4.2 Conjugaison harmonique généralisée
4.2.1 Cas simplement connexe
Le fait que (P Df ) admette toujours une solution dans D avec le Corollaire 4.1.2.2, nous conduit à formuler la définition suivante :
76 Problèmes de Dirichlet et généralisation de l’opérateur de conjugaison Définition 4.2.1.1 Soient ν ∈ W1,∞
R (D) satisfaisant (κ) et f ∈ Hp,0
ν (D) l’unique solution
au problème (P Df) donnée par le Théorème 4.1.2.2. On note alors Hν l’opérateur de conjugaison σ-harmonique défini par
Hν : LpR(T) → LpR(T)
Re (tr f ) 7→ Im (tr f) .
L’opérateur Hν est introduit dans [15] pour des données au bord appartenant à
WR1/2,2(T), donc plus régulières que celles que nous traitons. Lorsque ν = 0, c’est-à-dire
lorsque Re (f ) et f sont respectivement harmonique et holomorphe dans D,H0(Re (tr f )) n’est rien d’autre que la conjuguée harmonique classique de Re (tr f ) (voir Section 2.2.3). Mentionnons que l’unicité dans la définition de Hν est assurée par le fait que f ∈ Hp,0
ν (D). En effet, en notant f = u + iv, on sait que v est solution du système différentiel (1.4) et par conséquent est définie à une constante additive près. L’unicité de l’opérateur
Hν est alors imposée en faisant le choix que v =Hνu soit soumis à la condition (3.2). Une
caractérisation possible des fonctions de Hp
ν(D) est alors la suivante
Corollaire 4.2.1.1 Soit ν ∈ W1,∞ R (D) satisfaisant (κ). Alors f = u + iv ∈ Hνp(D)⇐⇒ v = Hνu + 1 2π Z 2π 0 v(eiθ) dθ ,
avec la convention de normalisation des intégrales curvilignes que nous avons choisie. Pour l’instant, l’opérateur Hν n’est défini que pour des fonctions à valeurs réelles. Il est en fait possible d’étendre sa définition aux fonctions à valeurs complexes. En effet, au regard du Lemme 4.1.3.1, il est naturel de poser
Hν(if ) = iH−ν(f ) , f ∈ LpR(D) . (4.17)
Remarque 4.2.1.1 Notons que dans [15], cet opérateur est introduit sous le nom de
ν-transformée de Hilbert ce qui peut prêter à confusion. En effet, dans le cas holomorphe (ν = 0), la transformée de Hilbert est en fait l’opérateur H défini sur Lp
R(T) Hu(θ) = lim ε→0 1 π Z ε<|φ−θ|<π u(φ) θ− φ dφ.
Cet opérateur a le même comportement que l’opérateur de conjugaison harmonique H0 dans la mesure où ces deux opérateurs intégraux ont des noyaux ne différant que d’un terme borné, soit pour u ∈ L1
R(T)
|H0u(θ)− Hu(θ)| ≤ π2kukL1 R(T) .
Il serait bien entendu possible de généraliser la transformée de Hilbert aux fonctions de Re (Hp
ν(T)) comme cela a été fait pour le passage de H0 à Hν. Toutefois, dans ce manus-crit, seul l’opérateur de conjugaison σ-harmonique Hν sera utilisé. Pour plus de détails sur la transformée de Hilbert, nous renvoyons le lecteur à [75, Chap. III]
le Théorème 2.2.3.1, aux espaces de Hardy généralisés. On a en effet le résultat suivant [25, Cor. 4.4.2.1, Prop. 4.4.3.1]
Théorème 4.2.1.1 L’opérateur Hν est borné de Lp
R(T) dans LpR(T), de WR1−1/p,p(T) dans
WR1−1/p,p(T) ainsi que de WR1,p(T) dans WR1,p(T).
Cette propriété de bornitude de l’opérateurHν est importante. Elle confirme en effet que le comportement des fonctions de Hp
ν(D) est conditionné par celui de leurs parties réelles. Nous attachons par ailleurs beaucoup d’importance à la description précise de
Hν dans la mesure où la détermination de son mode opératoire sur une famille complète de Re (H2
ν(∂Ω)) (que l’on calculera comme combinaisons de fonctions spéciales dans le Chapitre 7) lorsque Ω est un domaine doublement connexe, nous donnera une formulation explicite de la solution du problème extrémal borné toutefois uniquement valable dans le cas p = 2. La résolution numérique du problème extrémal borné est même entièrement subordonnée à notre capacité à caractériser l’action de Hν.
Nous venons d’évoquer le fait qu’au cours du Chapitre 7, le comportement deHν sera étudié dans le cas spécifique p = 2. On peut d’ores et déjà constater que Hν s’exprime de façon générale comme une perturbation de H0. Il convient pour cela de rappeler en premier lieu la proposition suivante [75].
Proposition 4.2.1.1 Soient f ∈ Lp(T) et P+ l’opérateur de projection analytique de Lp(T) sur tr (Hp(D)) donné par la Définition 4.1.2.1. Alors
P+f = 1 2 (I + iH0)f + 1 2π Z 2π 0 f (eiθ) dθ . (4.18)
Il est alors possible d’obtenir la formule suivante
Proposition 4.2.1.2 Soient ν ∈ W1,∞
R (D) satisfaisant (κ) et u∈ LpR(T). On a pour tout
z ∈ T :
Hνu(z)− H0u(z) =−1 π
ZZ
D(1− σ(ζ)) (∂xlog|ζ − z|∂yu(ζ)− ∂ylog|ζ − z|∂xu(ζ)) dm(ζ) .
(4.19)
Preuve. Soit f ∈ Hp,0
ν (D) la solution de (P Df ) pour la donnée u∈ LpR(T) (voir Théorème 4.1.2.2). Posons tr f = u+iv. D’après la Définition 4.2.1.1, on a v = Hνu. Avec la propriété
6 de la Proposition 3.2.3.2, il vient pour z ∈ T v(z) = Im (tr f )(z) = Im " P+(tr f )(z) + 1 2iπ ZZ D ∂f (ζ) ζ− z dζ∧ dζ # . (4.20)
Avec la Proposition 4.2.1.1, on a de plus
P+(tr f ) = 1 2 (I + iH0)(tr f ) + 1 2π Z 2π 0 f (eiθ) dθ ,
78 Problèmes de Dirichlet et généralisation de l’opérateur de conjugaison
ce qui implique que
Im (P+(tr f )) = 1
2Im ((I + iH0)(tr f )) , étant donné que f ∈ Hp,0
ν (D). Maintenant avec (4.17), on arrive à
Im (P+(tr f )) = 1
2(v +H0u) .
En combinant avec (4.20), on voit que
1 2(v(z)− H0u(z)) = Im 1 2iπ ZZ D ∂f (ζ) ζ− z dζ∧ dζ ! . (4.21)
Remarquons maintenant que f ∈ Hp,0
ν (D) vérifie l’équation
∂f = (1− σ)∂u , (4.22)
avec σ = 1−ν
1+ν ∈ WR1,∞(D). En effet Re (tr f ) = u satisfait l’équation de conductivité (1.2) pour σ = 1−ν1+ν. Donc si ζ = x + iy désigne la variable du plan complexe
∂f = ν∂f = 1 2 1− σ 1 + σ ∂xf − i∂yf = 1 2 1− σ 1 + σ
∂x(u + iv)− i∂y(u + iv) , et en utilisant les équations de Cauchy-Riemann généralisées (1.4)
∂f = 1 2 1− σ 1 + σ (1 + σ)(∂xu− i∂yu) ,
qui donne bien (4.22) car σ est à valeurs réelles. Finalement, comme
2∂ log|ζ − z| = ∂ log |ζ − z|2 = ∂ log(ζ− z) + ∂ log (ζ − z)| {z } =0
= 1
ζ− z ,
on obtient la formule souhaitée en injectant ces calculs dans (4.21).
Remarquons que même si le résultat de la Proposition 4.2.1.2 donne un lien effectif entre la conjugaison σ-harmonique et la conjugaison harmonique classique, son exploita-tion reste difficile. Cela sous-entend en effet d’être en mesure de déterminer la quantité
H0u pour u∈ LpR(T). Il n’est pas a priori clair que ce calcul soit facile puisque cela revient à intégrer les équations de Cauchy-Riemann classiques. Il est bien sûr toujours possible de donner une formulation intégrale deH0u, mais son utilisation pour le calcul numérique
risque alors de ne pas aisée. Par ailleurs cela ne suffit pas à déterminer complètementHνu
plus que la fonction σ y intervenant n’est pas spécifiée.
Nous reportons désormais les aspects liés à la détermination du mode opératoire de l’opérateur Hν. Ces derniers, dans le cas d’une conductivité σ = 1x, seront pleinement envisagés dans le Chapitre 7. Retenons néanmoins l’information suivante, à savoir que l’opérateur Hν peut toujours être défini sur des géométries simplement connexes puisque, comme nous l’avons constaté, son existence est liée à la possibilité d’intégrer les équations de Cauchy-Riemann généralisées (1.4). Comme nous allons le voir au travers de deux exemples à suivre, cette observation ne tient plus dans le cas annulaire ou plus générale-ment multiplegénérale-ment connexe, révélant ainsi les conditions à imposer pour la résolution de (P Df ) dans A.