Nous présentons ici les calculs relatifs à l’intersection d’une droite avec un ellipsoïde. Ces calculs sont nécessaires pour calculer la trajectoire et la réflexion d’un phonon par un pore.
Équations des objets géométriques
Nous rappelons ici les équations des différents objets géométriques que nous allons utiliser. Ces rappels posent en outre les notations utilisées. Nous nous plaçons dans un repère cartésien orthonormé direct, d’origineΩ = (0,0,0)et d’axes (ex,ey,ez). Un pointM deR3est représenté par ses projections sur chacun des trois axes.
M = xM yM zM (H.1)
Équation d’une droite
Soit une droite ∆ paramétrée par le temps t ∈ R, de vecteur directeur V = (Vx, Vy, Vz) et passant parM . Son équation peut être donnée par les équations
∆ = x=xM +Vxt y=yM+Vyt z=zM +Vzt (H.2)
Équation d’un ellipsoïde
Soit E un ellipsoïde de R3 de centre (x0, y0, z0) et de demi-axes a, b, c. Son équation dans la base formée par ses vecteurs propres est
E : (x−x0) 2 a2 +(y−y0) 2 b2 +(z−z0) 2 c2 = 1 (H.3)
Intersection
SoitI le point d’intersection de∆avec une des surfaces décrites précédemment. Les coordon-nées de ce point sont paramétrées par t. Pour les obtenir, il suffit de résoudre l’équation (H.3) en remplaçant x,y etz, par la paramétrisation de∆. Dans le cas d’un ellipsoïde, cela revient à résoudre : (x−x0)2 a2 +(y−y0) 2 b2 +(z−z0) 2 c2 = 1 (xM +Vxt−x0)2 a2 +(yM +Vyt−y0) 2 b2 +(zM +Vzt−z0) 2 c2 = 1 Vx2 a2 +V 2 y b2 +V 2 z c2 ! t2+ 2 xMVx a2 +yMVy b2 +zMVz c2 t+ x2M a2 +y 2 M b2 +z 2 M c2 −1 = 0 At2+Bt+C= 0
Il s’agit d’un polynôme du second degré à coefficients réels, dont les solutions sont parfaite-ment connues.
Dans le cadre de notre modélisation, l’intersection est possible seulement si la valeur detest réelle, positive et inférieure au temps de parcours dont dispose le phonon.
L’intersection entre l’ellipsoïde et une droite permet de calculer le point d’impact entre un phonon et un pore, s’il existe, et en combien de temps il sera atteint.
Réflexion du phonon
Le phonon est réfléchi dans le demi-espace défini par la normale, orientée vers l’extérieure, du plan tangent au pore passant par le point d’intersection. L’équation de cette normale est donnée par n= xI−x0 yI−y0 zI−z0 (H.4)
Abstract
This study deals with the transport of phonons in semiconductors at nanoscales. Using the spectral properties of phonons, the Boltzmann transport equation is solved with a statistical numerical method (Monte Carlo method). This technique is based on the time tracking of phonon motion and interactions (drift and collisions) within the nanostructures. It allows us to assess the thermal conductivity of semiconductors (silicon and germanium) when the steady state is reached. In order to test the simulation model and tool reliability, particular attention was paid to two kinds of nanostructures : nanofilms, for which thermal conductivity depends on the sample thickness, and nanowires, for which thermal conductivity is a function of the radius. Besides, as such structures have been extensively studied in the nanoscale heat transport community, we also studied mesoporous materials and nanostructures with modulated geometries, which are promising candidates for many potential applications.
The general principles underlying this work are summarized in Chapter 1 (physics of phonons) and Chapter 2 (Monte Carlo method). Chapter 3 is a parametric study of mesoporous structures. The influence of porosity, as well as size, shape and pore distribution in the material are first discussed. Then, a model of “equivalent homogeneous material” that mimics the mesoporous medium is presented and tested for different kinds of porous nanostructures. Simulation results are compared to the case of the real mesoporous samples. The thermal conductivity is determined for temperatures ranging from 10 to 500 K, for sizes larger than ten nanometers and porosities lower than 50%. When the overall pore scattering surface in the material is maximized, a dra-matic reduction of thermal conductivity for the porous structures is observed. This study also showed that the reduction of conductivity was closely related to modifications of the phonon transport characteristic parameters, especially the mean free path. Thus, a precise tailoring of the porosity allows the control of heat carriers’ mean free path and opens the way to many potential applications. The fourth chapter deals with heterogeneous porous nanofilms. In that part, we show that variations of porosity along the film thickness were responsible for spatial modulations of thermal conductivity. The comparison of temperature and heat flux profiles, be-tween homogenous and heterogeneous porous structures, is presented with both a macroscopic approach and the Monte Carlo simulations. These results highlight the interest of such struc-tures regarding thermal control applications. Eventually, in chapter five, modulated nanowires of silicon are studied. The diameter of these structures varies with steep, smooth and/or periodic patterns. Simulations show that the mean free path is the key parameter for thermal conductivity reductions in semiconducting nanowires. Generalization of this study to nanofilms is currently in progress.
Ce travail porte sur l’étude du transport des phonons dans des semi-conducteurs de dimen-sions nanométriques, à travers le développement de modèles et de simulations. En utilisant les propriétés spectrales des phonons, nous avons résolu l’équation de transport de Boltzmann à l’aide d’une méthode numérique statistique de type Monte Carlo. Le principe de la méthode repose sur le suivi des phonons (dérive et collisions) au cours du temps afin de calculer la conductivité thermique des semi-conducteurs nanostructurés. On s’intéresse en particulier aux nanofilms, pour lesquels la conductivité thermique varie avec l’épaisseur, et aux nanofils, pour lesquels la conduc-tivité thermique dépend du rayon. Outre les nanofilms et les nanofils, qui sont des structures bien connues de la communauté s’intéressant aux transferts de chaleur aux petites échelles, nous avons également étudié d’autres nanostructures ayant un fort potentiel pour de nombreuses ap-plications. C’est notamment le cas des matériaux mésoporeux et des nanostructures à géométrie modulée. Les principes généraux qui sous-tendent ce travail sont résumés dans les chapitres 1 (physique des phonons) et 2 (méthode de Monte Carlo) du mémoire. Le chapitre 3 est une étude paramétrique des structures mésoporeuses : l’influence de la porosité, de la taille, de la forme et de la distribution spatiale des pores est discutée. Puis, un modèle de « milieu homogène équi-valent », représentatif des matériaux mésoporeux est introduit pour différents types de structures. Les résultats de simulations sont comparés au cas du milieu réel. Le calcul de la conductivité thermique est réalisé sur une gamme de températures comprises entre 10 et 500 K, pour des dimensions caractéristiques supérieures à la dizaine de nanomètres et des porosités inférieures à 50%. Nos travaux ont montré une importante réduction de la conductivité thermique pour les structures poreuses, lorsque la surface globale de diffusion dans le matériau est maximisée. Cette étude a également permis de démontrer qu’il existe des corrélations entre la réduction de conduc-tivité et la modification du transport de phonons. Ainsi, un contrôle précis de la porosité permet d’ajuster le libre parcours moyen des porteurs de chaleur et donc la conductivité thermique du matériau. Les structures à porosité hétérogène sont étudiées dans le quatrième chapitre de ce mémoire. L’étude montre qu’il est possible par ce biais de réaliser des matériaux à conductivité variable spatialement sur de faibles épaisseurs. Des applications dans le domaine du contrôle thermique sont mises en évidence. Enfin, dans le dernier chapitre, la conductivité thermique de nanofils modulés en diamètre est calculée pour des géométries ayant des variations de diamètres simples, brutales et/ou périodiques. Les calculs confirment l’importance du libre parcours moyen des porteurs de chaleur pour prédire le comportement thermique de ces objets. La comparaison de cette grandeur avec les dimensions caractéristiques (longueur d’onde, épaisseur, diamètre, pé-riode des motifs) permet de modéliser simplement la réduction de conductivité thermique. De plus, la généralisation à des structures de type nanofilms est en cours de validation.