Résolution

Pour commencer, je vais montrer l’importance du choix de la résolution spatiale dans la convergence entre les résultats théoriques et simulés à travers l’étude d’une lame diélectrique mince linéaire homogène et isotrope. Le schéma de principe et les spectres théoriques en transmission et réflexion d’une telle lame sont donnés dans la Figure 3. J’ai utilisé des conditions aux limites de type Bloch dans la direction X. L’intégralité du script utilisé pour cette étude figure en annexe 1. Ce script est largement commenté afin d’aider à la compréhension de l’implémentation des simulations mises en œuvre tout au long de cette thèse.

Pour établir l’expression théorique, je me suis référé au cours d’optique ondulatoire sur les interférences à ondes multiples, sous incidence normale, sur une lame d’indice n et d’épaisseur e, située dans l'air de chaque coté.

On a ainsi : X =Y_YZ J = [(sin Φ2)% 1 + [(sin Φ2)% (3.8) ` =Y_Y J = 1 1 + [(sin Φ2)% (3.9)

où Φ représente le déphasage entre deux rayons consécutifs transmis et de réflexion en intensité d’une interface simple, sous incidence normale

Figure 3 : Schéma d'implantation courbe

La courbe en transmissi fréquentielle qui annule l’expression

I = 1 donne $

<U 1 soit une fréquence réduite de 1 également) et

dénominateur de la formule (3.9 cette valeur fréquentielle précise.

69 avec M = 4 a

2 71 a2:2

ésente le déphasage entre deux rayons consécutifs transmis et d’une interface simple, sous incidence normale. On a

Φ %b <U ' c %b <U ' 2dI a 71 d: 71 3 d:

: Schéma d'implantation du système lame mince sous incidence normale courbes Transmission / Réflexion analytiques.

La courbe en transmission présente un maximum en f = 1. Il s’agit de la valeur fréquentielle qui annule l’expression 7sine

%:

% _{(puisqu’icif} g

% d ' I ' soit une fréquence réduite de 1 également) et

dénominateur de la formule (3.9). Comme R + T = 1, la courbe en réflexion s’annule pour cette valeur fréquentielle précise.

(3.10)

ésente le déphasage entre deux rayons consécutifs transmis et r le coefficient . On a :

(3.11)

(3.12)

du système lame mince sous incidence normale et

l s’agit de la valeur

'%b

<U pour d 2 et

ainsi minimise le Comme R + T = 1, la courbe en réflexion s’annule pour

J’ai ensuite simulé cette cavité pour différentes résolutions résultats sont présentés dans les figures 4, 5 et 6.

Figure 4 : Comparaison résultats analytiques / MEEP pour une résolution

Les résultats obtenus grâce à MEEP rien aux résultats analytiques attendus

dans le script d’entrée les valeurs respectives de la résolution et de la fréq

l’onde émise afin de déterminer le nombre de pixels par longueur d’onde présent dans le calcul. Pour une fréquence centrale

10, on obtient un chiffre de

logiciel MEEP conseille de toujours prendre une valeur supérieure à 8 pixels par longueur d’onde au sein du milieu d’indice le plus élevé

Dans la suite de cette étude, seront retenus pour comparaison.

Figure 5 : Comparaison résultats analytiques / MEEP pour une résolution

a)

70

simulé cette cavité pour différentes résolutions : 10, 30, 100 et 200. L dans les figures 4, 5 et 6.

: Comparaison résultats analytiques / MEEP pour une résolution

obtenus grâce à MEEP et présentés dans la Figure 4 ne correspondent en rien aux résultats analytiques attendus. Cette divergence profonde s’explique en considérant dans le script d’entrée les valeurs respectives de la résolution et de la fréq

afin de déterminer le nombre de pixels par longueur d’onde présent dans le Pour une fréquence centrale 6_8hi = 1 dans une lame d’indice n = 2 e

10 ' $

%'$ 5 pixels par longueur d’onde. Les concepteurs du conseille de toujours prendre une valeur supérieure à 8 pixels par longueur du milieu d’indice le plus élevé [6], ce qui n’est pas le cas dans cette

seuls les calculs réalisés pour une résolution supérieure à 16 seront retenus pour comparaison.

: Comparaison résultats analytiques / MEEP pour une résolution 100.

b)

: 10, 30, 100 et 200. Les

: Comparaison résultats analytiques / MEEP pour une résolution de 10.

ne correspondent en . Cette divergence profonde s’explique en considérant dans le script d’entrée les valeurs respectives de la résolution et de la fréquence centrale de afin de déterminer le nombre de pixels par longueur d’onde présent dans le dans une lame d’indice n = 2 et une résolution de . Les concepteurs du conseille de toujours prendre une valeur supérieure à 8 pixels par longueur , ce qui n’est pas le cas dans cette étude. seuls les calculs réalisés pour une résolution supérieure à 16

Figure 6 : Comparaison résultats analytiques / MEEP pour une résolution

Au fur et à mesure que la résolution augmente, les résultats MEEP et les résultats analytiques tendent à se rapprocher pour

200. En effet, pour cette résolution précise, le maximum d

f = 0,994 contre 1 pour la valeur analytique du maximum

s’avère très coûteux en espace mémoire et nécessite un grand temps de calcul.

l’évolution de la localisation du maximum de transmission en fonction de la résolution de calcul, on s’aperçoit qu’un calcul effectué pour un résolution

localisé à f = 0,989 (Figure

suffisante pour éviter aux résultats de diverger mais résultats pour un gain de précision faible

Figure 7 : Evolution de la fréquence du maximum de transmission, en fonction du paramètre de résolution de MEEP.

71

: Comparaison résultats analytiques / MEEP pour une résolution

Au fur et à mesure que la résolution augmente, les résultats MEEP et les résultats analytiques tendent à se rapprocher pour converger fortement lorsqu’on atteint la valeur de En effet, pour cette résolution précise, le maximum de transmission est localisé à 0,994 contre 1 pour la valeur analytique du maximum (figure 6). Toutefois

s’avère très coûteux en espace mémoire et nécessite un grand temps de calcul.

l’évolution de la localisation du maximum de transmission en fonction de la résolution de on s’aperçoit qu’un calcul effectué pour un résolution de 100 renvoie

Figure 7). La suite des simulations devra présenter une résolution

suffisante pour éviter aux résultats de diverger mais une résolution trop grande résultats pour un gain de précision faible.

: Evolution de la fréquence du maximum de transmission, en fonction du paramètre de résolution de MEEP.

: Comparaison résultats analytiques / MEEP pour une résolution de 200.

Au fur et à mesure que la résolution augmente, les résultats MEEP et les résultats converger fortement lorsqu’on atteint la valeur de e transmission est localisé à . Toutefois, ce calcul s’avère très coûteux en espace mémoire et nécessite un grand temps de calcul. En traçant l’évolution de la localisation du maximum de transmission en fonction de la résolution de 100 renvoie à un maximum devra présenter une résolution une résolution trop grande ralentirait les