2.3 Résonances
2.3.2 Résonances de Lindblad
Une résonance de Lindblad se produit lorsque lepattern speed du potentiel perturbateur est
égal à la fréquence radiale de la particule. Dans ce cas :
m(n−ΩP) = ±κ (2.26)
où les signes positif et négatif correspondent respectivement à une résonance interne (LI) et à une résonance externe (LE). Dans le cas d’une résonance interne, la particule est à l’intérieur de l’orbite du satellite (n>n0), et dans le cas d’une résonance externe, elle se trouve à l’extérieur (n<n0). D’après la définition de κ, on a :
(m∓1)n± ˙$−mΩP =0 (2.27)
ou encore,
(m+k+p)n0− (m∓1)n−k ˙$0∓ ˙$−p ˙Ω0 =0 (2.28) L’angle critique de la résonance de Lindblad, ΨL, s’écrit :
ΨL= (m+k+p)λ0− (m∓1)λ−k$0∓$−pΩ0 (2.29) L’ordre de cette résonance générale est donc |k| + |p| +1. Pour toutes les résonances de Lindblad,p est toujours pair. Le terme d’ordre le plus bas associé à cette résonance est
propor-tionnel àee0|k|I0|p|.
Pour comprendre l’effet d’une résonance de Lindblad, on introduit le concept de ligne de courant, qui consiste à considérer le mouvement d’un ensemble de particules ayant le même demi grand-axe et la même excentricité. A l’ordre le plus bas en excentricité, l’équation d’une ellipse peut s’écrire :
r= a[1−e cos(L−$)], (2.30) oùL désigne la longitude vraie. Puisque ˙L=n et ˙$=n−κ, la condition (2.26) s’écrit :
2.3 Résonances 23
L’intégration de cette équation montre que pour un demi grand-axe et une excentricité don-nés, la longitude des particules, LC = L−ΩPt, dans un repère tournant avec le pattern speed
ΩPest donnée par :
mLC = L−$+cte (2.32)
Ainsi, les lignes de courant sont définies par l’équation suivante :
r =a[1−e cos(mLC−cte)] (2.33) Supposons que la phase constante est nulle. Alors, pourm = 0, les lignes de courant sont des cercles ; pourm = 1, ce sont des ellipses kepleriennes ; pourm = 2, ce sont des ellipses centrées. De manière générale, les lignes de courant sont des courbes àm lobes (cf. figure 2.5).
L’effet d’une résonance de Lindblad est d’induire une excentricité forcée aux particules des anneaux, de telle manière que, à un demi grand-axe donné, les particules suivent une ligne de courant. L’excentricité forcée décroit lorsque la distance à la résonance augmente, avec un chan-gement de phase de 180◦ de part et d’autre de la résonance exacte. La largeur de la résonance est déterminée par la distance à la résonance exacte telle que la valeur de l’excentricité for-cée est juste suffisante pour que les lignes de courant situés de part et d’autre de la résonance s’intersectent. Ce mécanisme est décrit par Porco et Nicholson (1987). Ces lignes de courant sont illustrées par la figure 2.5, dans le cas d’une résonance de Lindblad 7 : 6 avec m = 7,
k = p=0 (et donc ΩP = n0). L’angle critique de résonance est donc ΨLI =7λ0−6λ−$. C’est une résonance interne, où la particule est à l’intérieur de l’orbite du satellite.
Interprétons géométriquement une résonance de Lindblad simple d’angle critique ΨL = (m+1)λ0−mλ−$(i.e. k= p= 0). Une telle résonance est souvent appelée résonance de Lind-bladexcentrique, ou résonance de Lindblad horizontale. Dans un repère tournant avec le moyen
mouvement du satellite, l’orbite de la particule est fermée. D’après l’expression de l’angle cri-tique, on remarque que lorsque la particule atteint son périapse (λ = $), l’angle critique se réduit à (m+1)(λ0−$). Il est donc directement lié à l’orientation de l’orbite de la particule dans un repère lié au satellite. En fait, l’angle entre le rayon vecteur du satellite et le périapse de l’orbite de la particule est stationnaire ou varie très lentement.
Pour une résonance de Lindblad d’ordre 1 (k= p= 0), d’angle critique ΨLI =mλ0− (m−
1)λ−$, la fonction perturbatrice s’écrit :
R= Gm0
a0 fd(α)e cos ΨLI, (2.34) avec f d = (1/2)[−2m−αD]b(m)
1/2, où b(m)
1/2 est un coefficient de Laplace et où D désigne
la dérivée première. L’expression de l’excentricité forcée ef d’une particule en résonance est donnée par la formule suivante, dans l’approximation linéaire :
ef = nα(m0/M)fd mn0− (m−1)n (2.35)
Soita = ares+∆a le demi grand-axe de la particule, avec ∆a << ares. D’après la troisième loi de Kepler et en développant la quantité ∆a/ares, on en déduit l’amplitude de l’onde forcée par la résonance (toujours dans le cask = p=0) :
FIG. 2.5:Lignes de courant de la résonance de Lindblad 7 : 6, avecm=7,k=p=0 et donc ΩP=n0. L’angle critique de la résonance (interne) est ΨLI =7λ0−6λ− $. Les courbes sont les lignes de courant des orbites des particules de part et d’autre de la résonance exacte, indiquée par un cercle en pointillés. L’amplitude de chaque ligne de courant est une fonction linéaire de l’excentricité forcée, et la largeur de la résonance est déterminée par la distance entre la résonance exacte et le rayon où les lignes de courant de cotés opposés s’intersectent. Cette figure est tirée de Murray et Dermott (2001).
aef = 2αa2(m0/M)|fd|
3(m−1)|a−ares| (2.36)
Pour une certaine valeur critique du demi grand-axe, l’amplitude de l’onde est égale à la séparation en demi grand-axe de la résonance exacte. Pour cette valeur, la largeur totale de la résonance de Lindblad (k= p=0) est alors :
WL=4as 2α(m0/M)|fd|
3(m−1) (2.37)
On peut montrer que lorsquem est suffisamment grand, 2α fd/(m−1) ∼ 1.6, et on obtient ainsi une expression simplifiée pour la largeur d’une résonance de Lindblad interne d’ordre 1 :
WL∼2.9a
r
m0
M (2.38)
Les résonances de Lindblad jouent un rôle clé dans le confinement des anneaux étroits. Par exemple, les observations ont montré que le bord externe de l’anneau d’Uranus est en résonance de Lindblad (interne) 14 : 13 avec le satellite Ophelia, et le bord interne en résonance en résonance de Lindblad (externe) 24 : 25 avec le satellite Cordelia. On sait également que des résonances de Lindblad avec des satellites comme Mimas, Janus, Pandore, Prométhée créent des ondes de densité au voisinage de la résonance dans les anneaux de Saturne.
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