Résolution numérique pour des cellules élémentaires tridimensionnelles

Le problème à résoudre est maintenant le problème de Neumann tridimensionnel :











































∆

_y

χ

_i

=0 dans Ω

_g

pour i=1,2,3

∂ χ_i ∂y

.n=−n

i

sur Γ

_gs ∂ χi ∂y

.n=−n

_i

sur Γ

_gl

<χ

_i

>

Ω_g

=0

χ

_i

est priodique surΓ

_gg

(5.14)

Le vecteur localχ est tridimensionnel, ses trois composantesχ1,χ2etχ3dépendent a priori

dey1,y2ety3. Le tenseur de diffusion de vapeur d’eau homogénéiséD

^hom_v

est toujours donné

par :

où le tenseur de tortuosité τ est calculé d’après (5.10). Le tenseur de diffusion de vapeur

d’eau homogénéisé dans le cas tridimensionnel s’écrit de manière générale :

D

^hom_v

=











D

^hom₁₁

D

^hom₁₂

D

^hom₁₃

D

^hom₂₁

D

^hom₂₂

D

^hom₂₃

D

^hom₃₁

D

^hom₃₂

D

^hom₃₃











(5.16)

Les cellules élémentaires qui seront étudiées dans cette section étant symétriques, le tenseur

de diffusion de vapeur d’eau homogénéisé sera isotrope. Il s’écriraD

hom

v

=D

^hom_v

I où D

^hom_v

désigne le coefficient de diffusion de vapeur d’eau homogénéisé qui sera calculé

numérique-ment.

5.6.1 Inclusion cubique

Nous commençons par étudier une cellule élémentaire simple. Considérons la cellule

élé-mentaire de la Fig.5.14(a) engendrant la microstructure périodique représentée sur la figure

5.14(b). La taille de la cellule élémentaire est un cube de côté 1. L’inclusion cubique de coté

(a) Cellule elementaire contenant une inclusion cubique (b) Microstructure périodique associée

F

IGURE

5.14 – Inclusion cubique considérée

a, située au centre de la cellule élémentaire, représente la phase solide Ω

_s

. Comme en 2D,

on suppose ici que le liquide mouille l’inclusion solideΩ

_s

de façon aléatoire, en y déposant

un film très mince (domaineΩ

_l

) dont l’épaisseur sera négligée dans la résolution numérique

du problème (5.14). Cette hypothèse se justifie pour le régime hygroscopique étudié, compte

tenu des faibles teneurs en eau mises en jeu.

Pour chaque type de béton (C15,C22, BHPA1 et A2), la taille a de l’inclusion solide

est déterminée de façon à respecter la teneur en gaz donnée choisie pour la comparaison. Le

coefficient de diffusion de vapeur d’eau homogénéisé relatif associé est calculé par (5.15)

après résolution numérique du problème (5.14). Les paramètres de la simulation numérique

(teneur en gazθ

_g

, taille de l’inclusiona), et les résultats obtenus (coefficients de diffusion de

vapeur d’eau homogénéisés) sont présentés dans le tableau (5.11).

Type de béton C15 (HR=33%) C22 (HR=12%) BHP A1 (HR=12%) BHP A2 (HR=12%)

a 0.95 0.9525 0.9605 0.9562

θ

_g

0.143 0.136 0.114 0.126

ε

_p

0.15 0.14 0.12 0.13

D

^exp_θ

(10

−10

m

²

.s

⁻¹

) 0.771 1.03 0.17 0.15

D

^hom_θ

(10

−10

m

²

.s

⁻¹

) 17.075 16.33 4.9≤D

^hom_θ

≤6.3 4.6≤D

^hom_θ

≤5.5

D^hom_θ

D^exp_θ

23 15 28≤

^Dhomθ

D^exp_θ

≤37 30≤

^Dhomθ D^exp_θ

≤36

Tableau 5.11 – Comparaison entre coefficients de diffusion expérimentaux et théoriques pour

les bétonsC15,C22, BHPA1 etA2 (modèle d’inclusion cubique)

On observe un écart légèrement plus important entre valeurs théoriques et expérimentales

que dans le cas d’une inclusion carrée en 2D, pour les mêmes valeurs de la porosité et de

l’hu-midité relative. Cela peut s’expliquer par le fait qu’en dimension 2, pour les faibles porosités

considérées, on était à la limite de la percolation (les distances entre deux inclusions solides

étaient très faibles). Ainsi, la diffusion d’humidité pouvait se trouver freinée ou bloquée à

certains endroits, ce qui n’est pas le cas en 3D compte tenu de la topologie.

Par la suite, afin d’essayer d’approcher de façon plus pertinente la microstructure réelle

des matériaux cimentaires étudiés, nous allons considérer des cellules élémentaires

tridimen-sionnelles plus complexes, présentant une forte tortuosité et constrictivité.

5.6.2 Inclusion tridimensionnelle plus complexe

(a) Cellule elementaire plus complexe

(b) Microstructure périodique associée

F

IGURE

5.15 – Modèle de microstructure périodique plus complexe considérée.

Considérons pour finir, une cellule élémentaire encore plus complexe géométriquement

que les précédentes, représentée sur la figure 5.15(a). Elle est constituée d’une sphère de

rayonr

_c

située au centre de la cellule élémentaire, de huitièmes de sphères de rayonr

_s

situés

aux sommets, et de quarts de sphères de même rayon r

s

situés aux milieux des arrêtes des

côtés. Les rayons des sphères r

_c

et r

_s

sont choisis de façon adéquate en suivant la même

démarche que précédemment, afin de s’approcher au mieux des données (porosité et humidité

relative des matériaux). On obtient les résultats numériques présentés dans le tableau (5.12).

Nous constatons que l’on obtient des valeurs de

^Dhomθ

D^exp_θ

qui sont plus proches des valeurs

expérimentales que dans le cas d’une cellule contenant une inclusion cubique 3D. L’écart

existant encore entre les valeurs théoriques et expérimentales peut s’expliquer entre autres

par le phénomène d’emprisonnement de l’air qui n’est pas pris en compte par notre modèle

et qui réduit la cinétique du transfert hydrique.

Type de béton C15 (HR=33%) C22 (HR=12%) BHP A1 (HR=12%) BHP A2 (HR=12%)

r

s

0.36 0.36 0.36 0.36

r

_c

0.3805 0.386 0.403 0.3935

θ

_g

0.143 0.136 0.114 0.126

ε

_p

0.15 0.14 0.12 0.13

D

^exp_θ

(10

−10

m

²

.s

⁻¹

) 0.771 1.03 0.17 0.15

D

^hom_θ

(10

−10

m

²

.s

⁻¹

) 11.2 9.43 2.7≤D

^hom_θ

≤6.4 2.59≤D

^hom_θ

≤3.09

D^hom_θ

D^exp_θ

14 9 15≤

^Dhomθ

D^exp_θ

≤20 17≤

^Dhomθ D^exp_θ

≤20

Tableau 5.12 – Comparaison entre coefficients de diffusion expérimentaux et théoriques pour

les bétonsC15,C22, BHPA1 etA2 (microstructure périodique 3D complexe)

5.6.3 Analyse et discussion

La comparaison effectuée à la section5.4entre la valeur du coefficient de diffusion

hy-drique théorique obtenue à partir d’une modélisation simple de pores cylinhy-drique infinis,

et la valeur obtenue par détermination expérimentale au laboratoire, a montré un écart

im-portant entre expérience et théorie. Cet écart imim-portant était dû au modèle très simple de

pores cylindriques considéré, où aucune tortuosité ni constrictivité géométrique n’était prise

en compte. Par la suite, nous avons considéré des cellules élémentaires bidimensionnelles

et tridimensionnelles plus complexes géométriquement, présentant une certaine tortuosité et

constrictivité. Le calcul du coefficient de diffusion homogénéisé n’a été possible que

numé-riquement en utilisant le logiciel Comsol Multiphysics. La dernière cellule élémentaire

tridi-mensionnelle considérée dans la section5.6.2était la plus réaliste en terme de représentativité

géométrique du matériau cimentaire réel d’une part, et d’autre part permettrait d’obtenir des

porosités faibles (de l’ordre de celles correspondant aux matériaux réels étudiés), ainsi qu’une

tortuosité et une constrictivité importante (géométrie complexe).

Cependant, les résultats obtenus sur ces cellules élémentaires bidimensionnelles et

tridi-mensionnelle, montrent que la complexité géométrique de la microstructure du milieu poreux

(avec une forte tortuosité et constructivité) est un paramètre important, mais pas suffisant pour

retrouver les valeurs expérimentales du coefficient de diffusion hydriqueD

^exp_θ

.

Même dans le cas où les valeurs théoriques et expérimentales restent assez éloignées, on

remarque la même tendance générale pour les résultats obtenus. Les valeurs de D

^hom_θ

pour

le bétonC22 sont toujours inférieures à celles obtenus pour le bétonC15, qui elle-mêmes

sont du même ordre de grandeur (correspondant au minimum obtenu) pour les bétons BHP.

Cette tendance générale peut s’expliquer par le fait que le phénomène d’emprisonnement

de l’air, qui réduit la cinétique de transfert, n’est pas prise en compte dans notre modèle.

Or, les bétonsC15, BHPA1 et BHPA2 présentent une distribution de porosité polymodale

traduisant leur faible micro-porosité (voir Figs.5.1et5.2). Comme l’eau commence à

occu-per par condensation les petits pores, même pour une d’humidité relative assez faible, l’air

emprisonné s’oppose à la saturation, ce qui explique un rapport assez élevé de

^Dhomθ

D^epx_θ

pour ces

bétons. Par contre, le bétonC22, qui présente une distribution monomodale de taille de pores,

contient beaucoup moins de petit pores que les autres bétons, ce qui rend l’emprissonnement

de l’air moins important, et par conséquence le rapport

^Dhomθ

D^epx_θ

obtenu est moins élevé.

D’autre part, notons que la détermination expérimentale du coefficient de diffusion

hy-drique expérimental D

^exp_θ

, avec lequel nous comparons nos résultats, peut également être

discutée, dans la mesure où il s’agit d’une détermination indirecte reposant sur un modèle

contenant lui même certaines hypothèses qui n’ont pas été présentées ni discutées ici.

Enfin, signalons le caractère relatif des comparaisons effectuées, vu le peu de valeurs

expérimentales dont nous disposons dans la littérature, et compte tenu des écarts importants

existant entre les coefficients de diffusion hydrique pour des bétons ayant des caractéristiques

relativement proches [4][45][102].

Dans le document Modélisation des transferts hydriques dans les milieux poreux partiellement saturés par homogénéisation périodique : Application aux matériaux cimentaires (Page 168-174)