Résolution mixte

[Fan et al., 2002] n’est pas un travail à proprement parler dédié à l’étude de systèmes de réactions enzymatiques même s’il a déjà été appliqué à des ensembles de réactions bio-chimiques [Seo et al., 2001]. Ce travail visait initialement l’étude de systèmes de synthèse de composés chimiques à partir d’autres composés chimiques. En général, de telles études ne font pas intervenir un très grand nombre de réactions. Par exemple, pour l’étude de la synthèse de l’ammoniac, le système considéré dans [Fan et al., 2002] ne contient que 14 réactions élémentaires, toutes réversibles. Comme elle a été conçue pour étudier des systèmes chimiques dont le bilan réactionnel est assez simple, cette approche réclame le bilan exact du fonctionnement du réseau recherché.

Exemple : dans le cas de la synthèse de l’ammoniac l’équation bilan est N2 + 3H2 ⇆

2NH3.

Une particularité de cette approche est que la résolution du problème se décompose en plusieurs étapes successives qui font intervenir deux types différents de méthode de résolution. Les premières étapes font intervenir des algorithmes de résolution combinatoire de type Branch&Bound, alors que la dernière étape se base sur la résolution de systèmes d’équations linéaires.

[Fan et al., 2002] se base sur une représentation des réseaux réactionnels appelés P-graphes. Avant de s’intéresser à l’enchaînement et à la description des différentes étapes de la résolution du problème, nous allons présenter ces P-graphes.

5.2. Approches contraintes par un équilibre global

5.2.3.1 Définition des P-graphes

P-graphe est la contraction de process graph. Ces graphes ont été à l’origine introduits pour décrire les processus de synthèse de produits chimiques. Les P-graphes sont très similaires aux réseaux de Petri présentés au § 5.2.2. Ce sont des graphes bipartites. Un type de nœuds est réservé aux espèces chimiques et un autre aux réactions. La différence entre un P-graphe et un réseau de Petri est que dans un P-graphe, les transitions ne sont pas valuées.

Définition 10 P-graphe

Un P-graphe est un doublet (M, O) où :

– M = {m1, . . . , mn}

– O = {(p1, p2) , . . . , (pr−1, pr)} où ∀i, pi ⊆ M

M est l’ensemble des nœuds représentant les espèces chimiques O est l’ensemble des nœuds représentant les réactions chimiques

5.2.3.2 Représentation graphique des P-graphes

o4 C4H10 ℓ o1 o5 C4H8ℓ o3 o2 C4H8 C4H6ℓ H2 C4H8

Fig. 5.11: Représentation graphique d’un P-graphe (adapté de [Fan et al., 2002]) -

Au-cune transition n’est explicitement orientée, néanmoins, les espèces chimiques intervenant dans une réaction sont séparées suivant que le liens entre la réaction et les composés se branchent sous ou au dessus du rectangle représentant la réaction

Les P-graphes se représentent de la même façon que les réseaux de Petri. Exemple : la figure 5.11 montre la représentation graphique du P-graphe

P = (M = {C₄H₁₀, C₄H₈ℓ, C₄H₈, C₄H₆ℓ, C₄H₆, H₂, ℓ} , O = {o₁, o₂, o₃, o₄, o₅})

– o1 = ({C4H10, ℓ} , {C4H8ℓ, H2})

– o2 = ({C4H8ℓ} , {C4H8, ℓ})

– o3 = ({C4H8ℓ} , {C4H6ℓ, H2})

– o4 = ({C4H6ℓ} , {C4H6, ℓ})

– o5 = ({C4H10, ℓ, C4H6ℓ} , {C4H8ℓ})

les oi sont associés aux réactions suivantes :

– r1 = C4H10+ ℓ ⇆ C4H8ℓ + H2

– r2 = C4H8ℓ ⇆ C4H8+ ℓ

– r3 = C4H8ℓ ⇆ C4H6ℓ + H2

– r4 = C4H6ℓ ⇆ C4H6+ ℓ

– r5 = C4H10+ ℓ + C4H6ℓ ⇆ 2C4H8ℓ

ces réactions sont impliquées dans la déshydrogénation du butane en butène en pré-sence d’un catalyseur ℓ. Ce problème est également étudié avec l’approche décrite dans [Fan et al., 2002].

Cela permet de poser le problème résolu dans [Fan et al., 2002] :

Problème 4 Système de synthèse de composés chimiques

Données : un ensemble R de réactions (toutes considérées comme réversibles) faisant

intervenir l’ensemble des composés C =©

c₁, . . . , c_|C|ª

et une équation bilan Q (de la forme

nici+ . . . + njcj ⇆nkck+ . . . + nlcl)

Réponse : l’ensemble des utilisations des réactions de R (un vecteur de taille |R| com-posés d’entiers) qui ont pour bilan l’équation bilan Q.

5.2.3.3 Présentation générale de l’algorithme

L’algorithme fonctionne en trois étapes successives :

1. la première étape (réduction du réseau) consiste, à partir d’un P-graphe construit

à partir d’un ensemble de réactions (toutes réversibles) et d’un bilan à atteindre, à supprimer des réactions qui ne peuvent pas faire partie de la solution du problème

2. la deuxième étape (construction des réseaux candidats) consiste, à partir d’un

graphe et d’un bilan à atteindre, à rechercher des sous-réseaux candidats du P-graphe initial

3. la dernière étape (évaluation des réseaux candidats) consiste à valider ou à rejeter les

sous-réseaux candidats proposés en établissant le nombre de fois où chaque réaction doit être utilisée pour atteindre le bilan fixé. C’est cette dernière étape qui utilise la résolution de systèmes linéaires

5.2. Approches contraintes par un équilibre global

5.2.3.4 Formulation axiomatique du problème

Dans [Fan et al., 2002], le problème est caractérisé par un ensemble de propriétés que les solutions doivent forcément vérifier. Elles sont au nombre de cinq :

1. chaque produit final est totalement produit par les réactions de la solution

2. chaque substrat initial est totalement consommé par les réactions de la solution

3. chaque composé chimique produit par une réaction de la solution doit être

totale-ment consommé par une ou plusieurs réactions du réseau solution. Chaque composé chimique consommé par une réaction de la solution doit être totalement produit par une ou plusieurs réactions du réseau solution

4. le réseau représentant l’ensemble des réactions de la solution est acyclique

5. au moins une réaction représentée dans le réseau solution consomme un substrat

initial

Les quatre premières règles peuvent être utilisées afin de donner l’ensemble des condi-tions suivantes que doivent vérifier les sous-réseaux candidats générés lors de la deuxième étape de la résolution du problème :

1. chaque produit final est présent dans le réseau solution

2. chaque substrat initial est présent dans le réseau solution

3. chaque composé chimique présent dans le réseau possède un chemin menant à un

produit final du problème

4. un composé chimique représenté dans le réseau solution est un substrat initial s’il

n’est produit par aucune réaction du réseau

5. le réseau solution n’implique une réaction que dans un de ces deux sens possibles

La deuxième étape a donc pour but de générer tous les sous-réseaux qui satisfont ces cinq conditions.

5.2.3.5 Utilisation de la résolution de systèmes linéaires

La troisième étape repose sur la résolution de systèmes linéaires. A cette étape la donnée est un réseau complètement spécifié par les réactions incluses et le sens dans lequel elles fonctionnent. La seule information manquante est le nombre de fois où chaque réaction doit être utilisée pour parvenir au bilan final. Comme le bilan final est connu et que chaque réaction incluse dans le réseau est connue, il est facile de résoudre ce problème en faisant appel à un solveur de systèmes linéaires. Comme le bilan final est bien connu et que le nombre de réactions est le plus petit possible, le système d’équations linéaires

associé n’a qu’une seule solution ou aucune (cela est garanti par construction, voir [Fan et al., 2002] pour plus de détails). Le sous-réseau est donc soit validé, soit rejeté. Dans le cas où il est accepté, les coefficients d’utilisation de chaque réaction sont connus car ce sont les coefficients solutions du système linéaire posé à partir de l’ensemble des réactions du sous-réseau candidat.