H. Nous devons montrer qu’il n’existe aucun vecteur-3 q tel que Hq = 0, c’est à dire que M T
2.11 Observation d’un plan
Q1 Q2 1 Q4 . (2.48)
Un des avantages de cette paramétrisation est qu’elle est minimale et linéaire. Elle peut donc facilement être incorporée dans les étapes d’initialisation et d’ajustement de faisceaux d’un système de reconstruction. De plus, elle permet que l’erreur de reprojection dans la première image, c’est à dire le carré de la distance Euclidienne entre le point mesuré et le point prédit par le modèle 3D, soit donnée par le carré de la distance algébrique entre ces deux points.
2.10.1.4 Extraction des épipôles
Les épipôles sont donnés par les noyaux gauche et droit de la matrice fondamentale. On peut les en extraire en calculant une décomposition en valeurs singulières de la matrice fondamentale. Lorsque cette décomposition n’est pas utile à autre chose, on peut l’éviter en calculant les épipôles par les formules suivantes. Soient cc les colonnes de F et rrses lignes :
e ∼ (r1∧ r2) + (r2∧ r3) + (r3∧ r1) (2.49) e ∼ (c1∧ c2) + (c2∧ c3) + (c3∧ c1). (2.50) Ces formules découlent du fait que e est le noyau droit de F, il est donc orthogonal à toutes les lignes de F. On peut donc définir e ∼ rr ∧ rr, ∀r = r. La matrice fondamentale étant de rang deux, il existe des cas dégénérés, par exemple lorsque les lignes r et r sont linéairement dépendantes, d’où la nécessité d’inclure toutes les combinaisons dans la formule (2.49). Un raisonnement similaire peut être tenu dans le cas de e en utilisant les colonnes de F à la place des lignes. Ces expressions sont utilisées au chapitre 4, §4.2.1, dans le cadre de la formulation d’une paramétrisation minimale de la famille des homographies de plan.
2.10.2 Le cas multi-vues
Lorsque plus de deux vues sont considérées, une modélisation du placement relatif des caméras est la suivante. Deux caméras sont choisies. Nous les appelons les caméras de référence. Elles sont utilisées pour définir le repère projectif 3D monde et sont modélisées par une matrice fondamentale. Les autres caméras sont chacune modélisées par une matrice de projection, exprimée dans le repère monde. Si l’on compte le nombre de degrés de liberté de cette modélisation, on s’aperçoit qu’elle est minimale, c’est à dire que le nombre de paramètres libres est égal au nombre de degrés de liberté physiques. En effet, la matrice fondamentale a 7 degrés de liberté, et chacune des n− 2 autres caméras en a 11, d’où un total de 7 + 11(n − 2) degrés de liberté,
correspondant aux 11n− 15 degrés de liberté physiques d’un système de n caméras non calibrées.
2.11 Observation d’un plan
Nous étudions l’observation d’un plan par deux caméras, exprimées dans une base canonique, c’est à dire telle que P∼ ( I 0). Un plan induit une correspondance point-point entre les deux images, modélisée par une
3D des deux caméras, en d’autres termes la matrice fondamentale, est connue, on montre que les homographies de plan forment une famille de dimension 3, ce qui correspond au fait qu’un plan ait 3 degrés de liberté.
Nous examinons une paramétrisation minimale des plans, l’expression de l’homographie de plan induite en termes de cette paramétrisation et quelques propriétés des homographies de plans. Nous donnons ensuite des formules pour le calcul de l’intersection de deux et trois plans.
Les formules données dans cette section sont principalement utilisées au chapitre 5, dans le cadre de la reconstruction de plans.
Une paramétrisation minimale : l’équation réduite. Les plans sont habituellement représentés par des vecteurs-4 homogènes, donnant leurs coordonnées dans la base de reconstruction. Considérons un planΠ et ΠT ∼ ( ¯ΠT Π) l’équation de ce plan. Dans une base de reconstruction canonique, c’est à dire telle que P ∼ ( I 0), on peut facilement vérifier que la condition Π = 0 caractérise les plans contenant le centre de
projection de la première caméra. Un tel plan se projette sur une droite dans la première image et n’est donc pas observable dans cette vue. Ceci correspond au fait qu’en espace Euclidien, Π donne la distance entreΠ et le centre de projection de la première caméra8. Les plans contenant ce centre de projection sont exclus de la paramétrisation. On peut donc supposer Π= 0, et écrire l’équation du plan Π sous la forme :
Π(4×1) ∼ ¯ Π(3×1) 1 ,
où ¯Π est un vecteur-3 non homogène appelé équation réduite du plan. Un tel vecteur-3 est une paramétrisation minimale des 3 degrés de liberté du plan.
Notons que lorsque plus de deux vues sont considérées, un plan peut contenir le centre de projection de la caméra de référence (dont la matrice de projection est ( I 0)) et être observé dans deux autres vues. L’équation réduite ne peut donc être utilisée pour paramétrer les plans que dans le cas de deux vues.
Homographie plane induite. Un plan d’équation réduite ¯Π induit l’homographie de plan suivante entre les deux vues :
HΠ ∼ Hr− eΠ¯T, (2.51)
où P∼ ( Hr e) est la deuxième matrice de projection. Notons que cette équation caractérise le sous-espace de dimension 3 (engendré par ¯Π) des homographies 2D qui sont des homographies de plan, c’est à dire pour lesquelles il existe un plan inducteur.
Notons que la paramétrisation (2.51) des homographies de plan est équivalente aux 6 équations suivantes9:
FTHΠ + HTΠF = 0.
Intersection de deux plans. L’intersection de deux plansΠ et Πest une droiteL, lorsque les deux plans ne sont pas identiques. Il existe beaucoup de représentations des droites 3D. En particulier, deux plans constituent une représentation. On peut aussi construire les coordonnées de Plücker de L directement à partir des coor-données deΠ et de Π, voir la section suivante. Pour éviter de choisir une représentation des droites 3D, nous cherchons à exprimer les coordonnées de la projectionl de la droite L directement en fonction des coordonnées de plans Π et Π. Lorsque la reconstruction est exprimée dans une base canonique avec P ∼ ( I 0), les
coordonnées de tout point 3DQ s’écrivent QT ∼ ( ˆq Q) où ˆq est l’image de Q dans la première vue. La
conditionQ ∈ L s’écrit algébriquement QTΠ = QTΠ = 0, d’où :
ˆ
qTΠ + Q¯ = 0 ˆ
qTΠ¯+ Q = 0, 8SiΠ est normalisé tel que ¯Π = 1.
9
Le membre gauche de cette équation est une matrice symétrique de taille(3 × 3), ce qui explique pourquoi le nombre d’équations n’est pas 9 mais bien 6.
2.12. LES COORDONNÉES DE PLÜCKER 31
où ¯Π et ¯Π sont les équations réduites des plansΠ et Πrespectivement. Ce système se transforme en :
ˆ qTΠ¯ = qˆTΠ¯ ˆ qT( ¯Π− ¯Π l ) = 0, (2.52)
d’où l’on extrait l’équation del recherchée. L’équation de l, la reprojection deL dans l’autre image, est obtenue trivialement par application de l’homographie duale induite par un des deux plans, HΠ ou HΠ.
Intersection de trois plans. Considérons un troisième planΠ. SoitQ le point d’intersection des plans Π , ΠetΠ, que l’on suppose unique. Nous donnons une expression de ˆq puis de Q. Soientl, letlles droites projection de Π ∩ Π, Π ∩ Π et Π ∩ Π dans la première vue. Il est facile de montrer que ces trois
droites s’intersectent en un point unique, ˆq, l’image du point Q. En effet, ˆq est le noyau droit de la matrice
A ∼ (l l l)T
dont le déterminant est nul. On peut le vérifier en écrivant A en termes des équations réduites des plans, d’après l’équation (2.52) :
AT ∼ Π¯ − ¯Π Π¯− ¯Π Π¯− ¯Π
,
où il est trivial de voir que toute ligne est une combinaison linéaire des deux autres. L’expression de ˆq est obtenue en utilisant l’intersection de deux des trois droitesl , letl:
ˆ
q ∼ ( ¯Π∧ ¯Π) + ( ¯Π∧ ¯Π) + ( ¯Π∧ ¯Π). (2.53) Elle est identique quelle que soit la paire de droites choisie. On peut déterminer Q en intersectant le rayon de projection de ˆq avec un des trois plans, ou directement en utilisant un produit vectoriel généralisé. Chaque coefficient de Q est donné par le déterminant d’une matrice (3× 3) de coefficients des équations de plan. Plus
précisément, considérons les contraintes de coplanarité ΠTQ = ΠTQ = ΠTQ = 0 et définissons la matrice
M de taille (3 × 4) comme :
MT ∼ Π Π Π
.
Les coordonnées deQ sont données par le noyau de la matrice M, dont l’expression analytique est :
Q ∼ Π ( ¯Π∧ ¯Π) + Π( ¯Π∧ ¯Π) + Π( ¯Π∧ ¯Π) −( ¯Π, ¯Π, ¯Π) , où ( ¯Π, ¯Π, ¯Π) = ¯ΠT
( ¯Π∧ ¯Π) est le produit mixte, voir §2.1.
2.12 Les coordonnées de Plücker
Il n’existe pas de représentation “naturelle” des droites 3D et beaucoup de représentations ont été proposées. Plusieurs de ces représentations sont étudiées dans le livre de Hartley et Zisserman [93, §2.2.2]. Un état de l’art est présenté au chapitre 6 dans le cadre de la reconstruction de droites.
Les coordonnées de Plücker des droites 3D, introduites dans [159], ont l’avantage d’être complètes (toutes les droites de l’espace projectif P3 sont représentées) et de ne dépendre que de 6 paramètres, comparé par exemple à une représentation par deux points ou deux plans, nécessitant 8 paramètres. Un autre avantage ma-jeur est qu’elles ne dépendent pas des points ou plans utilisés pour définir la droite. Förstner [69] propose une représentation unifiée (points, plans, droites, etc.) pour la géométrie projective algébrique, basée sur les coordonnées de Plücker pour représenter les droites 3D. Les coordonnées de Plücker sont parfois appelées co-ordonnées de Grassmann-Cayley car elles peuvent se construire à l’aide des opérateurs de cet algèbre. Nous renvoyons au livre de Faugeras et Luong [60] pour une présentation plus complète de cette approche. Notons
que le chapitre 6, §6.3.3 étudie la projection perspective d’une droite exprimée en coordonnées de Plücker, et que le chapitre 7 étudie l’application d’un mouvement 3D directement aux coordonnées de Plücker.
Les coordonnées de Plücker d’une droiteL sont constituées d’un vecteur-6 de coordonnées homogènes noté L. Nous considérons le partitionnement du vecteur L en deux vecteurs-3 a et b, quelques fois appelés “partie supérieure” et “partie inférieure” :
LT = (L 1 L2 L3 aT L4 L5 L6 bT ).
Il existe plusieurs définitions des coordonnées de Plücker. Quelle que soit la définition employée, le vecteur-6 est soumis à une contrainte de consistance bilinéaire, la contrainte de Plücker. Les coordonnées de Plücker ont donc un degré de liberté de jauge algébrique (le facteur d’échelle libre du vecteur-6) et une contrainte de consistance interne (la contrainte de Plücker).
Définition à partir de deux points. Soient M ∼ ( ¯M m) et N ∼ ( ¯N n) les coordonnées de deux
points sur la droiteL, nous utilisons la définition suivante des coordonnées de Plücker :
a = M¯ ∧ ¯N
b = m ¯N− n ¯M. (2.54)
Pour cette définition, la contrainte bilinéaire de Plücker est :
K(L) = aTb = 0. (2.55)
Il est important de noter que les coordonnées de Plücker ne dépendent pas des points utilisés pour définir la droite.
Définition à partir de deux plans. Soient ΠT1 ∼ ( ¯ΠT1 Π1) et ΠT2 ∼ ( ¯ΠT2 Π2) les coordonnées de deux
plans contenant la droiteL, la formulation suivante des coordonnées de Plücker est induite :
a = Π1Π¯2− Π2Π¯
1
b = Π¯1∧ ¯Π2. (2.56)
Comme dans le cas de la définition par deux points, les coordonnées de Plücker définies par l’intersection de deux plans sont indépendantes des plans choisis dans le faisceau de plans autour de la droiteL.
La matrice de Plücker. La matrice de Plücker est une représentation des droites 3D étroitement liée aux coordonnées de Plücker. C’est une matrice (4× 4) définie à un facteur près, anti-symétrique, et sur laquelle
la contrainte de Plücker se traduit par une contrainte de rang 2. Notons L la matrice de Plücker représentant la droiteL. Cette matrice est reliée aux coordonnées de Plücker L par :
L ∼ [a]∧ b −bT 0 ,
et aux coordonnées des points définissant la droite par :
L ∼ MNT− NMT.
Il est de même possible de définir L en fonction des coordonnées de deux plans contenant la droiteL.
Soit G une matrice de mouvement usuelle (agissant sur les points) générique (4× 4), on montre que la
matrice de Plücker représentant la droite transférée est donnée par :
L ∼ GLGT. (2.57)
2.12. LES COORDONNÉES DE PLÜCKER 33 Π Q a b d O L
FIG. 2.3 – Interprétation géométrique des coordonnées de Plücker. Les axes du repère “monde” d’origineO sont en pointillés. Le plan défini par la droiteL et O est noté Π , Q est le point de L le plus proche de l’origine et d est la distance entre la droite et l’origine. Les vecteurs a et b forment les coordonnées de Plücker deL : LT ∼ ( aT bT ) et s’interprètent respectivement comme la normale à Π et la direction de la droite. La distance d est proportionnelle au rapport suivant : d =a/b.
Interprétation géométrique des vecteurs a et b. L’interprétation géométrique des coordonnées de Plücker est illustrée sur la figure 2.3. Considérons le plan défini par la droite et l’origine. Le vecteur-3 a = ¯M∧ ¯N représente la direction de la normale à ce plan. Le vecteur-3 b = m¯N− n ¯M est le point à l’infini de la droite, c’est à dire sa direction. On en déduit qu’un vecteur b nul est équivalent à une droite sur le plan à l’infini et qu’un vecteur a nul est équivalent à une droite contenant l’origine. Le rapport entre les normes des vecteurs a et b est égal à la distance d entre la droite et l’origine (en espaces Euclidien et métrique). Si ce rapport est infini, c’est à dire si b = 0, on retrouve le fait qu’alors la droite est à l’infini. Si ce rapport est nul, c’est à dire si a = 0, on en déduit que la droite contient l’origine.
Interprétation géométrique du vecteur L. Le vecteur de coordonnées de Plücker L peut s’interpréter comme un point de l’espace projectifP5. La contrainte de Plücker étant bilinéaire, elle peut être écrite comme :
K(L) = LTQL.
Elle définit donc une quadrique dans P5. Cette quadrique est nommée “quadrique de Klein”, “hypersurface de Plücker” ou encore “variété de Grassmann”. Elle est représentée par la matrice (6× 6) suivante :
Q ∼ 0(3×3) I(3×3) I(3×3) 0(3×3) .
CHAPITRE