5.2 Vers le problème extrémal borné
5.2.2 Problème de Cauchy mal posé pour des données non compatibles . 105
Comme Fd ∈ Lp(I), il existe d’après les Théorèmes 5.1.1.1 et 5.1.2.1 une suite de fonctions (fn)n∈N∈ Hp
ν(Ω) telle que
ktr fn|I − FdkLp(I) n→∞−→ 0 .
Si les données au bord sont compatibles, les résultats de la Section 5.2.1 nous indiquent que Fd est déjà la trace sur I d’une fonction de Hp
ν(Ω). Supposons alors que la paire (ϕ, ψ) ne soit pas compatible, soit Fd ∈ tr H/ p
ν(Ω)|I. La non-compatibilité des données
au bord peut être le fait de multiples causes, les plus courantes étant :
– l’origine expérimentale des données impliquant l’existence d’erreurs de mesure, – le nombre fini de mesures ponctuelles alors que les données sont décrites sous la
forme de fonctions dans le modèle mathématique (la création de fonctions à partir de données ponctuelles peut, par exemple, être effectuée numériquement au moyen d’un algorithme d’interpolation).
Que les Théorèmes 5.1.1.1 et 5.1.2.1 soient alors un moyen de mettre en évidence le caractère mal posé du problème de Cauchy est connu. Citons par exemple, pour le cas des espaces de Hardy classiques, les résultats figurant dans [22, 23] dans le cas simplement connexe ou bien encore dans [54] pour le cas doublement connexe. Nous étendons ces résultats aux espaces de Hardy généralisés sur des domaines simplement et doublement connexes avec la proposition suivante.
106 Résultats de densité Proposition 5.2.2.1 Soit ν ∈ W1,∞
R (Ω) satisfaisant (κ). Si (fn)n∈N ∈ Hp
ν(Ω) est telle
que tr fn|I
n converge vers Fd∈ Lp(I) en norme Lp(I) et si Fd n’est pas la restriction à I d’une fonction de Hp
ν(Ω), alors lim
n→∞ktrJfnkLp(J) =∞ . Preuve. Raisonnons par l’absurde en supposant que
lim
n→∞ktrJfnkLp(J) 6= ∞ .
Quitte à extraire une sous-suite, on peut supposer que la suite (trJfn)n∈N est bornée dans Lp(J) cependant qu’elle l’est déjà dans Lp(I) par hypothèse. Il en découle alors que (tr∂Ωfn)n∈Nest bornée dans Lp(∂Ω) et par conséquent aussi dans Hp
ν(Ω) avec l’équivalence des normes provenant de la propriété 2 de la Proposition 3.2.3.2.
Comme l’espace Lp(∂Ω) est réflexif [46, Thm. IV.10] et que tr∂ΩHp
ν(Ω) est un sous-espace vectoriel fermé de Lp(∂Ω) (voir la propriété 3 de la Proposition 3.2.3.2), on en déduit que tr∂ΩHp
ν(Ω) est lui aussi réflexif. Par conséquent, la bornitude de (tr∂Ωfn)n∈N dans
Lp(∂Ω) implique qu’il existe une sous-suite (tr∂Ωfnp)p∈N convergeant faiblement vers une certaine fonction f ∈ tr Hp
ν(Ω) avec le thérorème de Banach-Alaoglu [46]. Il est alors clair que par restriction, on a que (tr∂Ωfnp
|I)p∈N converge faiblement vers f|I dans L2(I). Mais comme Fd est déjà la limite forte de (tr∂Ωfn)n∈N dans Lp(I), on en conclut que Fd= f|I presque partout sur I. Donc Fd est la trace sur I d’une fonction de Hp
ν(Ω), ce qui amène la contradiction et finalement achève la preuve.
Ce comportement de l’approximant fourni par le Théorème 5.1.2.1 sur la partie J du bord montre que le problème de Cauchy est mal-posé (ou encore instable) pour des données au bord non compatibles. La Proposition 5.2.2.1 traduit donc le fait que la préci-sion recherchée dans l’approximation de données de classe Lp sur un sous-ensemble strict du bord par des fonctions de Hp
ν(Ω) s’effectue au détriment du comportement de cette approximation sur le reste du bord du domaine.
A ce stade de l’étude, il est donc naturel de se demander s’il est néanmoins possible, dans le cas de données non compatibles, de trouver une fonction f ∈ Hp
ν(Ω) suffisamment proche en norme Lp des données au bord et gardant une certaine stabilité sur la partie du bord où aucune donnée n’est fournie. La formalisation de ce problème fait l’objet de la Section 5.2.3.
5.2.3 Formalisation du problème extrémal borné
Cette section est uniquement consacrée à l’introduction de notations ainsi qu’à la formulation mathématique du problème extrémal borné. Afin d’alléger les notations, nous prenons désormais la liberté pour toute fonction de Hp
ν(Ω) de ne pas mentionner sa trace sur ∂Ω ou bien la restriction de celle-ci à un sous-ensemble strict du bord lorsqu’aucune confusion n’est possible.
Nous savons dorénavant que la question
”Quelle est la fonction f ∈ Hp
Hp
ν(Ω). En effet, les Théorèmes 5.1.1.1 et 5.1.2.1 assurent que si Fd n’est pas une donnée compatible, alors pour tout ε > 0, il existe bien une fonction g0 ∈ Hp
ν(Ω) telle que
kFd− g0kLp(I) ≤ ε . (5.29)
A cela s’ajoute le fait que si ε→ 0 dans (5.29), alors kg0kLp(J) → ∞ avec la Proposition
5.2.2.1. En revanche, et contrairement au cas I = ∂Ω, il n’est pas possible de trouver une fonction g0 ∈ Hp
ν(Ω) réalisant
kFd− g0kLp(I) = inf
g∈Hpν(Ω)kFd− gkLp(I) . (5.30)
Il est donc légitime de se demander si l’existence d’un minimum dans (5.30) peut être assurée sous une certaine condition de bornitude sur J de l’approximant cherché. Traduisons cette question en termes mathématiques.
Introduisons tout d’abord le sous-espace BpM,Φ de Hp
ν(Ω) de la façon suivante.
Définition 5.2.3.1 Soient ν ∈ W1,∞
R (Ω) satisfaisant (κ). Soient aussi M ∈ R+
∗ et Φ ∈ Lp(J). On note alors BpM,Φ l’espace défini par
BpM,Φ =ng ∈ tr∂ΩHp
ν(Ω);kg − ΦkLp(J) ≤ Mo
|I ⊂ Lp(I) . L’espace BpM,Φ est donc composé de traces sur I de fonctions dans Hp
ν(Ω) auquelles on impose d’être bornées en norme Lp sur J par rapport à une fonction de référence Φ. Cette définition appelle plusieurs commentaires.
Commentaires concernant la Définition 5.2.3.1
– L’espace BpM,Φ constitue l’espace sur lequel nous allons tenter de rendre bien posé le problème de Cauchy. On constate que celui-ci dépend des paramètres Φ et M . Il est facile d’imaginer que les choix de ces deux paramètres jouent un rôle important sur la nature des solutions que nous serons amenés à envisager. Ainsi, lorsque le problème de Cauchy modélise un phénomène physique, il est avantageux de connaître avec précision les mécanismes mis en jeu. Ceci permet en effet d’obtenir des informations complémentaires utiles à l’ajustement des paramètres Φ et M . Imaginons en effet que le problème modélisé nous amène à chercher des solutions g0 telles quekg0kLp(J) ≤ 1.
Il serait alors toujours possible de trouver une fonction g0 satisfaisant kg0kLp(J) ≤
1000 et réalisant un minimum sur Bp1000,0 dans (5.30) (voir les résultats du Chapitre 6). Cependant la trop grande latitude laissée à la fonction g0 sur la partie J du bord fera que la solution trouvée sera très éloignée de la vraie solution physique dans tout le domaine.
– Nous avons fait le choix de choisir M ∈ R+
∗ mais il est bien entendu possible de considérer le cas M = 0. Notons simplement que d’une manière générale, lorsque l’on cherche à résoudre un problème inverse de Cauchy ayant une origine physique, il est difficile de connaître avec précision le comportement à imposer sur le bord
108 Résultats de densité
peut tout au plus en donner une estimation à partir d’expériences passées. C’est pourquoi nous choisissons désormais de ne pas prendre en compte le cas M = 0. – Observons qu’il est tout à fait possible d’envisager une contrainte seulement en
partie réelle sur la partie J du bord. On a en effet déjà vu avec les Théorème 4.2.1.1 et Corollaire 4.3.2.1 que l’opérateur de conjugaison était borné en norme LpR(∂Ω). De ce fait, contrôler la norme LpR des parties réelles des fonctions de Hp
ν(Ω) permet de contrôler les fonctions toutes entières. Cela a donc du sens d’envisager la résolution du problème de Cauchy dans les classes BpM,Φ définies pour M ∈ R+
∗ et Φ∈ LpR(J) par BM,Φp =ng ∈ tr∂ΩHp ν(Ω);kRe (g) − ΦkLp R(J)≤ Mo |I ⊂ Lp(I) .
Bien sûr, le fait d’envisager une contrainte seulement en partie réelle peut aussi être le fruit d’une adéquation avec le problème physique modélisé. Nous verrons en effet dans la Partie IV de ce manuscrit qu’une contrainte en partie réelle est particulièrement bien adaptée au problème de Cauchy pour les tokamaks.
Terminons en notant qu’il est encore possible d’imposer des contraintes en parties imaginaires seulement ou bien encore avec des combinaisons du type
βkRe (g) − ΦrkLp
R(J)+ δkIm (g) − ΦikLp
R(J) ≤ M ,
pour Φr, Φi ∈ LpR(J) et β, δ ≥ 0 avec β + δ > 0 (voir [107] pour le cas analytique).
– Remarquons que nous ne disposons pas actuellement du résultat de densité adéquat nous permettant d’affirmer que l’espace BpM,Φ est non vide pour toutes les configu-rations possibles de l’intervalle I dans le cas doublement connexe. Supposons dans un premier temps que I = T. Alors J = T̺( ∂A est de mesure strictement positive. Par conséquent, on a que (tr Hp
ν(A))|J est dense dans Lp(J) avec le Théorème 5.1.2.1. Ce qui signifie en particulier que pour M > 0 et Φ ∈ Lp(J), il existe g0 ∈ Hp
ν(Ω) telle que
kg0− Φk ≤ M .
On note alors qu’il n’est pas possible d’arriver à une telle conclusion dans le cas où
I est strictement inclus dans T ou bien T̺puisqu’alors J n’est ni strictement inclus dans T ou T̺, ni égal à T ou T̺. Par contre, il est bel et bien possible d’affirmer que l’espace BpM,Φ est non vide. Pour constater ceci, il suffit de considérer deux cas. Si kΦkLp
R(J) ≤ M, alors la fonction g identiquement nulle est clairement dans tr Hp
ν(Ω) et satisfait la contrainte sur J (notons que dans ce cas particulier, ces arguments fonctionnent encore pour prouver que BpM,Φ est non vide). Sinon on pose
g = (Φ∨ ΦI) + iHν(Φ∨ ΦI) où ΦI ∈ LpR(I) est choisie telle que Φ∨ ΦI ∈ LpR(∂Ω) admette une conjuguée σ-harmonique (voir le Théorème 4.3.2.1). Alors on a aussi
g ∈ tr Hp
ν(Ω) et la contrainte est satisfaite sur J.
L’introduction de la classe BpM,Φ nous permet maintenant de transformer le problème de Cauchy, vu initialement comme un problème de prolongement analytique généralisé
celle-ci. Ce dernier, que nous nommerons désormais «problème extrémal borné» (PEB) se formule de la façon suivante :
(P EB) :
Soit ν ∈ W1,∞
R (Ω) satisfaisant (κ), M ∈ R+
∗ et Φ ∈ Lp(J). Pour toute
fonction Fd∈ Lp(I), existe-t-il une unique fonction g0 ∈ BpM,Φ telle que kFd− g0kLp(I) = min
g∈BpM,ΦkFd− gkLp(I) ?
Répondre positivement à cette question va être un moyen d’assurer l’existence, l’uni-cité et la stabilité d’une solution au problème de Cauchy. La résolution théorique du problème (P EB) fait l’objet du Chapitre 6. Nous allons alors constater que dans le cas particulier p = 2, il est possible de donner explicitement la fonction g0 solution de (P EB) en fonction d’une généralisation de l’opérateur de projection analytique P+ (voir Défi-nition 4.1.2.1). La détermination de cet opérateur de projection dans le cas particulier du tokamak Tore Supra se fera dans le Chapitre 7 grâce à l’introduction d’une famille complète de solutions de l’équation (1.7) dans un système de coordonnées adapté à la géométrie annulaire considérée.
Troisième partie
Résolution théorique et constructive
du problème extrémal borné
Chapitre 6
Résolution théorique du problème
extrémal borné
Sommaire
6.1 Existence et unicité de la solution du problème extrémal borné114 6.1.1 Quelques propriétés de l’espaceBM,Φp . . . 115 6.1.2 Résolution . . . 116 6.2 Le cas hilbertien . . . 118 6.2.1 Opérateur de projection analytique généralisé . . . 118 6.2.2 Formulation “explicite” de la solution du problème extrémal borné120 6.2.3 Discussion autour du paramètre de Lagrange γ . . . 124 6.2.4 Un algorithme de calcul de la solution du problème extrémal
borné . . . 127
Ce chapitre est consacré à l’étude théorique du problème extrémal borné formulé dans la Section 5.2.3. Nous reprenons ainsi l’ensemble des notations introduites dans le Chapitre 5. Pour rappel, l’ensemble I ( ∂Ω désigne la partie du bord sur laquelle les données de Dirichlet et Neumann sont disponibles et est soumis à l’hypothèse (HI,J) dans le cas doublement connexe. On note aussi J = ∂Ω\ I, de mesure strictement positive, la partie
du bord où aucune information n’est connue.
Nous avons vu en effet que le problème de Cauchy ne pouvait être résolu par extra-polation de données au bord lorsque ces dernières n’étaient pas compatibles. Nous avons donc été amenés à reformuler ce problème sous la forme d’un problème de meilleure ap-proximation dans une classe de fonctions analytiques généralisées, à savoir la classe BpM,Φ (voir Définition 5.2.3.1). Mentionnons que dorénavant (excepté les fois où nous le pré-ciserons explicitement), nous nous intéressons uniquement à une version équivalente du (P EB) décrite dans la section 5.2.3. En effet, nous avons déjà évoqué le fait qu’il était possible de contraindre seulement en partie réelle sur le bord J les éventuelles solutions recherchées au problème de Cauchy (voir commentaires de la Définition 5.2.3.1). A partir de maintenant on adopte définitivement la notation suivante :
Définition 6.0.3.2 Soient ν ∈ W1,∞
R (Ω) satisfaisant (κ). Soient aussi M ∈ R+
∗ et Φ ∈ LpR(J). On note alors BpM,Φ l’espace défini par
BM,Φp =ng ∈ tr∂ΩHp
ν(Ω);kRe (g) − ΦkLp
R(J) ≤ Mo
114 Résolution théorique du problème extrémal borné
La question à laquelle ce chapitre va apporter une réponse est alors la suivante :
(P EB) :
Soit ν ∈ W1,∞
R (Ω) satisfaisant (κ), M ∈ R+
∗ et Φ ∈ Lp
R(J). Pour toute
fonction Fd ∈ Lp(I), existe-t-il une unique fonction g0 ∈ BpM,Φ telle que kFd− g0kLp(I) = min
g∈BpM,ΦkFd− gkLp(I) ?
A nouveau nous insistons sur le fait que choisir de contraindre seulement en partie réelle sur J sera pleinement justifié lors de l’application des résultats de ce chapitre à la situation du tokamak Tore Supra (voir Partie IV).
Ce chapitre est organisé de la façon suivante. Tout d’abord, nous allons répondre positivement au problème (P EB). La preuve de ce point fera explicitement appel aux résultats de Dirichlet et de densité énoncés dans les Chapitres 4 et 5. Nous conclurons alors définitivement la résolution du problème de Cauchy dans la classe BM,Φp en prouvant que la solution trouvée dépend continuement des données Fd et M (Φ aura été supposée ajustée indépendamment de celles-ci).
Dans un deuxième temps, nous porterons notre attention sur le cas hilbertien, à savoir
p = 2. Nous évoquerons ainsi des résultats de [10] et [23] nous permettant de donner
une formulation explicite de la solution du (P EB) en termes d’opérateurs de projection. Toutefois le caractère «explicite» de la solution sera nuancé par le fait qu’elle s’exprime en fonction d’un paramètre λ de type Lagrange lui-même fonction de la contrainte M que l’on s’est fixée sur le bord J. Cette dépendance en λ fait a priori office d’obstacle à la résolution puisque comme nous l’avons déjà mentionné dans les commentaires de la Définition 5.2.3.1, le choix du paramètre M aura une influence certaine sur la solution calculée du (P EB). Afin de contourner cette difficulté, nous mettrons en avant le caractère monotone et régulier de la fonction M 7→ λ(M) ce qui conduira aux prémices de l’algorithme mis en
place pour l’identification de la frontière du plasma dans le tokamak Tore Supra (voir Partie IV).
Précision sur les notations
Tout au long de chapitre, nous supposons que ν∈ WR1,∞(Ω) satisfait (κ), Ω changeant bien entendu selon que l’on se trouve dans le cas simplement connexe ou bien doublement connexe. De même, σ ∈ WR1,∞(Ω) désignera toujours la conductivité associée à ν avec la relation (1.6). Nous faisons le choix de ne plus rappeler les hypothèses concernant ces deux fonctions tout d’abord pour alléger les notations, mais aussi car cela n’entrainera aucune confusion contrairement à certains résultats des précédents chapitres où on était quelquefois amené à manipuler des conductivités νi ∈ Hp
ν(D) et νe ∈ C \ D̺.
6.1 Existence et unicité de la solution du problème
extrémal borné
Cette section est consacrée en premier lieu à la démonstration de certaines propriétés de l’espace BM,Φp . Il n’est en effet pas difficile de se rendre compte de certaines conditions
BM,Φp est clairement un sous ensemble de Lp(I) et nous avons déjà fait remarquer que celui-ci n’était pas vide (voir les commentaires de la Définition 5.2.3.1). Aussi, comme le but est de réaliser une meilleure approximation d’un élément Fd ∈ Lp(I) dans l’espace
BM,Φp , il est classique de voir la solution du problème extrémal borné, si elle existe, comme la projection (réalisant la distance minimale) de Fd surBM,Φp .
L’existence d’une telle projection est abordée dans la Section 6.1.1 où nous prouvons la convexité ainsi que le caractère fermé pour la norme Lp(I) de l’espaceBM,Φp . Nous conclu-rons alors la résolution du problème extrémal borné dans la Section 6.1.2 en prouvant par ailleurs le fait que si Fd n’appartient pas déjà à BpM,Φ alors la solution trouvée sature la contrainte.