4.3 Problèmes de Dirichlet dans des domaines doublement connexes
4.3.2 Résolution dans le cas complexe
Nous disposons désormais des résultats nécessaires à la résolution de (P Df ) dans A. Néanmoins, avant dénoncer le résultat principal de cette section, il convient de pouvoir caractériser de manière explicite les éléments de LpR(∂A) n’admettant pas de conjuguée
σ-harmonique. Dans cet esprit, commençons par donner le résultat suivant qui fournit
une définition rigoureuse de la dérivée normale sur T d’une fonction de Up σ(D).
Lemme 4.3.2.1 Pour tout u ∈ Lp
R(T), il existe une unique distribution ∂nU ∈ W−1,p(T)
telle que Z Tσ∂nU ϕ := lim ε→0 ZZ Dεσ∇U · ∇ϕ < ∞ , ϕ ∈ C∞(D) , (4.33) où U ∈ Up
σ(D) est l’unique solution de (1.2) vérifiant trTU = u. Preuve. On sait avec le Thérorème 4.1.2.2 que U|Dε ∈ W1,l
R (Dε) pour tout l∈ (1, ∞). Dès
lors, la dérivée normale ∂nU est classiquement définie sur Tε comme l’unique membre de l’espace dual WR−1/l,l(Tε) vérifiant la relation
Z
Tεσ∂nU ϕ =
ZZ
Dεσ∇U · ∇ϕ , ϕ ∈ C∞(D) . (4.34)
Remarquons aussi que la conjuguée σ-harmonique v de u existe et appartient à LpR(T) avec le Théorème 4.2.1.1. On note alors V la solution de ∇ · (σ−1∇V ) = 0 dans D telle
que trTV = v. La relation (4.34) peut encore s’écrire, grâce aux équations de
Cauchy-Riemann, Z Tεσ∂nU ϕ =− Z TεV ∂tϕ = ZZ Dεσ∇U · ∇ϕ . (4.35)
88 Problèmes de Dirichlet et généralisation de l’opérateur de conjugaison
lim
ε→0
Z 2π
0 |v(eiθ)− V (εeiθ)|p dθ = 0 ,
si bien qu’en appliquant l’inégalité de Hölder et en passant à la limite dans (4.35), on a que lim ε→0 ZZ Dεσ∇U · ∇ϕ = − Z Tv ∂tϕ <∞ .
La dérivée normale de U comme élément de W−1,p(T) est alors définie de manière unique par Z Tσ∂nU ϕ = lim ε→0 ZZ Dεσ∇U · ∇ϕ < ∞ .
Notons maintenant que le résultat du Lemme 4.3.2.1 se généralise au cas doublement connexe. En effet, soit u ∈ LpR(∂A). D’après la relation (4.32), on a que u se décompose de manière unique en
u = uh+ us , uh ∈ Re tr∂AHp
ν(A) et us∈ S .
Désignons alors par Uh et Us les fonctions de Up
σ(A) ayant pour trace respective uh et us (l’existence de ces fonctions est justifiée par le Théorème 4.3.1.1 ainsi que par [78, Thm. 2.4.2.5]). On sait aussi, avec le Théorème 4.1.3.1 que
Uh = Uhint+ Uhext , Uhint∈ Hνpi(D) et Uhext∈ Hνpe(C\ D) .
Finalement U = Uint
h + Uext
h + Us et il est possible de donner un sens à la dérivée normale de U sur ∂A. En effet, avec le Théorème 4.1.2.2, on a que Uint
h et Uext
h sont
de régularité WR1,l pour tout l ∈ (1, ∞) au voisinage de T̺ et T respectivement, ce qui permet de définir leur dérivée normale au sens classique sur T̺ et T respectivement. Mais on peut aussi définir la dérivée normale de Uint
h sur T (resp. de Uext
h sur T̺) avec le Lemme 4.3.2.1. Ceci permet finalement de donner un sens à la dérivée normale de Uh sur ∂A et de conclure puisque la régularité de us, et donc a fortiori celle de Us, garantissent une définition de la dérivée normale.
Introduisons maintenant une définition supplémentaire.
Définition 4.3.2.1 On note Up,0
σ (A) le sous ensemble de Up
σ(A) composé des fonctions
U satisfaisant la condition de compatibilité RTσ∂nU = 0. Par analogie, on note aussi Vp,0
σ (A) le sous ensemble de Vp
σ(A) composé des fonctions V satisfaisant la condition de
compatibilité RTσ−1∂nV = 0.
Nous sommes désormais en mesure d’énoncer le résultat suivant qui fournit la réponse au problème (P Df ) dans le cas doublement connexe.
par (1.6). Soient aussi u = (u1, u̺)∈ LpR(∂A) et U ∈ Up
σ(A) la solution de (P Du) associée
à u. Alors, si U ∈ Up,0
σ (A), il existe une unique fonction f ∈ Hp,0
ν (A) telle que
Re (trTf ) = u1 p.p sur T et Re (trT̺f ) = u̺ p.p sur T̺ . De plus, il existe c = cp,σ > 0 telle que
kfkHp
ν(A) ≤ cp,σkukLp
R(∂A) , (4.36)
et on a f ∈ W1,l
loc(A) pour tout l ∈ (1, ∞). Si par contre U /∈ Up,0
σ (A), alors le problème (P Df ) n’admet pas de solution.
Preuve. Soit u = (u1, u̺) ∈ LpR(∂A) vérifiant la condition de compatibilité RTσ∂nU = 0.
D’après la discussion de la Section 4.2.2, l’unique fonction U solution de (P Du) et associée à u, fournie par le Théroème 4.3.1.1, appartient à Re (Hp
ν(A))⊂ Up
σ(A). Notons f ∈ Hp ν(A) telle que Re (f ) = U . L’appartenance de f à Hp
ν(A) assure que la fonction V = Im (f ) est bien définie dans A, à une constante additive près, comme une fonction monovaluée. En imposant à v = tr∂AV la normalisation (3.2), on obtient de plus l’unicité de f . Pour
continuer la preuve, il est suffisant de considérer les solutions de l’équation (3.4) d’après le Corollaire 3.2.2.1. En fait, par les mêmes arguments que ceux exposés dans la preuve du [25, Thm. 4.4.1.2], à laquelle nous renvoyons le lecteur pour plus de détails, nous obtenons que l’unique fonction w ∈ Gp
α(A) associée à f avec (3.6) vérifie
ktr∂AwkLp(∂A) ≤ c′p,σkσ1/2ukLp
R(∂A) .
L’inégalité (4.36) s’obtient finalement grâce à (3.7), (1.1) et la propriété 2 de la Proposition 3.2.3.2. Finalement f ∈ Wloc1,l(A) est aussi une conséquence directe du Théorème 3.2.3.1 et de (3.7). La preuve se conclut en remarquant que si RTσ∂nU 6= 0, alors U n’admet pas
de conjuguée σ-harmonique (voir encore la Section 4.2.2).
La première partie du Théorème 4.1.2.2 peut maintenant être généralisée au cas an-nulaire sans difficulté. Ainsi, sur le même schéma que celui utilisé pour la preuve du Théorème 4.1.2.2, on a immédiatement la proposition suivante :
Proposition 4.3.2.1 Soient σ ∈ W1,∞
R (A), u∈ LpR(∂A) et U ∈ Up
σ(A) telle que tr∂AU = u presque partout sur ∂A. Alors si U ∈ Up,0
σ (A), on a que pour tout sous-ensemble K de
A tel que K ⊂ A et tout l ∈ (1, +∞), il existe c = c(K, l, σ, p) > 0 tel que kukW1,l(K)≤ c k(u1, u̺)kLp(∂A) .
Ces résultats permettent d’étendre rigoureusement la notion de conjugaison σ-harmonique. On peut en effet affirmer maintenant que l’opérateur Hν (voir Section 4.2.1) donné par
Hν : Up,0
σ (A) → Vp,0
σ (A)
90 Problèmes de Dirichlet et généralisation de l’opérateur de conjugaison
est bien défini. A nouveau l’unicité deHν provient du fait que les fonctions v dansVp,0
σ (A)
sont normalisées telles que R∂Av = 0.
Nous concluons cette suite de résultats généralisant ceux obtenus dans le cas simple-ment connexe en mettant l’accent sur le fait que les propriétés de bornitude de l’opérateur
Hν énoncés dans le Théorème 4.2.1.1 restent vraies dans le cas annulaire avec le corollaire suivant :
Corollaire 4.3.2.1
L’opérateur Hν est borné de Up,0
σ (A) dans Vp,0 σ (A).
Nous renvoyons à nouveau le lecteur à [25] pour la preuve dans le cas simplement connexe sachant que celle-ci s’étend ici naturellement au cas doublement connexe. Ajou-tons qu’un véritable analogue du Théorème 4.2.1.1 aurait pu être formulé moyennant l’utilisation de données au bord présentant plus de régularité. Néanmoins, réaliser ceci aurait nécessiter l’introduction de nouvelles notations ce que nous n’avons pas souhaiter faire par soucis de lisibilité et de clarté.
La résolution des problèmes (P Du) et surtout (P Df ) constitue une des étapes clef pour la régularisation du problème de Cauchy (P C) présenté dans la Section 1.2. Toute-fois ces derniers ne suffisent pas dans la mesure où nous avons encore besoin d’énoncer des propriétés de densité, ce qui va être fait dans le Chapitre 5. Terminons juste ici en faisant remarquer que les Théorèmes 4.3.1.1 et 4.3.2.1 s’étendent sans problème aux cas de domaines multiplement connexes.
Remarque 4.3.2.1 Mentionnons l’existence de résultats récents [64] sur un problème de
Dirichlet pour l’équation (1.7) dont la formulation diffère de la notre, à savoir trouver une (l’unique) fonction de Hp
ν(A) à partir de la prescription de sa partie réelle sur T et
Chapitre 5
Résultats de densité
Sommaire
5.1 Densité des traces sur un sous ensemble strict du bord . . . 92 5.1.1 Cas simplement connexe . . . 92 5.1.2 Cas doublement connexe . . . 93 5.2 Vers le problème extrémal borné . . . 104 5.2.1 Situation idéale : données compatibles . . . 104 5.2.2 Problème de Cauchy mal posé pour des données non compatibles 105 5.2.3 Formalisation du problème extrémal borné . . . 106
Ce chapitre est consacré à l’étude de certaines propriétés de densité des espaces de Hardy généralisés Hp
ν(Ω) pour un domaine ouvert Ω ⊂ R2 simplement ou doublement connexe. A nouveau, seuls les cas Ω = D et Ω = A seront traités. Formalisons le problème étudié afin d’introduire les notations qui nous seront utiles tout au long de ce chapitre.
Soit donc I ⊂ ∂Ω une partie du bord de Ω telle que son complémentaire J = ∂Ω\I soit
de mesure strictement positive. Rappelons que dans le cas doublement connexe Ω = A, les configurations de l’intervalle I seront restreintes à celles de l’hypothèse (HI,J) donnée dans la Section 1.2 (voir Figure 1.1). Ces cas sont suffisants pour envisager la résolution du problème de Cauchy dans le cadre de l’application qui en sera faite dans les Chapitres 8 et 9. Le problème que nous allons étudié et que nous noterons désormais (P Dens) est le suivant :
(P Dens) : Soit ν ∈ W1,∞
R (Ω) satisfaisant (κ). Est-il vrai que (tr Hp
ν(Ω))|I est dense dans Lp(I) ?
Autrement dit, est-il possible d’approcher arbitrairement près une fonction de Lp(I) par la restriction à I de fonctions de Hp
ν(Ω) ? Cette question est une étape préliminaire à la résolution du problème de Cauchy visant à approximer des données fournies sur I par des fonctions solutions de (1.7) tout en leur garantissant un comportement non divergent sur
J. Remarquons néanmoins que la résolution de (P Dens) se fera sans qu’aucune contrainte
ne soit appliquée sur la partie J.
Ce chapitre est organisé d’une manière assez similaire à celle du Chapitre 4. En effet, nous conservons, dans la présentation des résultats, la dualité existante entre les cas
92 Résultats de densité
simplement et doublement connexe. Ceci se justifie par le fait qu’il n’est pas possible de résoudre (P Dens) dans le cas doublement connexe à partir d’une simple généralisation de la résolution dans le cas simplement connexe. Le passage de l’un à l’autre relève en effet de difficultés techniques qui seront surmontées avec le Théorème 5.1.2.1.
Nous indiquerons donc dans un premier temps la résolution de (P Dens) dans le cas Ω = D et I ( T. Il s’agit d’un résultat obtenu dans [25]. Nous en rappellerons une preuve seulement dans le cadre des espace de Hardy classiques, c’est-à-dire lorsque ν = 0. En effet, cet exercice aura l’avantage de nous permettre de rappeler certains résultats classiques de dualité dans les espaces Hp(Ω) dont nous ferons encore usage dans la résolution de (P Dens) pour le cas Ω = A.
Enfin nous constaterons que la résolution de (P Dens) dans D ou bien A ne permet d’apporter qu’une réponse partielle au problème de Cauchy. On prouvera en effet que le fait de vouloir approximer au plus près une donnée fournie sur le bord I par des éléments de (tr Hp
ν(Ω))|I impliquera, dans l’hypothèse où la donnée au bord n’est pas déjà la trace d’une fonction de Hp
ν(Ω), un comportement divergent de l’approximant sur la partie J où on ne dispose pas de mesures. Pour venir à bout de cet obstacle, nous serons naturellement conduits vers le concept de problème extrémal borné que nous introduirons donc dans ce chapitre, mais dont la résolution, à la fois théorique mais aussi constructive dans le cas hilbertien (p = 2), seront envisagées dans les Chapitres 6 et 7.
5.1 Densité des traces sur un sous ensemble strict du
bord
Il est important de voir qu’une réponse positive au problème (P Dens) ne peut être envisagée que sur des sous-ensembles stricts I du bord ∂Ω. En effet, l’espace tr∂ΩHp
ν(Ω) est clairement strictement inclus dans Lp(∂Ω) en plus d’y être fermé avec la propriété 3 de la Proposition 3.2.3.2. Ceci implique que pour qu’une fonction de Lp(∂Ω) puisse être vue comme la limite d’une suite de fonctions de tr∂ΩHp
ν(Ω), il est nécessaire que celle-ci soit déjà la trace d’une fonction de Hp
ν(Ω).
5.1.1 Cas simplement connexe
Comme indiqué dans l’introduction de ce chapitre, regardons dans un premier temps le cas holomorphe qui est simple à traiter et permet de fixer les idées. Soit donc 1 < q < ∞
l’exposant conjugué de p. En regardant Lp(T) et Lq(T) comme des espaces vectoriels complexes, définissons un produit de dualité sur Lp(T)× Lq(T) avec
< f, g >T= 1 2π
Z 2π
0 f (eiθ)g(eiθ) dθ . (5.1) D’après le théorème de représentation de Riesz, ce produit de dualité identifie Lq(T) avec le dual de Lp(T). Par ailleurs, avec ce produit de dualité, on a encore
(tr Hp(D))⊥ = eiθ(tr Hq(D)) .
En effet, rappelons que toute fonction f ∈ tr Hp(D) admet un développement en série sur T de la forme (voir Théorème 2.1.3.1)
f (eiθ) =
n∈N
aneinθ .
Ainsi une fonction g∈ Lq(T) appartient à l’orthogonal de tr Hp(D) si et seulement si 1
2π
Z 2π
0 einθg(eiθ) dθ = 0 , n ∈ N . (5.2) En développant g en série de Fourier, la relation (5.2) implique que tous les coefficients de Fourier de g d’indices n≤ 0 sont nuls.
Forts de cette remarque, regardons ce qui se passe lorsqu’on cherche à résoudre le problème (P Dens) dans les espaces de Hardy classiques. Munissons nous donc d’une fonction g ∈ Lq(I) orthogonale à (tr Hp(D))|I et considérons la fonction G = (g ∨ 0)
définie sur tout T. On a ainsi pour toute f ∈ Hp(D)
< f, G >T= 1 2π
Z 2π
0 f (eiθ)(g(eiθ)∨ 0) dθ = 0 .
D’après ce qui a été dit juste au-dessus, cela signifie en particulier que la fonction
G∈ Hq. Comme elle est identiquement nulle sur J = T\I, on en conclut avec le Théorème
2.1.2.1 que G est identiquement nulle sur D, donc a fortiori g aussi. En conséquence du théorème de Hahn-Banach, il vient finalement que (tr Hp(D))|I est dense dans Lp(I).
En regardant cette fois-ci les espaces Lp(T) et Lq(T) comme des espaces vectoriels réels et en utilisant comme produit de dualité
Re < f, g >T= Re
1 2π
Z 2π
0 f (eiθ)g(eiθ) dθ
, (5.3)
les arguments utilisés pour la résolution de (P Dens) dans le cadre des espaces de Hardy classiques restent identiques. De là, il est possible d’étendre ce résultat aux espaces de Hardy généralisés [25, Thm. 4.5.2.1] :
Théorème 5.1.1.1 Soit ν ∈ W1,∞
R (D) satisfaisant (κ) et I ( T tel que J = T\ I soit de mesure strictement positive. Alors (tr Hp
ν(D))|I est dense dans Lp(I).
Nous renvoyons le lecteur à [25] pour la preuve dans le cas général ν 6= 0. Comme nous
allons le constater dans la section suivante, l’extension de ce résultat au cas annulaire n’est pas triviale.