Le régulateur Proportionnel

On her heàobtenirlerégulateurproportionnelleplusperformantenrespe tantle ahierdes harges.Lerégulateur estdelaforme:

Ksv(p)

= K0

(5.1)

On souhaite obtenirle régulateuràla fois leplus adaptéau système dans toute lagamme defon tionnementet qui respe te le ahier des hargesétabli.Pour e faire, onétudiera lesréponsesdu système autour d'unpointde fon tionnement,

us0

= 0

qui orrespondau point d'équilibredu système, ar elui- i est de typeintégrateur. On étudiera les gammes d'amplitude à

10

%,

50

%,

80

% et

100

% du signal de onsigne maximal et on her hera les paramètresdurégulateuràimplémenter enfon tionde haque ritèreétablidansle ahierdes harges.

La démar he à suivre onsiste à étudier en bou le ouverte la fon tion de transfert du système an d'établir la

stabilité du système (

MG

et

MΦ

). En fon tion de es informations, on her hera s'il est possible de modier le

régulateurpourrespe terles ara téristiquesdu ahierdes harges.

Lesystèmeenbou leouverte(BO)(

yu3mes(p)/εsv(p)

)estlesuivant:

yu3mes(p)

εsv(p)

=

Ksv(p)Gsv(p)Kcsv(p)

(5.2)

εsv(p)

estlesignald'entréeet

yu3mes(p)

estlesignaldesortie.

Lesignalde onsigne

us

varieentre

±10

V,lesignalde ommande

iref

est omprisentre

±20.10

−3

A,ledépla ement maximaldutiroirdutroisièmeétage

yu3

estde

±2, 5.10

−3

m.

Lavaleurdurégulateurproportionnel (P)est

Ksv(p) = 2.10

−3

(

Ksv(p) = iref(p)/εsv(p)

)et lavaleurdu apteur de position

Kcsv(p) = 4.10

3

.

Gsv(p)

onstituentlafon tionde transfert équivalente dumodèlenon linéairedela servovalve.

 La fon tionlinmod duprogramme Matlab [44℄ : linmod permet de linéariser unsystème non linéaireautour d'unpointdefon tionnement.Elle permetd'obtenir lesmatri esd'état (A,B,C,D) dumodèlelinéarisé.Cepen- dant, ettefon tiondonnedesrésultatspeusatisfaisantspourdesmodèlesnon linéairespossédantdeséléments MATLAB(saturations dessignaux).

 La déte tionsyn hrone[53℄ : la déte tion syn hroneest unpro essus utilisé lorsque l'on souhaiteextraire une signal utile noyé dans le bruit.Elle est utilisée pour ré upérer des signaux périodiques issus d'un apteur. La déte tionsyn hrones'appuiesurlamodulationdelasour edu apteurpourêtredansunezonedebruitminimale. Le signal est ensuite amplié et, éventuellement, ltré de manière séle tive pour éliminer les harmoniques. Il est, alors, dirigé vers un multiplieur pour ee tuer la démodulation. On peut obtenir l'amplitude et la phase d'un système en utilisant ette méthode. Ilsut d'appliquerun signal sinusoïdalsur le système (

u(t) = u0+

u1sin(wmt)

),d'introduireunampli ateuretunltrepassebandepourobtenirlepremierharmonique(

yf(t) =

y0+y1sin(wmt−θ)

),etderéaliserunemultipli ationdusignaldupremierharmoniquepardessignauxsinusoïdaux

(

sin(wmt)

et

cos(wmt)

)demêmefréquen e(

wm

).Cetteméthodepermet d'obtenirlaphase

θ

et l'amplitude

y1

pourlafréquen eétudiée.Lagure5.4présenteladéte tionsyn hroneutiliséepourobtenirlaphaseetl'amplitude pourunefréquen e.

Fig.5.4Déte tionsyn hrone.

Lesrésultatsobtenusàpartirdeladéte tionsyn hronesontsatisfaisants.Cependant,l'analysesurtoutelagamme defréquen ené essiteuntempsde al ultrèsimportant.

 L'ex itationpar Multisinus [54, 55℄: il s'agit d'unesomme desinus ouvrantune plage defréquen esdétermi- nées.Cetteex itation ombinéeave le al uldeladensitéspe traledepuissan e(DSP)peutêtreutiliséepour ara tériserdes ir uitsoudessystèmes,pouridentierdessystèmes,pourdévelopperdesmodèles,et .Ilexiste diérentes méthodes d'ex itation en multisinus; les plus utilisées sont la méthode par balayage, le multisinus S hroeder,etlaméthodeparphasealéatoire.L'équationdusignalmultisinusest déniedelamanièresuivante:

u(t) =

N

Σ

k = 1

Akcos(2πfkt + φk)

(5.3)

fk

= lk∗ f0

,

lk

est un nombre entier positif,

f0

est la fréquen e porteuse. Les fréquen es

fmin

et

fmax

sont respe tivementlesvaleursminimaleet maximaledelafréquen e

fk

(

fmin

≤ fk

≤ fmax

).Les amplitudes

Ak

et lesphases

φk

de haque omposantesinusoïdaledumultisinuspeuventêtrespé iéesindépendamment.Laphase estdéterminée àpartirdelarelationsuivante:

φk

=

−k(k − 1)

N

π

(5.4)

Dans notre as, onsouhaite avoirune amplitude

Ak

onstante surtoute lagammede fréquen es.On utilisela densitéspe traledepuissan e(DSP)pourobtenirlesamplitudeset lesphasesqui ara térisentlesystème pour unsignalmultisinus d'entréedonnée. Letemps de al ul de ette méthodeest plus ourt pourtoutelagamme defréquen esqueletempsde al uldesméthodespré édentes.

Lagure5.5présenteles hémautilisépourobtenirlaréponse enfréquen eenbou le ouverteave laméthode multisinus.

Fig.5.5S hémautiliséave laméthodemultisinus.

Lesystèmebou léquel'onétudienepeutpasêtreouvertenraisondeladériveenbou leouvertedelapositiondu

tiroirdutroisièmeétage;par onséquent,lesréponsesenfréquen edelabou leouvertesontobtenuesenenvoyant

lesignald'entréeauniveaudela onsigneeten omparantlesvaleursdusignald'erreur(

εsv

)et dusignaldesortie

yu3mes

.

Lesgures5.6et5.7présententlesdiagrammesdeBodeenbou leouverteintégrantlaservovalvetroisétagespour

unepressiond'entréede

P a = 280 bar

etpourunsignalde ommandeégalà

10

%,

50

%,

80

%et

100

%de

±20.10

3_A

.

Remarque :On imposeunsignal de onsigne. Le signal de ommande estobtenu à partir d'unsignal de onsigne

us

pour unrégulateurdonné.

,

Fig.5.6Réponses fréquentielles enbou le ouverteobtenuespour(a)10%et (b)50%dusignalde ommande.

,

Fig.5.7Réponsesfréquentiellesenbou leouverteobtenuespour(a)80%et(b)100%dusignalde ommande.

La fréquen e obtenue pour un gain unité en bou le ouverte notée

wu

est de

210

;

156

;

137

et

131 rad/sec

pour respe tivement

10

%,

50

%,

80%

et

100

% dusignal de ommande. Pour desfréquen es notées

wp

, les réponses en fréquen edusystèmen'ontplusau unesigni ation. Lafréquen e

wp

est del'ordrede

220 rad/sec

pour tousles pointsdefon tionnement.Etantdonnéque lafréquen e

w

−180



pourlaquelle laphaseest de

−180

est supérieure à

wp

,ellenepeutpasêtremesurée.

Remarque : Sur les diagrammes de Bode, on observe que pour les basses fréquen es, la ourbe en bou le ouverte dé roîtave unepentede-20dB/de etquelaphaseos illeautourde-90; equiest ara téristiqued'unintégrateur. Onpeutdon direquela servovalvese omporte ommeunintégrateurpur pourlesbassesfréquen es.

LamargedegainpeutêtrevisualiséeàpartirdesdiagrammesdeNi holsprésentéssurlesgures5.8et 5.9.

,

Fig.5.8DiagrammesdeNi holsobtenuspour(a)10%et (b)100%dusignalde ommandemaximal.

,

Fig.5.9DiagrammesdeNi holsobtenuspour(a)80%et (b)100%dusignalde ommandemaximal.

Pour

Ksv(p) = 2.10

−3

,lesvaleursdesmargesdegainetdephasesontestiméesenprenantlavaleurmoyenneobtenue surlesréponsesfréquentielles.Etantdonnéquela ourbedeNi holsobtenuepour10%dusignalde ommandeest trèsbruitée,l'erreursurlamargedephase(

Mφ

)esttrèsimportante;

Mφ

aétéestiméeà

60 ± 17

.Pour

50

%,

80

% et

100

% du signalde ommande.On peut estimerles valeursde lamarge de phaseà

67 ± 2

,

69 ± 2

et

70 ± 3

 respe tivement.La marge de gain (

MG

) pour

10

%,

50

% est inférieure à

10 dB

. Pour

80

% et

100

% du signalde ommande,

MG

estestimée àenviron

10 ± 2

dB.La ourbedeNi holsobtenuepour

10

%dusignalde ommande, est très bruitée e qui ne permet pas d'estimer le fa teur de résonan e

Q

. Pour 50%,80%et 100% du signalde ommande,les ourbesdeNi holssonttangentesàla ourbed'iso-amplitudede

−1dB

pourungainunité.Iln'ya don pasderésonan e.

Letableau5.1suivantré apitulelesrésultatsobtenusparlediagrammedeNi holsenbou leouverte.

%

10

50

80

100

MargedeGain(

MG

)endB

< 10

< 10

10 ± 2

10 ± 2

MargedePhase(

MΦ

)en

60 ± 17

67 ± 2

69 ± 2

70 ± 3

Tab.5.1Margesdegainetdephaseobtenuespourunrégulateur

Ksv(p) = 2.10

−3

A partir du diagrammede Bode et du diagramme de Ni hols, on peut observer que le système asservi ave un régulateur

Ksv(p) = 2.10

−3

aune bonne stabilité pourl'ensemble dessignauxde ommande.Les margesdegain ontété estiméesàpartirdel'alluredes ourbesdeNi hols.Pour

10

% et

50

%,lesmargesde gainsetrouventdans leslimites établies parle ahier des harges,alors que,dans le as de

80

% et

100

%,lesmarges degain semblent sensiblement supérieures àla limite des valeursétablies dansle ahier des harges.Le fa teur de résonan epour l'ensembledes signauxde ommandeest nulet, par onséquent, orrespondauxvaleursétabliesparle ahierdes harges.Lesmargesdephaseobtenuespourl'ensembledessignauxde ommandesontsupérieuresauxvaleursxées dansle ahierdes harges.Onpeutdirequelesystème présenteundegrédestabilité supérieurà eluiétablidans le ahier des harges. Cependant, ette stabilité peut ae ter lesautres ara téristiquesdu système telles quela pré isionet larapidité.

A partir des résultats obtenus et an d'établir la valeur du régulateur

Ksv(p)

qui permet d'avoir les meilleures performan es( 'est-à-diretelle quelamargedephasesoit dansleslimitesétablies dansle ahierdes harges),on augmente lesvaleursdurégulateurproportionnel, e quiapoureetdediminuerlamargedegainetlamargede phase tout en augmentantle fa teur de résonan ede notre système. Le degré de stabilité de notre système sera alorsmoinsimportantquedansle aspré édent,maisrespe terale ahierdes harges.

Remarque:Dans etteétude,onre her heunmêmerégulateurpourtoutledomainedefon tionnement.Onparlera don de régulateurrobuste.

On souhaite augmenter l'ensemble des ourbes en bou le ouverte de

3 dB

an que la marge de phase setrouve dansleslimitesétabliesparle ahierdes hargestouten gardantunemargedegainsusante.Par onséquent,le nouveaurégulateurproportionnelest

Ksv(p) = 2, 8.10

−3

.

Les signaux de ommandesont déterminésà partir de la relation

iref(p) = Ksv(p)εsv(p)

ave

εsv(p) = uS(p) −

yu3mes(p)

. A l'instant

t = 0

s, on a :

εsv(p) ∼ uS(p)

et

iref(p) = Ksv(p)uS(p)

. Pour

Ksv

= 2, 8.10

−3

, lavaleur maximalede

iref

estdon de

±28.10

−3

Alorsque

uS

estmaximal(

±10

V); ettevaleur(

iref= 28.10

−3

A)représente

140

%dusignalde ommandemaximal(

20.10

−3

A). Par onséquent,lessignauxde ommandeobtenusave

Ksv=

2, 8.10−3

,représente

1, 4

xn %dusignalde ommandemaximalave n=

10

,

50

,

80

et

100

.

Les gures 5.10 et 5.11 représentent la réponse fréquentielle (Bode et Ni hols) du système ave un régulateur proportionnel

Ksv(p)

=

2, 8.10

−3

enbou leouverte.

,

,

Fig. 5.11 Diagrammesde Bode en bou le ouverte obtenus pour unsignal de ommande (a)112% et (b) 140%

(saturationdusignal).

Etantdonnéqu'àpartirdesfréquen es

285

;

265

;

260

et

168 rad/sec

(pourrespe tivement

14

%,

70

%,

112

%et

140

% dusignalde ommande),lesréponsesenfréquen edusystèmen'ontplusau unesigni ation,lafréquen e

w

−180

 orrespondantàlaphasede-180nepeut pasêtremesurée.Letableau 5.2suivantré apitule lesvaleursobtenues àpartirdesdiagrammesdeBodepré édents.Pour

140

%dusignalde ommande,laréponseesttrèsbruitée, equi nepermetpasdedéterminer lairementlafréquen eobtenuepourungainunité.

%

14

%

70

%

112

%

140

%

wu

(

rad/s

)

244

189

165

−

Tab.5.2Fréquen eaugainunitéenbou le ouvertedelaservovalvepourunrégulateurproportionnel

Ksv(p) =

2, 8.10−3

.

Lesgures5.12et5.13présententlediagrammedeNi holsenbou leouvertepourunrégulateur

Ksv(p) = 2, 8.10

−3

.

,

,

Fig.5.13Diagrammesde Ni hols obtenus pour dessignauxde ommande (a) 112%et (b) 140%(saturationdu signal).

Commepourlerégulateurpré édent,les ourbesdeNi holsobtenuessontbruitées, equiintroduituneerreursur l'estimationde lamargede gainet de phase.Lesmarges dephase(

Mφ

)sontdéterminées à

48, 5 ± 3, 5

,

60 ± 2

,

65 ± 3

et

67 ± 3

pourrespe tivement

14

%,

70

%,

112

% et

140

%dusignalde ommande.La ourbeobtenuepour

14

%s'avèreparti ulièrementbruitée,lamargedegain(

MG

)estdon estiméeentre

5, 5

dBet

8

dB.Pour

70

%,

112

% et

140

% dusignalde ommande,lesmargesdegainà

8

dB,

10

dBet

10, 50

dBontrespe tivementétéestimées.Un fa teurderésonan eà

1

dBaétéobtenupour

14

%dusignalde ommande.Pour

70

%,

112

%(saturationdusignal) et

140

%(saturationdusignal)dusignalde ommande,lefa teurderésonan eest environde

0, 25

dB.

Letableau5.3suivantré apitulelesrésultatsobtenusàpartirdudiagrammedeNi holspourlesdiérentssignaux

de ommande.

%

14

%

70

%

112

%

140

%

MargedeGain(

MG

)endB

5, 5 < MG< 8

8

10

10, 5

MargedePhase(

MΦ

)endB

48, 5 ± 3, 5

60 ± 2

65 ± 3

67 ± 3

Fa teurderésonan e(

Q

)endB

1

0, 25

0, 25

0, 25

Tab.5.3Margedegain,margedephaseetfa teurderésonan eobtenuspourunrégulateur

Ksv(p) = 2, 8.10

−3

.

Remarque :lesfa teursde résonan esontestimés àpartir des ourbesd'iso-amplitude.

Apartirdudiagrammefréquentiel,onobservequelerégulateurproportionnel

Ksv(p) = 2, 8.10

−3

permetausystème d'obtenir enbou leouvertelesmarges degainet lesfa teurs derésonan edansleslimites dela plagede valeurs imposéesparle ahierdes hargespour

14

%,

70

%et

112

%dusignalde ommande.Lesmargesdephaseobtenues pour

14

%,

70

%dusignalde ommandesontégalementdansleslimitesimposéesparle ahierdes harges.Cependant, pourunsignalde ommandede

112

%et

140

%,lesmargesdephaserestenten oresupérieuresauxvaleurslimites xées parle ahier des harges. Une augmentation durégulateurpermettraitd'obtenir unemarge de phasedans leslimitesétablies parle ahierdes harges.Cependant, e ientraîneraitl'instabilité dusystèmeétantdonnéque lamargedegainsetrouveàlalimitedelastabilitépour

14

% d'unsignalde ommande.

Onétudiemaintenantl'inuen edesrégulateurssurlarapiditéetlapré isiondansledomainetemporel.Lesgures

5.14,5.15,5.16et5.17présententlaréponseàuné helondusystèmeenbou leferméepour

10

%et

50

%dusignal de onsigne.Lemodèle ompletnon linéaireesti iutilisé.

, ,

Fig.5.14(a)et ( )Réponses àuné helonobtenuespour10%et50%dusignalde onsignemaximale.

,

Fig.5.15(b)et(d)Signauxde ommandepourlesdeuxrégulateurs

Ksv(p) = 2.10

−3

et

Ksv(p) = 2, 8.10

−3

.

, ,

,

Fig.5.17(b)et(d)Signauxde ommandepourlesdeuxrégulateurs

Ksv(p) = 2.10

−3

et

Ksv(p) = 2, 8.10

−3

.

Letableau5.6suivantré apituleledépassement,l'é artstatiqueetletempsderéponseà5%obtenuspourlesdeux régulateurs

Ksv(p) = 2.10

−3

(a)et

2, 8.10

−3

(b). (a)

Ksv(p) = 2.10−3

10

%

50

%

80

%

100

%

D%

(%)

0, 19

0, 19

0

0

ǫ%

(%)

0, 19

0, 18

0, 17

0, 13

t5%

(

ms

)

4, 6

5, 9

7, 5

8, 7

tm

(

ms

)

3, 2

4, 3

5, 6

6, 6

, (b)

Ksv(p) = 2, 8.10−3

10

%

50

%

80

%

100

%

D%

(%)

13, 4

4, 8

2, 2

2, 2

ǫ%

(%)

0, 04

0, 18

0, 17

0, 16

t5%

(

ms

)

6, 7

5

7

8, 3

tm

(

ms

)

2, 2

3, 4

5, 1

6, 2

Tab.5.4Ledépassement,l'é artstatiqueetletempsderéponseà5%obtenuspour

Ksv(p) = 2.10

−3

et

2, 8.10

−3

ave

10

%,

50

%,

80

%et

100

%dusignalde onsigne.

Lerégulateur

Ksv(p) = 2, 8.10

−3

présenteundépassementenpour entagesupérieurà eluidurégulateur

Ksv(p) =

2.10−3

. Pour les deux régulateurs, les é artsstatiques obtenus sont dans la plage de valeurs(5%) établie par le ahierdes harges.Lestempsdemontée

tm

obtenuspourlesdeuxrégulateurssetrouventdanslaplagedesvaleurs xées parle ahierdes harges.A l'ex eptionde

100

% dela onsignemaximale, lestempsderéponseà5%(

t5%

) obtenus pour les deux régulateurs, sont inférieurs aux valeurs établies par le ahier des harges. Le régulateur

Ksv(p) = 2, 8.10−3

présentelesvaleursde

t5%

lespluspro hesdu ahierdes harges.

And'estimerlefa teurderésonan eet labandepassante,lesdiagrammesdeBodeobtenusenbou leferméeave lerégulateur

Ksv(p) = 2, 8.10

−3

,

Fig.5.18DiagrammesdeBodeenbou le ferméeobtenus pourdessignauxde onsignede(a)

10

%et (b)

50

%.

,

Fig.5.19DiagrammesdeBodeenbou leferméeobtenuspourdessignauxde onsignede(a)

80

%et (b)

100

%.

En basses fréquen es,legain

Tsv

(

Tsv(p) = yu3mes(p)/us(p)

) obtenu pour l'ensemble des signauxde onsigne est de0dB.Letableau5.5présente labandepassante

[0; wc]

,lafréquen ederésonan e

wr

et lefa teur derésonan e

Q

estimésàpartirdesréponsesenbou leferméepour haquesignalde onsigne.

%

10

%

50

%

80

%

100

%

Bandepassante

[0; wc] rad/s

−

−

222

187

Fréquen ederésonan e

wrrad/s

258

148

117

155

Fa teurderésonan e(

Q

)endB

1, 32

0, 4

0, 37

0, 6

Fréquen eà-90

w

−90



en

rad/s

288

238

198

172

Tab.5.5Bandepassante,fréquen ederésonan eetfa teur derésonan epourunrégulateur

Ksv(p)

=

2, 8.10

−3

. Lafréquen ede oupure

wc

aétéestiméeà-3dB.Lafréquen e

w

−90



aétédéterminéepourunephasede-90.

Lefa teur derésonan eest inférieuràlalimite xéeparle ahierdes harges(<3dB) equi assureundégrede stabilitésatisfaisantpourl'ensembledespointsdefon tionnement.

On observequele régulateurqui semble le plusadapté pour l'undes ritèresdénispar le ahier des hargesne l'est pas for ément pour un autre. Le hoix du régulateur doit don trouver un bon ompromis pour satisfaire les ara téristiques dénies par le ahier des harges. Le régulateur

Ksv(p)

=

2, 8.10

−3

permet d'avoir un bon ompromisentre lapré ision,larapiditéetlastabilitédusystèmepourl'ensembledessignauxde onsigne.

En on lusion

Pourle régulateur

Ksv(p) = 2.10

−3

rapiditédéniesparle ahierdes harges.A l'ex eptionde100%dusignalde onsigne,lestempsderéponse sont plus ourtsquelesvaleurslimites imposéesparle ahierdes harges.

En utilisant lerégulateur

Ksv(p) = 2, 8.10

−3

, la pré isionet la rapidité ont été améliorées, e qui apermis aux paramètres (

ǫ%

,

t5%

,

tm

) d'être dans les limites pré onisées par le ahier des harges. Les marges de gain et les fa teursderésonan eassurentlastabilité établieparle ahierdes hargespourtouslespointsdefon tionnement. Cependant,les margesde phaserestentlégèrementsupérieuresaux valeursdénies. Contrairementaurégulateur

Ksv(p) = 2.10−3

, le régulateur

Ksv(p) = 2, 8.10

−3

entraîne un dépassement inférieur à 20 %. Cependant, e paramètren'estpasdéterminantpourle hoixdurégulateur ar,lorsdufon tionnement duvérin,lesservovalves sontphysiquementenbutéepourdessignauxsupérieursà20%dusignalde onsignedusystème(servovalve+vérin). Par onséquent,lerégulateur

Ksv(p) = 2, 8.10

−3

s'avèreêtrelerégulateurproportionnelleplusadaptépourasservir laservovalve.Pour on ilierl'ensemble des ara téristiquesdu ahier des harges(rapidité,pré isionet stabilité), onseproposed'utiliserunrégulateurdetypePID arilpermetd'optimiserlapré isiontoutenassurantunebonne stabilitéausystème(dénie parle ahierdes harges).

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