Répartition spatiale et dynamiques cycliques

Résumé

Le chapitre étudie l'émergence de dynamiques cycliques dans des populations de stratégies déterministes jouant le dilemme du prisonnier itéré. De nombreux travaux ont été consacrés aux cycles qui émergent pour des matrices de taille 3×3 ou de taille supérieure sous l'hypothèse d'une dynamique évolutionnaire. Ces matrices peuvent synthétiser l'interaction de plusieurs stratégies du dilemme du prisonnier itéré [Imhof 05] ou l'interaction des comportements du dilemme simple, C, D auxquels on rajoute le comportement L-solitaire [Michor 02]. Dans tous les cas présentés, ce qui fonde la dynamique c'est qu'un comportement A privilégie un comportement B qui privilégie un comportement C qui privilégie A : on dit que les comportements se dominent cycliquement. Certains articles procèdent à une recherche systématique d'ensembles de 3 ou 4 comportements produisant des évolutions cycliques [Mathieu 00] à partir d'un ensemble donné de comportements du dilemme du prisonnier itéré. Sur les cas d'évolutions cycliques qui sont mis en évidence dans la littérature, on constate que c'est toujours le principe de dominance cyclique entre les comportements de la matrice qui fonde l'apparition de cycles. Le présent chapitre met en évidence des dynamiques cycliques qui ne reposent pas sur une relation de dominance cyclique entre les stratégies, mais sur la répartition topologique des stratégies.

La section 1 reprend les résultats établis dans la littérature et présente les évolutions cycliques qui sont susceptibles d'apparaître dans le cas de populations de stratégies interagissant selon des matrices 3×3 et plus spécifiquement, dans le cas de comportements du dilemme du prisonnier itéré. La section traite de la forme des matrices qui produisent des évolutions cycliques ainsi que de l'impact de la taille de la population totale sur la simulation du phénomène cyclique.

La section 2 étudie l'impact de la répartition spatiale sur le phénomène cyclique. Dans les études précédentes, dont certaines sont référencées au chapitre III, les auteurs partent de populations qui produisent des évolutions cycliques sans être réparties spatialement et étudient le changement dans la dynamique avec la répartition spatiale. Dans le chapitre précédent, on a en effet évoqué le fait que la répartition spatiale permet de passer d'une dynamique de synchronisation pour des populations non réparties à une dynamique de convergence vers des cycles limites ou des états stationnaires, en fonction de la forme de la répartition spatiale. Les résultats ont été établis en partant d'une population produisant des cycles même lorsqu'elle n'est pas répartie. Au contraire, la démarche de la section 2 du présent chapitre consiste à mettre en évidence des cas de cycles qui sont liés à la répartition en réseaux de communautés. On part d'un ensemble de comportements jouant le dilemme du prisonnier itéré. Pour cet ensemble de

comportements interagissant au sein d'une population non répartie, une recherche systématique permet de mettre en évidence un certain nombre de cas d'évolutions cycliques. La démarche consiste à considérer chaque triplet de comportements possibles au sein de l'ensemble des comportements et à simuler l'évolution d'une population de stratégies adoptant l'un ou l'autre de ces 3 comportements. Pour un petit nombre de triplets, la convergence va se faire vers un cycle limite. En revanche, la majeure partie des comportements n'apparaît dans aucun triplet produisant des évolutions cycliques. La section 2 propose une démarche de recherche systématique de même nature, mais à partir d'une population de stratégies réparties sur un réseau. On montre qu'en répartissant les comportements sur une topologie très simple de deux communautés liées et en effectuant la redistribution des effectifs au sein de chaque communauté et non plus de la population totale, il devient possible, pour tout comportement, de trouver une configuration qui le fait osciller. A ce résultat qualitatif s'ajoute un résultat quantitatif : la répartition spatiale et la redistribution des comportements au sein de chaque communauté produit plus de cas cycliques que la population non répartie.

Section IV.1.Matrices et cycles

A. Dynamique écologique et équilibre

Dynamique écologique

La théorie des jeux évolutionnaires étudie les dynamiques de populations dont les rapports sont définis par les matrices de gain extraites de la théorie des jeux. L'objectif est d'obtenir des résultats sur les dynamiques de populations dont les interactions peuvent être modélisées par des dilemmes classiques de la théorie des jeux. La présente section s'intéresse plus particulièrement aux dynamiques cycliques de populations de stratégies et aux caractéristiques des matrices, ou stratégies, qui produisent de telles évolutions.

On utilise une dynamique écologique similaire à celle employée dans le chapitre II, à la différence près que le score n'est pas pris comme le score moyen ici.

On considère une population non repartie à

N

comportements et telle que les effectifs entiers par comportement sont, à la génération

t

_:

e

₁^t

, e

₂^t

,... , e

^t_N

.

_Soit

M

la matrice du jeu telle que

M

_{i , j est le}

score du comportement

i

contre le comportement

j.

Dans ce cas, le score d'une stratégie de comportement

i

de la population est, à la génération

t

_:

score

_i^t

= ∑

j=1 N

e

^t_j

×M

_{i , j}

− M

_{i , i}

 A.1 

Le calcul du score traduit le fait qu'une stratégie interagit avec chacune des stratégies de la population, sauf elle-même.

On en déduit la part du comportement dans la population totale pour la génération suivante :

p

_i^t1

= score

it

×e

it

∑

j=1 N

score

^t_j

×e

^t_j

 A.2 

On en déduit les valeurs réelles des effectifs, en notant par

T = ∑

j=1

à l'entier le plus proche, on obtient les valeurs des

e

it1

pour la génération suivante.

Avec l'équation

 A.3 ,

la part d'un comportement dans la population totale correspond à la part du score des stratégies ayant adopté ce comportement dans le score total de la population de la génération précédente. A l'instar de la dynamique de réplication, cette dynamique produit des évolutions cycliques pour certaines matrices

M.

Dans le cas d'un système produisant potentiellement des dynamiques cycliques, toute répartition initiale des effectifs ne converge pas nécessairement vers une situation cyclique. On parle de système cyclique pour la donnée d'une matrice et d'une valeur d'effectif total N telle qu'existent des valeurs d'effectif

e

_1,

e

_2,

... , e

_N à partir desquelles apparaissent des évolutions cycliques.

Les simulations étudiées le sont avec des effectifs entiers ici et non pas en fréquence. Arrondir les valeurs d'effectifs produit des attracteurs supplémentaires. Tel état

e

₁^t

, e

₂^t

,... , e

^t_N est un équilibre stationnaire à partir du moment où

∀ i ∣ ^x

it1

−e

_i^t

∣ ^{ 0.5}

: aucun effectif n'évolue par le mécanisme d'arrondi à l'entier le plus proche. Le fait d'arrondir conduit donc à augmenter le nombre des états stationnaires du système. De la même manière, l'arrondi modifie le nombre des attracteurs cycliques, mais on ne peut pas déterminer si le fait d'arrondir augmente ou diminue le nombre des cycles. En effet, le fait d'arrondir risque de piéger la dynamique dans un état stationnaire et pour des effectifs totaux trop réduits, de faire disparaître un cycle en valeurs réelles. A l'inverse, si on suppose qu'existe un cycle en valeurs réelles, il peut exister plusieurs cycles en valeurs arrondies autour de ce cycle en valeurs réelles.

Effectuer les simulations avec des effectifs entiers est cependant fondé par l'impossibilité de l'alternative pour deux raisons. D'une part, en travaillant avec les fréquences de chaque comportement, on provoque quand même des arrondis sur les valeurs lors des simulations informatiques, ces arrondis étant la limite du codage des valeurs réelles par la machine et le langage retenu. D'autre part, la convergence vers un attracteur cyclique serait beaucoup plus difficile à

constater en utilisant des fréquences puisque le temps de simulation pour retomber sur des valeurs similaires en fréquence serait considérablement allongé.

Équilibre

Pour la dynamique présentée plus haut, on caractérise son équilibre L'équilibre est la situation où l'effectif n'évolue pas en passant de

t

_à

t1,

on le détermine en fréquence. L'équilibre est la situation telle que :

∀ i , x

_i^t

= x

_i^t1

L'égalité des scores par comportement constitue une condition nécessaire à

1 ... N 

mais représente également une condition suffisante pour

1 ... N  ,

de sorte que cette condition est équivalente à

1 ... N 

et donc le fait que les scores par comportement soient égaux deux à deux constitue une condition nécessaire et suffisante de l'équilibre.

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