaces affine, métrique et Euclidien, le calcul peut aussi être découpé en deux phases d’estimation. Ces méthodes ne sont pas minimales, et elles sont difficilement combinables avec d’autres types de correspondances.

8.5.1 Cas projectif

Comme introduit ci-dessus, nous proposons deux catégories de méthodes. La première est “directe” dans le sens où les coefficients de la matrice d’homographie usuelle sont estimés directement. Elle est basée sur une représentation différente des droites dans les deux bases. La deuxième catégorie de méthodes est basée sur l’estimation des coefficients d’une matrice d’homographie pour droites 3D, d’où est ensuite extraite la matrice d’homographie usuelle recherchée. Dû au bruit dans les données, la matrice (6× 6) estimée ne satisfait pas

exactement les contraintes de consistance formulées au chapitre 7, §7.2.2.2. L’étape d’extraction introduit donc un biais dans l’estimation, voir la méthode donnée en §7.4, chapitre 7.

2

La phase d’extraction consiste à extraire une matrice d’homographie usuelle d’une matrice(6 × 6) estimée de manière linéaire, et en général proche d’une matrice d’homographie pour droites 3D.

8.5. MÉTHODES LINÉAIRES ET QUASI-LINÉAIRES 185

8.5.1.1 Méthodes basées sur la matrice d’homographie usuelle

Nous proposons trois méthodes. La méthode LIN_3D est basée sur des contraintes exprimées en 3D et la méthode LIN_2D sur des contraintes basées image. Ces deux premières méthodes induisent des fonctions de coût basées sur des distances algébriques. La troisième méthode proposée, QLIN_2D, est la quasi-linéarisation de la méthodeLIN_2D, et minimise une erreur exprimée à l’aide d’une distance Euclidienne.

L’idée clef de ces méthodes est de considérer une représentation différente pour chaque reconstruction de droites. Les droites de la première reconstruction sont représentées à l’aide de points, et celles de la deuxième par une représentation duale, des plans dans le cas des contraintes 3D, et une droite dans le cas des contraintes basées image. Cette idée exploite le fait que la matrice d’homographie usuelle permet un transfert linéaire des coordonnées homogènes des points.

Ces méthodes peuvent être facilement combinées avec des correspondances de points, dans le cas de don-nées redondantes, ou pour des méthodes minimales, comme indiqué dans le tableau 8.1.

Contraintes 3D - méthodeLIN_3D. Suivons l’idée évoquée ci-dessus et illustrée pour le cas 3D sur la figure 8.2. Considérons une correspondance de droites Lj ↔ L

j, et notons H la matrice d’homographie usuelle

Q_j1 Q_j2 Q^_j1 Q^_j2 G G Lj L^j Π^_j1 Π^_j2

FIG. 8.2 – Le principe de la formulation de contraintes 3D linéaires sur les coefficients de la matrice de mouve-ment usuelle G : les droites de la première reconstruction sont représentées par des points et celle de la deuxième reconstruction par des plans. L’erreur est mesurée entre les points transférés de la première vers la deuxième base et les plans de la deuxième base.

inconnue reliant les deux reconstructions. NotonsQjkun ensemble de points sur la droiteLj. Les coordonnées homogènes des points correspondants (inconnus) Q^jkdans la deuxième base peuvent être écrites comme une fonction linéaire de la matrice H : Q

jk ∼ HQjk. Les droitesLj et L^j étant correspondantes, on en déduit qu’en l’absence de bruit, Q^_jk ∈ L

j. Nous désirons exprimer ces contraintes par des équations linéaires en les coefficients de la matrice H. Notons Π^_jlun ensemble de plans contenant L^_j. Chacun des pointsQ^_jk est contenu sur chacun des plansΠ^jl, ce qui s’exprime algébriquement par :

ΠT

jlHQ_jk = 0. (8.3)

Cette équation est linéaire en la matrice H. Un minimum de deux points ou plans est nécessaire pour représenter une droite 3D. Si nous écrivons la contrainte (8.3) pour k = 1, 2 et l = 1, 2, nous obtenons 4 équations, correspondant aux 4 contraintes fournies par une correspondance de droites sur le mouvement. En pratique,

nous utilisons plus de points et de plans afin de repartir l’erreur le long de la droite : plus les points sont bien répartis dans l’espace et plus les plans sont uniformément distribués autour de la droite, plus l’estimation est stable. Un choix possible pour les points est la reconstruction des extrémités des droites détectées dans les images, et pour les plans, les plans de vue de la droite, formés par la droite et les centres de projection des caméras.

Chaque équation peut être intégrée à un système homogène pour un vecteur-16 inconnu h, défini comme la vectorisation par ligne de la matrice H. En supposant que r ≥ 2 points et s ≥ 2 plans sont utilisés, nous

obtenons un ensemble de rs ≥ 4 équations, dont seules 4 sont indépendantes. Pour m correspondances de

droites, le système est donc de taille (mrs× 16)3et s’écrit sous forme matricielle comme :

A_(mrs×16)h_(16×1) = 0_(mrs×1) avec A ∼  Π ^{· · ·} jl,1^QTjk Π jl,2^QTjk Π jl,3^QTjk Π jl,4^QTjk · · ·   , (8.4) où Π^T_jl = (Πjl,1 ^Πjl,2 ^Πjl,3 ^Πjl,4^{). En pratique, dû au bruit dans les mesures, le rang de la matrice A est 16.} La solution pour h sous la contrainteh2 = 1 est alors donnée par le vecteur singulier associé à la plus petite

valeur singulière de la matrice A, voir le chapitre 2, §2.6.1. La méthode proposée minimise la fonction de coût suivante :

Ah2 = · · · + (Π^TjlHQ_jk)²+· · ·

= · · · + d2

A_P H(HQ_jk, Π

jl) +· · · ,

où dA_P Hest la distance algébrique point-plan définie par l’équation (2.19), dont la valeur dépend de l’échelle libre des coordonnées homogènes Q

jket Π

jl. La minimisation d’une erreur exprimée sur des quantités 3D n’a pas de sens physique en espace projectif.

Contraintes basées image - méthodeLIN_2D. Nous suivons un raisonnement inspiré du cas 3D et illustré sur la figure 8.3. Nous utilisons un ensemble de pointsQjk ∈ Lj. Le but est d’exprimer les contraintesQ^jk∈

L^j avec Q

jk ∼ HQjk, par des équations linéaires en la matrice H. La différence avec le cas 3D précédent est que nous désirons exprimer ces contraintes basées sur des entités mesurées dans les images. Considérons le deuxième jeu de caméras. La projection perspective préserve les relations d’incidence : les projections des points Q^_jk se trouvent donc sur les images de L^j. Notons P

i
les matrices de projection du deuxième jeu de caméras etl^i
j les images correspondantes de la droite L^j. Les points transférés puis reprojetés s’écrivent

ˆ

q

i
jk∼ P

i
HQ_jk. La contrainte ˆq^i
jk∈ l^i
js’exprime algébriquement par : lT

i
jP

i
HQ_jk = 0. (8.5)

Cette équation est linéaire en la matrice H. Le nombre minimum d’images pour reconstruire une droite 3D est deux. Si nous écrivons la contrainte (8.3) pour k = 1, 2 et i _{= 1, 2, nous obtenons 4 équations, correspondant} aux 4 contraintes fournies par une correspondance de droites sur le mouvement. En pratique, comme dans le cas 3D, nous utilisons plus de points et d’images afin de repartir l’erreur le long de la droite. Pour les droites image, un choix naturel est d’utiliser toutes les images disponibles, permettant de repartir l’erreur minimisée sur toutes ces dernières.

Chaque équation peut être intégrée à un système homogène pour le vecteur-16 inconnu h, défini comme dans le cas 3D par la vectorisation par ligne de la matrice H. En supposons que r≥ 2 points et n ≥ 2 droites

images sont utilisés, nous obtenons un ensemble de rn ≥ 4 équations, dont seules 4 sont indépendantes. Pour m correspondances de droites, le système est donc de taille (mrn × 16)4 et s’écrit sous forme matricielle 3Le nombre d’équationsmrs suppose que le même nombre de points et de plans est utilisé pour chaque correspondance de droites.

Cette hypothèse n’est utilisée qu’à des fins d’allègement des notations et n’est pas du tout essentielle au raisonnement proposé.

4

Comme dans le cas 3D, le nombre d’équationsmrn
_{suppose que le même nombre de points et de droites images est utilisé pour} représenter chaque correspondance de droites. Cette hypothèse n’est utilisée qu’à des fins d’allégement des notations et n’est pas du tout essentielle au raisonnement proposé.

8.5. MÉTHODES LINÉAIRES ET QUASI-LINÉAIRES 187 Q_j1 Q_j2 Q^_j1 Q^_j2 G G Lj L^j P 1 P 1 P 2 P 2 ˆ q^_1j1 ˆ q^_1j2 ˆ q^_2j1 ˆ q^_2j2 l^_1j l^_2j

FIG. 8.3 – Le principe de la formulation de contraintes basées image linéaires sur les coefficients d’une matrice de mouvement usuelle G : les droites de la première reconstruction sont représentées par des points et celle de la deuxième reconstruction par des droites images. L’erreur est mesurée entre les points transférés de la première vers la deuxième base et reprojetés dans le deuxième jeu d’images et les droites observées dans le deuxième jeu d’images.