rieur de l’orbite de Prométhée, le demi grand-axe initial de Prométhée doit être diminué si on augmente la masse de Pandore, pour ne pas modifier les orbites. Après cette première étape, étant données les masses de Prométhée et Pandore, on peut donc déterminer analytiquement les demi grands-axes initiaux qui permettent d’ajuster correctement les simulations à la partie régulière des données.
Les parties régulière et chaotique de donnéesHST utilisées pour ajuster les masses de
Pro-méthée et Pandore et les élements orbitaux restants (demi grands-axes et longitudes du pé-riapse) sont indiquées sur la figure 6.1 par des surfaces en gris clair et gris foncé, respective-ment. La première partie est entre le 30 septembre 1996 (époque DJ 2450356.5) et le 24 octobre 1998 (époque DJ 2451110.5), qui est loin de tout anti-alignement, est la seconde est entre le 4 août 2000 (époque DJ 2451760.5) et le 17 décembre 2002 à 12h TU (époque DJ 2452626.0), qui contient les "coudes" anti-corrélés observés dans les profils de longitude de Prométhée et Pan-dore. Remarquons qu’avec nos simulations, il est inutile de considérer un intervalle beaucoup plus grand pour déterminer les masses de Prométhée et Pandore, car le début d’intégration est en 1995 et le temps de Lyapounov du système n’est que de trois ans environ. Pour informa-tion, le nombre de points est 49 et 34 pour Prométhée et Pandore, respectivement, pendant la période régulière, et 97 et 94, respectivement, pendant la zone chaotique.
7.2 Résultats
Pour chaque simulation on calcule un résidu (rms) égal à la moyenne des résidus indivi-duels de Prométhée et Pandore. En ajustant les intégrations numériques à la partie régulière des données (région en gris clair de la figure 6.1), nous avons trouvé de manière empirique les relations suivantes entre les demi grands-axes initiaux (km) et les massesGM (km3 s−2) des satellites, pour lesquelles le résidu est minimal :
aPR= 139377.5−5.96GMPA =139377.5−0.125ρPA aPA =141714.18+7.11GMPR =141714.18+0.25ρPR (7.1) Ces relations sont linéaires. Avec des ajustements par des ellipsoides, Thomas (1989) a dé-terminé les rayons suivants des satellites : 74, 50, et 34 km pour Prométhée, et 55, 44, et 31 km pour Pandore. Nous avons utilisé ces valeurs nominales pour écrire les équations (7.1) avec les densités ρ (g cm−3) des satellites. Pour ces ajustements des demi grands-axes, les longitudes du périapse ont été fixées initialement aux valeurs nominales de la table 6.2, ce qui est équivalent à une différence initiale en longitude du périapse ∆$0 = 258o. La relation pouraPR (respec-tivement aPA) a été déterminée en supposant MPR = 0 (respectivement MPA = 0), et serait quasiment identique pour une masse non nulle. Avec ces relations le résidu est typiquement de l’ordre de 0.03”, avec des résidus individuels comparables pour Prométhée et Pandore. Les termes correctifs des équations (7.1) sont petits : 150 m et 300 m au maximum pour Promé-thée et Pandore, respectivement, pour une densité ρ=1.2 g cm−3. Cependant, les résidus sont très sensibles aux demi grands-axes initiaux lorsqu’on ajuste les intégrations numériques à la partie régulière des données. SupposonsMPR =0. Pour une masse de Pandore fixée, le résidu de Prométhée en fonction de son demi grand-axe initial est une courbe en forme de parabole, qui présente un minimum (' 0.03”) pour un demi grand-axeamin
PR vérifiant la relation linéaire de l’équation (7.1). Un écart d’environ±50−80 m seulement par rapport àamin
la densité de Pandore) conduit à un résidu d’environ 0.08”, soit quatre fois la précision astro-métrique des mesuresHST. C’est parce qu’une petite modification du demi grand-axe entraîne
d’importants écarts en longitude au cours du temps.
Nous avons ensuite ajusté les simulations à la période chaotique des donnéesHST (région
en gris foncé de la figure 6.1) pour trouver les masses et les longitudes initiales du périapse. Nous avons considéré pour cela toutes les différences initiales en longitude du périapse pos-sibles (242 ≤ ∆$0 ≤ 274o), d’après les barres d’erreur en $ données table 6.2. Nous avons utilisé un pas de 1◦, ce qui correspond à une différence de l’ordre de 6.33 jours entre les ins-tants d’anti-alignement des apses, en utilisant les valeurs des taux de précession données par French et al. (2003). D’autre part, l’intervalle de masses considéré pour ces simulations est : 0 ≤ GMPR ≤ 4.22×10−2 km3 s−2 et 0 ≤ GMPA ≤ 2.52×10−2 km3 s−2, ce qui correspond à des densités ρPRet ρPA entre 0 et 1.2 g cm−3, en utilisant les volumes nominaux de Thomas (1989).
Le premier résultat est que toutes les solutions pour lesquelles le résidu est typiquement <∼ 0.1” sont telles que 242 ≤ ∆$0 ≤ 251o. Nos ajustements nous permettent donc de mieux contraindre l’instant du dernier anti-alignement, qui a donc eu lieu approximativement entre le 11 août 2000 (DJ 2451767.5) et le 8 octobre 2000 (DJ 2451825.5), en utilisant les taux de précession de French et al. (2003).
La solution qui s’ajuste le mieux aux données HST est celle de la table 6.4, où les demi
grands-axes sont donnés par les équations (7.1) et où la différence initiale en longitude du périapse est ∆$0 = 250◦. Le résidu obtenu est rmsmin = 0.030”, avec des résidus individuels comparables pour Prométhée et Pandore. Ce résidu est équivalent à une erreur moyenne sur la position des satellites d’environ 190 km. Les masses de Prométhée et Pandore sont aussi données dans la table 7.1 avec des barres d’erreur à 3-σ. Nous avons utilisé un simple test du χ2pour définir un niveau de confiance à 3-σ autour de la meilleure solution. Cette région est définie par rms2 ≤ rms2
min(1+∆χ2/N), où N est le nombre de points des données HST
(partie chaotique), à l’intérieur de laquelle le résidu n’augmente pas davantage qu’une certaine quantité constante ∆χ2. Pour un niveau de confiance à 3-σ, ∆χ2 = 14.2 et donc rms≤ 0.033”, ce problème ayant trois degrés de liberté MPR,MPAet ∆$0(Press et al., 1986).
Les densités de Prométhée et Pandore données dans la table 7.1 ont été calculées en utilisant les volumes nominaux de Thomas (1989). Nos résultats sont compatibles avec les densités obte-nues à partir de l’analyse des ondes de densité créées par les deux satellites dans les anneaux : ρPR = 0.27+0.16
−0.14, ρPA = 0.42+0.28
−0.24 (Rosen et al., 1991). On donne aussi (figure 7.1) une carte des résidus obtenus avec nos simulations pour des densités de Prométhée et Pandore données. Le mouvement de chaque couple de masses a été intégré avec des conditions initiales différentes (longitude du périapse), mais on ne représente que le point pour lequel le résidu est minimal. Nous avons utilisé les volumes nominaux de Thomas (1989) pour reproduire cette carte avec les densités. On constate qu’il y a une corrélation claire entre les masses (ou les densités) : la masse de Pandore dépend linéairement de la masse de Prométhée. C’est une conséquence de la conservation du moment cinétique entre Prométhée et Pandore durant l’interaction chaotique (cf. (15), (22), (23) de Goldreich et Rappaport, 2003b). La conservation du moment cinétique
entraîne : ∆aPR ∆aPA = − MPA MPR a2 PR a2 PA (7.2)
7.2 Résultats 103
D’après French et al. (2003), ∆aPR = +0.33 km et ∆aPA = −0.42 km entre 2000 et 2002, impliquant un rapport de masse MPR/MPA = 1.23. Nos ajustements entrainent un rapport comparable MPR/MPA = 1.37. Il est compatible avec la valeur précédente, étant données les incertitudes sur le rapprt de masse. En utilisant les volumes de Thomas (1989), le rapport de densité est ρPA/ρPR = 1.22, qui est indiqué par une droite en pointillés sur la figure 7.1. Re-marquons qu’en utilisant les masses données dans la table 7.1 et les volumes nominaux de Prométhée et Pandore déterminés par Stooke (1993) ou Gozdziewski et Maciejewski (1995), la densité de Prométhée est un peu modifiée : ρPR = 0.54+0.04
−0.09. La densité de Pandore semble donc mieux contrainte, car les volumes déterminés par Thomas (1989), Stooke (1993) et Gozd-ziewski et Maciejewski (1995) pour ce satellite sont quasiment les mêmes. Les images fournies par la sondeCassini permettront de mieux contraindre la forme de ces satellites. Les masses de
Prométhée et Pandore seront probablement aussi améliorées, car le prochain anti-alignement des apses (∼2006) sera vu parCassini.
Prométhée Pandore M (1017×kg) 2.11+0.16 −0.37 +0.79 −0.53 1.54+0.16 −0.28 +0.50 −0.36 GM (10−2×km3s−2) 1.41+0.10 −0.25 1.03+0.10 −0.19 ρ(g cm−3) 0.40+0.03 −0.07 +0.15 −0.10 0.49+0.05 −0.09 +0.16 −0.12
TAB. 7.1: Masses, GM et densités de Prométhée et Pandore. Les barres d’erreur sont données à
3-σ. Des petits effets systématiques dus à l’excentricité des satellites augmente ces barres d’erreur aux valeurs données entre crochets (cf. texte). Les densités sont calculées en utilisant les volumes nominaux
de Thomas (1989), et apparaissent en noir sur la carte des résidus (figure 7.1). Les barres d’erreur des densités proviennent uniquement de celles de la masse, car les incertitudes sur les volumes ne sont pas prises en compte.
Les profils de longitude pour la meilleure solution sont représentés sur la figure 6.1. On y indique aussi deux solutions supplémentaires correspondant à des densités ρ = 0 et 1.2 g cm−3, pour lesquelles les demi grands-axes initiaux vérifient les équations (7.1) et les autres éléments orbitaux sont les valeurs nominales de la table 6.2. Afin de comparer cette solution aux données sur la figure 6.1, nous avons aussi reproduit les écarts en longitude par rapport aux prédictionsVoyager pour les données HST. Ils sont représentés par des points carrés. Ces
points sont un peu affectés par l’excentricité des satellites, car on calcule une longitude vraie et non une longitude moyenne pour ces points. Pour cela on calcule tout d’abord les coordonnées cartésiennesX, Y du satellite dans le repère centré sur Saturne, dans lequel le plan(OXY)est le plan équatorial de Saturne et X le noeud ascendant de l’équateur de Saturne sur l’équateur moyen de la TerreJ2000 (cf. annexe B). Puis on convertit X, Y en rayon r et longitude vraie L, on
soustrait à cette longitude la longitude moyenne fournie par les éphéméridesVoyager (Evans,
2001), et on prend la valeur moyenne des écarts en longitude obtenus qui correspondent à un même jour d’observation, chaque ensemble d’observationsHST incluant typiquement cinq
mesures rapprochées effectuées à la même dâte.
Le résidu de la meilleure solution (0.030”) est légèrement supérieur à la précision astro-métrique typique des observationsHST (0.02”). Par conséquent, soit l’erreur typique des
FIG. 7.1: Carte des résidus entre les observations et les simulations numériques, pour des densités données de Prométhée et Pandore (cf. texte). Les niveaux de gris sont tels que les rms≥ 0.05” sont en blanc et les rms≤ 0.033” en noir, avec une échelle linéaire entre les deux. L’ellipse noire correspond à un niveau de confiance de 3-σ. Si on prend en compte les petits effets systématiques dus à l’excentricité de Prométhée et Pandore, les barres d’erreurs à 3-σs’étendent à l’ellipse blanche (cf. texte). Nous avons
ajusté les masses des satellites (avec pour excentricités initiales les valeurs nominales de la table 6.2) et utilisé les volumes nominaux de Thomas (1989) pour les convertir en densité. Chaque point a ses propres éléments orbitaux initiaux (demi grand-axe et longitude du périapse) tel que le rms est minimal. Les résultats sont résumés dans la table 7.1. Les meilleures solutions (ellipse noire) sont parallèles à la droiteρPA/ρPR =1.22, indiquée par une droite en pointillés. C’est une conséquence de la conservation du moment cinétique entre les deux satellites durant les interactions chaotiques (cf. texte).