4.4 Inclusions bidimensionnelles partiellement saturées - Mise en évidence du
4.4.3 Résolution numérique dans la région super-hygroscopique
Intéressons nous maintenant à la résolution numérique du problème (4.3) dans la région
super-hygroscopique. Pour cela, nous avons utilisé le logiciel COMSOL Multiphysics. La
résolution numérique des équations aux dérivées partielles (4.3) a été effectuée par la méthode
des éléments finis.
Dans l’exemple considéré, seule la composante χ
1est intéressante à simuler, la solution
pour χ2 etχ3 étant triviale (voir (4.49) et (4.50)). Considérons comme cellule élementaire
une inclusion rectangulaire tel quea=5 etb=1 (Fig.4.8).
F
IGURE4.8 – Inclusion rectangulaire considérée
La résolution numérique du problème suivant dontχ
1est solution :
∂
2χ
1∂y
21+∂
2χ
1∂y
22= 0 dans Ω
g(4.55)
∂ χ
1∂y1.n1+∂ χ
1∂y2.n2 = −n1 sur Γ
gs(4.56)
χ
1= 0 sur Γ
gl(4.57)
est effectuée avec Comsol Multiphysics.
Comparaison entre les solutions analytique et numérique pour la composanteχ
1La solution analytique que nous avons obtenue pour χ
1en (4.48) est représentée sur la
Fig.4.9tronquée au douzième termes, i.e :
χ1(y1,y2) =
n=12
∑
n=0
2
b p
2nsinh(p
na) sin(p
ny2))(cosh(p
n(a− y1))−cosh(p
ny1))
avec p
n=
(2n2+b1)π.
F
IGURE4.9 – Composanteχ
1tronquée au douzième terme
La solution numérique de problème (4.55)-(4.57), effectuée avec Comsol Multiphysics,
est représentée à la Fig.4.10.
F
IGURE4.10 – Composanteχ1obtenue par résolution numérique avec Comsol Multiphysics
La comparaison entre la solution numérique et la solution analytique pour la composante
χ1 montre un très bon accord (Figs 4.9 et 4.10). Maintenant que la résolution numérique
avec Comsol Multiphysics a été validée, nous proposons de calculer le tenseur de tortuosité
localφ afin d’essayer d’expliquer et d’interpréter le processus de diffusion de vapeur d’eau à
l’échelle macroscopique (composanteD
hom11donnée par (4.54)).
Tenseur de tortuosité local
Représentons maintenant le tenseur de tortuosité localφ = (I+
∂ χ∂y)qui a comme
expres-sion analytique (4.51)-(4.53). Toutes les composantes deΦsont nulles saufΦ
11,Φ
21etΦ
33(qui est trivialement égale à 1).
Une fois que χ1 a été calculé numériquement, la composanteΦ
11=1+
∂ χ1∂y1
est représentée
sur la Fig.4.11.
F
IGURE4.11 – Représentation de la composanteΦ
11Nous observons que dans la directiony
1, près du domaine solide (aux alentours des
fron-tièresΓ
1etΓ
3représentées plus explicitement sur la Fig.4.7),Φ
11s’annule, ce qui correspond
à une diffusion de vapeur d’eau nulle près de l’interface gaz-solideΓ
gs. Par contre, plus on
se rapproche du centre du domaine liquide, plus la composanteΦ
11croit et s’approche de sa
valeur maximale. Ainsi, les variations deΦ
11peuvent être interprétées comme un phénomène
de condensation capillaire qui apparait dans la région super hygroscopique.
Les variations deΦ
11traduisent l’agitation de la vapeur d’eau quand l’eau liquide remplit
l’espace poral. On arrive même à distinguer des "ponts capillaires" qui se créent en faisant
varier la position du front capillaire (Fig.4.11). De plus, nous remarquons l’existence d’un
nouveau terme de couplageΦ
21dont les variations sont représentées sur la Fig.4.12.
F
IGURE4.12 – Représentation de la composanteΦ
21L’interprétation physique de ce terme de couplage n’est pas évidente. Il semble lié à la
rotation des directions principales du tenseur de tortuosité local de la vapeur d’eau. Notons
que ce terme s’annule une fois que nous moyennonsΦsur le domaine gazeuxΩ
gpour obtenir
le tenseur de difussion de vapeur d’eau homogénéisé (voir (4.54)).
Etude paramétrique du tenseur de diffusion de vapeur d’eau homogénéisé
Nous proposons pour finir de comparer les résultats obtenus dans le cas d’une inclusion
rectangulaire, pour la diffusivité dans la directiony3(diffusion classique sans effet de
tortuo-sité) et dans la directiony1(diffusion avec condensation capillaire). Pour cela, nous calculons
numériquement les coefficients de diffusion de vapeur d’eau homogénéisés relatifs
1D
hom11/D
r vetD
hom33/D
rv
en fonction de la teneur en gazθ
gque l’on fait varier dans l’intervale[0%,20%].
Les résultats obtenus sont représentés sur la figure4.13.
1. Il suffit d’intégrer le tenseur de tortuosité local sur le domaine gazeuxΩget de diviser par le volume total |Ω|pour obtenirDhom11 etDhom33 .
F
IGURE4.13 – Variation des coefficients de diffusion de vapeur d’eau homogénéisés relatifs
D
hom11/D
rv
etD
hom33/D
rv
en fonction de la teneur en gaz pour une inclusion rectangulaire.
Nous observons que les coefficients de diffusion homogénéisés relatifsD
hom11/D
rv
etD
hom33/D
r vaugmentent lorsque la teneur en gazθ
gaugmente. En effet, lorsque la teneur en gazθ
gaug-mente, le volume du domaine gazeux augmente aussi, ouvrant un espace plus grand à la
diffusion de vapeur d’eau qui devient plus importante. Si nous comparons les deux
coeffi-cients de diffusion homogénéisés calculés dans les directionsy1ety3, nous remarquons que
pourθ
g<8%, il n’y a quasiment pas de différence entre les deux courbes. Ceci s’explique
par le fait que la condensation capillaire pour des teneurs en gaz faibles (et donc des teneurs
en eau élevées) est assez forte. Par contre, pour une teneur en gazθ
g>8%, on remarque une
différence notable entre les deux courbes. On obtient des valeurs plus faibles deD
hom11/D
rv.
En effet, plus la teneur en gaz est grande, moins la condensation capillaire (liée àD
hom11) est
importante. Ainsi, les valeurs de la teneur en gaz ont une influence importante sur le type de
diffusivité de la vapeur d’eau (diffusion classique dans la directiony3 ou diffusion liée à la
condensation capillaire dans la directiony1).
D’une manière équivalente, en fixant la porosité du matériau ε
p=15%, et en faisant
varier la teneur en eau liquide θ
ldans l’intervalle [0%,15%], nous obtenons les variations
des coefficients de diffusion de vapeur d’eau homogénéisés relatifsD
hom11/D
rv
etD
hom33/D
r ven
fonction deθ
lreprésentées sur la figure4.14.
F
IGURE4.14 – Variation des coefficients de diffusion de vapeur d’eau homogénéisés relatifs
D
hom11/D
rv
etD
hom33/D
rv
en fonction de la teneur volumique en eau θ
lpour une porosité ε
p=
15%.
Nous remarquons que les coefficients de diffusion de vapeur d’eau homogénéisésD
hom11/D
r vetD
hom33/D
rv