Malgré le succès des ondelettes dans divers domaines de traitement d’images, des faiblesses ont été constatées quant à leur utilisation pour la détection et la représen- tation des contours d’objets. En effet, l’orthogonalité de la décomposition et l’échan- tillonnage critique font apparaître des effets d’aliasing visibles autour des contours au
FIGURE 3.5 – Illustrasion des sous-bandes d’une décomposition en paquets d’onde- lettes : niveau 1 (image gauche) et niveau 2 (image droite)
moindre traitement non linéaire. De plus, le nombre d’orientations est limité et fixe, et les contours sont redondants d’un niveau de résolution à un autre, ce qui requiert un grand nombre de coefficients d’ondelettes pour les représenter.
Les transformées en ondelettes et les autres décompositions multi résolutions clas- siques semblent former une catégorie restreinte et limitée des possibilités de représen- tations multi échelles de signaux multidimensionnels. Des travaux récents montrent qu’il est possible de définir des cadres théoriques de représentations multi échelles plus vastes donnant naissance à de nouvelles transformées plus intéressantes et plus adaptées à l’extraction de structures géométriques lisses et continues.
C’est le cas de la nouvelle famille des transformées en ridgelet [14], en curvelet [15] [144] et en contourlet. Ce sont des décompositions multiéchelles, qui opèrent selon une multitude d’orientations fréquentielles et qui offrent un bon compromis entre la représentation compacte de traits caractéristiques et la qualité perceptuelle de l’image reconstruite.
En particulier, la transformée en contourlets est une version discrète, donc adaptée aux images numériques, qui se base sur l’utilisation de bancs de filtres pyramidaux di- rectionnels. L’image résultante de cette transformation est un ensemble de segments de contours lisses et localisés sur lesquels peuvent s’appliquer des traitements additionnels pour l’extraction des caractéristiques [42] [43].
La transformée en contourlets telle qu’elle a été introduite par Minh Do et Martin Vetterli [43], [44], [45], est un nouveau schéma de décomposition d’images, qui four- nit une représentation compacte des données aussi bien aux résolutions spatiales que
fréquentielles. Une décomposition d’image en contourlets est construite en combinant successivement deux étages de décomposition distinctes : une décomposition multi échelle suivie d’une décomposition directionnelle.
Le premier étage utilise une pyramide laplacienne pour transformer l’image en une suite de niveaux LP passe-bande et un niveau passe-bas (approximation en basse fré- quence de l’image). Le deuxième étage applique de manière appropriée des filtres bidi- mensionnels de type quinconce et un échantillonnage critique pour décomposer chaque niveau LP passe-bande en un nombre de bandes directionnelles, capturant ainsi des informations directionnelles ou orientées. Finalement, l’image se trouve représentée par un ensemble de sous bandes multiéchelles et orientées.
Afin d’obtenir l’aspect multirésolution des contourlets, Do et vitterli ont utilisé l’al- gorithme de Burt [13] pour la décomposition pyramidale laplacienne. Puis, chacune des sous-bandes de la décomposition pyramidale est filtrée par un banc de filtre directionnel proposé par Bamberger et Smith [4].
La décomposition pyramidale laplacienne
Le principe de la décomposition pyramidale laplacienne (LP) est le suivant ( on notera x(i, j) l’image d’entrée )( figure 3.6) :
• Tout d’abord, on génère une version à résolution plus faible de x par un filtrage passe-bas H ;
• ensuite, on sous-échantillonne cette nouvelle image par une matrice M , on obtient alors une image c ;
• finalement, on obtient l’image des détails en faisant la soustraction entre x et une prédiction P de x obtenue par sur-échantillonnage et filtrage dual de c. L’image dainsi obtenue correspond à une version de l’image d’origine filtrée par un filtre passe-bande.
On applique cette décomposition à chaque niveau de résolution pour obtenir la structure de pyramide. Un exemple de décomposition pyramidale à trois niveaux est donné par la figure 3.7.
Le sous-échantillonnage et le sur-échantillonnage sont définis de la manière sui- vante :
FIGURE3.6 – Principe de la décomposition laplacienne pyramidale
FIGURE 3.7 – Exemple de décomposition laplacienne pyramidale de 3 niveaux. La
dernière image de petite taille est l’image de détails d
Soit M = diag(2, 2) la matrice de sous-échantillonnage de taille 2 × 2 alors, le sous- échantillonnage est défini par xD[n] = x[M n] avec n = (i, j) ∈ N2. Alors que, le sur-
échantillonnage est défini par xU[n] =
(
x[k] si n = M k, k ∈ N2;
0 sinon
Filtrage directionnel
Le principe du filtrage directionnel est de fournir les réponses au travers d’un banc de filtres orientés (Directional Filter Bank ou DFB) d’une image d’entrée d (figure 3.8). Ce filtrage directionnel permet d’obtenir un pavage par tranches orientées du plan fréquentiel (figure 3.9).
FIGURE3.8 – Banc de filtre directionnel de type Quincux. Chaque image d à l’entrée est
décomposée en 4 sous-bandes
Transformée en contourlets
Le principe des contourlets consiste donc à appliquer, un filtrage directionnel sur chacune des images de détails issues de la décomposition laplacienne. La figure 3.10 illustre le principe des contourlets.
FIGURE3.9 – Pavage du plan fréquentiel obtenu par filtrage directionnel de 4 directions.
Les quatre sous-bandes obtenues sont orientées en fréquences et présentent des tailles de 1/4 par rapport à la taille de d
FIGURE 3.10 – Principe de la transformée en contourlets à l’aide d’un banc de filtres
pyramidaux directionnels
A la sortie du filtre de décomposition pyramidale laplacienne, une image originale x est décomposée en L images notées (LPi, i = 1, . . . , L). Puis, chaque image LPi est
filtrée par un DFB de N directions. Finalement, la transformée en contourlets donnera LN sous-images notées {Cij}j=1,...,Ni=1,...,L. La figure 3.11 donne un exemple de transformée
en contourlets. En bas on trouve le premier niveau LP1de la décomposition laplacienne
pyramidale contenant N = 8 sous-bandes directionnelles, puis en haut on voit appa- raître 8 sous-bandes du niveau LP2.
Comparée à la transformée en ondelette discrète, la transformée en contourlets avec sa propriété de sélectivité directionnelle conduit à des améliorations et à de nouveaux potentiels pour les applications de traitement d’image. En effet, les contourlets cherchent à améliorer le pouvoir d’approximation des ondelettes en incorporant une notion de directionnalité ce qui leur permet de mieux tenir compte de la géométrie présente dans l’image. C’est dans cet esprit que nous avons utilisé pour la première fois les contourlets dans l’extraction de traits caractéristiques des visages pour la reconnaissance [22].