La représentation en contourlets a été développée par Do et Vetterli [43] [44] [45] afin d’élargir l’ensemble des directions (diagonale, verticale et horizontale) prise en compte dans les représentations en ondelettes. La transformation en contourlets est une nouvelle représentation multiresolution, locale et directionnelle d’une image.
La différence importante avec les ondelettes et d’autres transformations multiéchelle réside dans le fait que la transformation en contourlets est construite en utilisant des bancs de filtres séparables dans un domaine discret. Donc, elle peut effectivement pro- duire des traits caractéristiques importants d’une image faciale avec un petit nombre de coefficients.
Nous avons proposé cette méthode d’extraction des caractéristiques pour la recon- naissance faciale [26]. A cet effet, et pour implémenter les contourlets, nous avons utilisé le banc de filtre en quadrature avec les filtres de Haar pour l’étape du filtrage direction- nel. Puis nous avons utilisé les ondelettes de Haar pour la pyramide laplacienne.
Ensuite, et afin de générer le vecteur des caractéristiques, on concatène les coeffi- cients contourlets d’une image x, Ci,j(x) (i ∈ {1, . . . , 3} , j ∈ {1, . . . , 8}), avec 3 échelles
(LP levels) et 8 directions. Il est à préciser que, avant la concaténation, nous procédons aussi à un échantillonnage de chaque coefficient Ci,j(x) par un facteur ρ = 16 afin
de réduire la dimensionnalité du vecteur de caractéristiques. L’étape finale consiste à normaliser ce vecteur pour avoir une moyenne nulle et une variance unité. Le vecteur des caractéristiques est défini comme suit : C(x) = C1,1ρ (x), C
ρ 1,2(x), . . . , C ρ 3,8(x) t . Nous avons résumé les résultats de l’utilisation des contourlets dans les figures 4.9 et 4.10. On peut y constater que les contourlets améliorent le taux de reconnaissance pour la base ORL qui contient surtout des images avec changement de pose des visages. Cependant, pour la base Yale B étendue, qui contient des images soumises à de grandes variations de lumière, les contourlets n’ont aucun effet notable sauf si on augmente largement le nombre d’images par personne.
FIGURE 4.9 – Taux de reconnaissance (%) avec utilisation des controulets sur la base
ORL.
FIGURE 4.10 – Taux de reconnaissance (%) avec utilisation des controulets sur la base
4.6
Conclusion
Dans ce chapitre nous avons proposé deux méthodes pour la reconnaissance des visages. Tout d’abord, RWLDA/QR est une méthode qui a été conçue pour résoudre deux problèmes majeurs de LDA classique. Le premier problème concerne la solution donnée par LDA qui est sous optimale en termes du taux d’erreur de classification. Ceci est dû à ce que les expressions des matrices de dispersion inter et intra classes supposent que toutes les classes disponibles sont équivalentes. Ce qui n’est pas vrai en pratique, notamment en présence des données aberrantes. Afin de corriger cette carence, nous avons introduit une fonction de pondération dans les matrices de dispersion pour que chaque classe intervient dans le calcul des matrices de dispersion de façon à ne pas fausser les résultats de classification.
Le deuxième problème inhérent à l’algorithme classique LDA concerne la singularité des matrices de dispersion. L’algorithme RWLDA/QR résout ce problème de manière simple à l’aide de la décomposition QR.
Par ailleurs, RWLDA/QR de par sa nature est un algorithme linéaire. Il ne prend pas en compte les non-linéarités des données qui peuvent survenir en pratique. C’est ainsi que nous avons proposé l’algorithme non linéaire KRWDA. L’idée de base est fondée sur l’utilisation de l’astuce noyau pour transformer les données d’entrée dans un espace de caractéristiques implicite. Puis, ces données sont traitées dans cet espace pour produire des caractéristiques non linéaires et discriminantes des images faciales.
Afin de construire l’espace des caractéristiques, nous avons également proposé deux fonctions noyaux qui n’ont pas été utilisées pour la reconnaissance des visages. Nous avons aussi souligné l’avantage de ces deux fonctions à savoir leur faible coût en temps de calcul.
Enfin, et pour valider nos algorithmes, nous avons procédé à des tests sur des bases de données (ORL et Yale B étendue) partagées par les chercheurs dans ce domaine. Les résultats ont été satisfaisants.
Nouveaux algorithmes d’analyse discriminante floue
5.1
Introduction
Les méthodes de classifications classiques ont pour but d’affecter chaque élément disponible à une classe. Toutefois, dans la réalité, cette affectation ne peut se faire sans ambiguïté, et cela pour diverses raisons. Par exemple, lorsque les informations dispo- nibles sur les éléments d’une même classe sont incertaines ou incomplètes ; Ou bien, si les différentes classes se chevauchent et les frontières entre elles ne sont pas très claires. L’ambiguïté ne permet pas donc une identification certaine des classes ce qui fausse les résultats de classification. Pour résoudre ces problèmes Zadeh [187] a introduit la théorie des sous-ensembles flous permettant à chaque élément d’appartenir plus ou moins à plusieurs classes, par le biais d’une fonction d’appartenance floue. De cette simple constatation ont vu le jour des versions floues pour de nombreuses méthodes classiques de reconnaissance des formes, et en particulier la reconnaissance de visages. Pour résoudre le problème de ressemblance entre les visages et limiter l’ambiguïté qui peut avoir lieu, nous nous sommes intéressés dans ce chapitre à l’intégration de la théorie des sous-ensembles flous dans des algorithmes d’analyse discriminante pour la reconnaissance de visages. Tout d’abord, nous allons décrire d’une façon sommaire le principe des méthodes de classification floue, et en particulier l’algorithme fuzzy c- means. Ensuite, nous décrirons l’analyse discriminante floue et nous montrons sa limite
solution à travers l’algorithme nommé LDA/QR flou, qui est une extension floue de l’algorithme linéaire LDA/QR.
Par ailleurs, en quête d’une solution au problème de la singularité des matrices de dispersion, Liu et al. [102] ont récemment publié une méthode intéressante appelé KSDA (Kernel scatter-difference based discriminant analysis). Cette approche, évite le problème SSS de façon simple tout en prenant en compte les non-linéarités des données à travers l’utilisation des noyaux. Cependant, elle souffre de deux problèmes princi- paux. Premièrement, KSDA n’est pas robuste vis-à-vis des données aberrantes. En effet, les matrices de dispersion inter et intra classes utilisées par Liu seront affectées par des classes aberrantes. Deuxièmement, KSDA repose sur l’approximation empirique d’un paramètre C qui équilibre l’influence des matrices de dispersion sur le critère d’opti- misation. Afin de résoudre ces problèmes, nous allons proposer un nouvel algorithme nommé KWSDA qui sera plus robuste, et ce en intégrant des matrices de dispersion pondérées. De plus, nous proposerons un moyen simple pour calculer le paramètre C.
Dans la dernière section, nous présentons un troisième algorithme qui est une ver- sion floue de l’algorithme non linéaire KSDA. Cette méthode est capable de gérer les informations d’incertitudes pouvant avoir lieu entre les images acquises sous des condi- tions variables et non contrôlées. Nos expérimentations sur les bases ORL et Yale B vont confirmer l’amélioration des taux de reconnaissance avec l’intégration du flou dans KSDA.