Émergence de la coopération sur une topologie régulière

Les premiers résultats sont obtenus sur des grilles toriques de dimension 10×10. Chaque communauté interagit avec ses 8 voisins directs (voisinage de Moore). L'effectif de chaque communauté est fixé à 100. Dans le cas d'une topologie de grille, le système peut être interprété comme une automate cellulaire avec

2×100× N

possibles pour chaque cellule.

Trois états finaux sont possibles ici. Dans un premier cas, le système converge vers un état stationnaire avec une large majorité de coopérateurs, c'est le succès de la coopération. Pour un deuxième cas, le système converge vers l'élimination totale des stratégies C, seules des communautés D, avec un score moyen de 1, se maintiennent. Enfin, le dernier cas possible est celui d'une évolution périodique : le système ne converge pas et les stratégies C et D survivent dans des proportions proches dans des évolutions cycliques.

Fig. C.1 : Cette figure présente l'évolution des fréquences des différentes issues en fonction de la probabilité p d'initialiser une communauté avec seulement des comportements C.

L'évolution vers des situations périodiques est de probabilité non nulle pour p entre 0.4 et 0.7. Cependant,

même dans cet intervalle, les probabilités d'évolution périodiques restent très basses. Ces cas sont traités dans la section 2. Le résultat principal sur le graphique C.1 est que la probabilité de convergence vers les états coopératifs augmente linéairement avec p. Ceci s'explique par le fait que, dans le modèle, l'émergence de la coopération est dûe à des organisations particulières dont l'émergence est favorisée par de fortes valeurs de p. On parle de communautés protégées.

On définit une communauté protégée comme une communauté de C dont tous les voisins sont des communautés C. Pour de telles communautés, le score moyen est constant à 3.

Le score moyen d'autres communautés peut être supérieur à 3 : c'est le cas pour les communautés D entourées par des communautés de type C par exemple. Comme la population des communautés C proches des communautés D tend à diminuer, il y a une diminution du score moyen des communautés D dans l'évolution. Le score de ces communautés D deviendra finalement inférieur à 3 et leurs populations seront redistribuées vers les communautés protégées si ces communautés n'ont pas été vidées pendant l'évolution.

Les simulations montrent que la présence initiale des communautés protégées provoque la convergence vers une majorité de coopérateurs. Dans ce cas, une large part de la population est concentrée sur les communautés protégées à la fin de l'évolution. Depuis chaque simulation expérimentale débutant avec au moins une communauté protégée, on constate cette convergence. Dans ces cas, il reste encore des communautés D : elles sont liées aux communautés protégées C. La survie des stratégies D est artificielle : elle dépend de la manière d'obtenir des valeurs entières depuis (B.5). Si on avait choisi d'obtenir des entiers par troncature sur les valeurs réelles plutôt qu'en arrondissant à l'entier le plus proche, la présence initiale de communautés protégées aurait produit des états finaux où les seules communautés non vides sont les communautés protégées, la population totale étant répartie entre ces communautés.

Dans la suite, on montre qu'il n'est pas possible que les communautés protégées se vident pendant l'évolution.

Il n'a pas encore été trouvé de preuve mathématique pour soutenir que les communautés protégées ne peuvent pas être vidées pendant l'évolution. L'argument est heuristique et fondé sur une approximation.

On peut en effet approximer le score moyen global (le score moyen calculé sur l'ensemble du graphe). On peut ensuite comparer ce score à 3, le score obtenu par une communauté protégée.

On note APD la population moyenne d'une communauté de D et APC la population moyenne d'une communauté de C. ASC(k) (resp. ASD(k)) est le score moyen pour une stratégie de communauté C (resp. de communauté D) entourée de k communautés C. On a l'approximation suivante :

ASD k = 5k × APC 8−k  APDAPD−1

APD−1 k × APD8−k × APD

ASC k = 3× APC × k  APC −1

APC −1 k × APC 8−k × APD

En notant SNC(p) (resp. SND(p)) le score moyen d'une communauté de C (resp. d'une communauté de D), on peut établir, en notant par X le nombre des voisins C pour une stratégie choisie au hasard :

SNC  p= ∑

k=0 N

p  X =k × ASC  k 

SND  p= ∑

k=0 N

p  X =k × ASD  k 

On peut alors générer des approximations pour le score moyen global. En calculant des approximations du score moyen global pour toutes les valeurs possibles de APD, APC et p, on conclut que le sore moyen global reste toujours inférieur à 3. Ceci est mis en évidence sur le graphique C.2.

Figure C.2 : Évolution de l'approximation du score moyen total en fonction de p pour différents niveaux de T. On constate notamment que pour T=5, SNC reste inférieur à 3.

On constate que pour T=5, dans le cas d'une grille, la population des communautés protégées ne peut pas diminuer puisque le score moyen global reste inférieur à 3. L'existence des communautés D avec des scores moyens

supérieurs à 3 est compensée par l'existence de communautés C de score moyen inférieur à 3 et le score moyen global reste supérieur à 3. Comme les communautés protégées ne peuvent pas disparaître, on est assuré que ces communautés vont croître au bout de quelques générations. Donc, l'existence des communautés protégées dans une grille est une condition suffisante pour assurer la convergence vers un état stationnaire avec une majorité de coopérateurs. La condition suffisante pour la convergence vers une majorité de coopérateurs devient une condition suffisante pour la convergence vers une population composée seulement de stratégies C si on modifie la manière d'obtenir des entiers depuis (B.5), notamment si on tronque les valeurs réelles.