Réduction du nombre d'opérations élémentaires

= − ⁡ + ( − + ∫( −

(3.8)

Pour déterminer les coefficients de régulation , ⁡ , … nous écrivons les polynômes caractéristiques suivants :

{ ^{+ + =}

+ + = ^{{ +⁡}

+ =

+ + = ^(3.9)

Il est possible d’identifier les coefficients avec un polynôme du second ordre pour placer les pôles, nous pouvons donc en déduire :

{ ⁼₌ ^� { ⁼₌ ^� (3.10)

En plaçant la bande passante du correcteur et l’amortissement, nous en déduisons les différents coefficients.

3.3.2 Réduction du nombre d'opérations élémentaires

La montée en vitesse permet d’augmenter la compacité de la machine,ce qui demande de limiter les pertes dans celle-ci afin d’assurer la tenue thermique du moteur. C’est pourquoi il est nécessaire d’avoir un THD de courant acceptable pour minimiser les pertes Joule dans les enroulements statoriques. Cette minimisation du THD, pour un point de fonctionnement donné, passe par une fréquence de découpage suffisamment élevée. D’autre part, afin d’assurer la contrôlabilité des courants de phase du moteur, il est nécessaire d’avoir un ratio entre la fréquence de découpage et la fréquence électrique fondamentale du moteur suffisamment important. Cela implique donc une fréquence de découpage élevée pour une machine fonctionnant à haute vitesse. Ainsi, pour un échantillonnage de la commande à la fréquence de découpage ou à deux fois la fréquence de découpage, l’ensemble des calculs temps réels nécessaires à la commande doit être effectué dans un temps restreint, de l’ordre de quelques dizaines de µ-secondes.

Par conséquent, la quantité de calculs doit être suffisamment faible afin d’éviter l’utilisation de ressources matérielles importantes. Le contrôle par platitude semble être un bon candidat pour les machines haute-vitesse car, en plus de contrôler une quantité variant relativement lentement (la vitesse mécanique), une boucle de régulation rapide (celle de courant iq) est supprimée, ce qui permet de réduire significativement la quantité d’opérations arithmétiques.

Dans cette section, le nombre d’opérations élémentaires nécessaires au contrôle par platitude est comparé au nombre d’opérations réalisées dans le cas d’une architecture de commande classique à trois boucles de régulation dont deux en cascade. Le contrôle nécessitant le moins d’opérations sera préféré. Pour chaque architecture de commande, il est choisi d’échantillonner les boucles de courants à la fréquence de découpage alors que la boucle de vitesse est échantillonnée deux fois moins souvent ( / ) . Le contrôle par platitude et le contrôle classique sont exprimés sous forme d’algorithmes afin de séquencer les tâches et de décomposer la commande en opérations élémentaires. Par exemple, un correcteur Proportionnel-Intégral (PI), représenté en haut sur la Figure 3-20 est traduit par l’algorithme donné en bas de la même figure.

Figure 3-20 Décomposition en opérations élémentaires d’un correcteur PI

Cette opération est répétée pour chaque élément de l’architecture de contrôle pour les deux commandes considérées, ce qui donne le résultat du Tableau 3-1.

Commande par

platitude ^{Architecture classique Gain en %} Nombre d'additions sur

2 _é ^{28 37 31,1%}

Nombre de multiplications sur 2

é

21 27 28,6%

Tableau 3-1 - Nombre d'opérations élémentaires sur deux périodes de découpage pour la commande classique et la commande plate

Il est possible de remarquer que sur deux périodes d’échantillonnage, avec la fréquence d’exécution choisie pour chaque boucle, la commande par platitude nécessite 28 additions et 21 multiplications alors que l’architecture de commande classique réalise 37 additions et 27 produits, ce qui représente une diminution d’un peu plus de 30% du nombre d’additions et d’un peu moins de 30% pour le nombre de multiplications. Globalement, la platitude réduit d’environ 30% le nombre d’opérations élémentaires par rapport à l’approche classique. Cette diminution est alors très intéressante pour une machine haute-vitesse alimentée par un onduleur de tension ayant une fréquence de découpage relativement élevée. L’autre avantage de la commande par platitude repose sur le contrôle de la vitesse qui est une grandeur variant relativement lentement, notamment dans le cas d’une machine haute vitesse. Ainsi, entre deux instants de découpage, les deux valeurs de cette grandeur sont plutôt proches, ce qui autorise à sous-échantillonner la boucle de vitesse par rapport à la fréquence de découpage. En sous-échantillonnant la boucle de vitesse, cela permet de mieux répartir la charge de calcul sur plusieurs périodes de découpage et de réduire davantage le nombre d’opérations élémentaires par rapport à une commande classique.

3.3.3 Résultats de simulation

L'objectif de ces premières simulations est d'exposer les performances de la commande par platitude différentielle appliquée à une MSAP dans le cas d'une application starter mais il est possible d'appliquer également cette commande à une MSAP dans une application de ventilation. C'est pourquoi dans un premier temps, la fréquence d'échantillonnage de chacune des deux boucles sera égale à la fréquence de découpage soit 30kHz (valeur issue de l'optimisation pour

Kp Ki dt ref mesure sortie ref -mes. Kp Ki εn Δt sortie

avec la fréquence d'échantillonnage de la boucle de vitesse à 1 kHz et celle de la boucle de à 10kHz.

Les résultats présentés sur la Figure 3-21 montrent un enchainement de deux configurations du profil de mission ; un redémarrage d'urgence (fast restart, Figure 3-5) et une assistance aux transitoires. Le couple respecte bien les attentes du cahier des charges, à savoir une précision d'au moins 5% sur la valeur moyenne. Il est rappelé que la composante en quadrature du courant ( ) n'est contrôlée que de manière indirecte par la planification de la trajectoire de la sortie plate y . La Figure 3-22 donne les sorties plates et leurs références. La référence de yd reste constante car la valeur de consigne de la composante directe du courant ( ) est constante. En revanche la sortie yΩ adopte bien la trajectoire planifiée. Dans les deux cas, les sorties plates sont bien contrôlées.

Il est possible de voir sur la Figure 3-23, que les variables d'état et sont bien contrôlées. Le contrôle de est assuré directement par le contrôle de la sortie plate yd alors que est contrôlé de manière indirecte par la planification de la trajectoire de vitesse. Il est toutefois possible d'ajouter des saturations passives sur le courant en quadrature comme le montrent [85], [86], [149]. Ces saturations passives seront mises en œuvres dans le chapitre IV dédié à la validation expérimentale.

Il vient d'être vu que la commande par platitude permet de contrôler les variables d'état du moteur lorsque la fréquence d'échantillonnage est égale à la fréquence de découpage (30kHz). A présent, nous fixons la fréquence d'échantillonnage de la boucle de vitesse à 1 kHz et celle de la boucle de à 10kHz. La Figure 3-24 montre que dans le cas d'un démarrage normal avec des fréquences d'échantillonnage réduites, le contrôle par platitude reste performant : le profil de couple est assuré en respectant le critère de 5% de précision. La Figure 3-25 montre l'évolution des composantes directe et en quadrature du courant ( , ) lors d'un redémarrage rapide (fast restart). Le contrôle de la composante Id du courant est assuré à sa valeur de consigne, malgré un ralentissement de la boucle de régulation de . Le contrôle au sens des valeurs moyennes est également assuré pour la composante Iq du courant malgré la présence de quelques ondulations hautes fréquences. En simulation, la boucle de vitesse (y ) n'a pas pu être ralentie autant que dans le cas d'une commande classique. Cela s'explique par le fait que cette boucle contrôle indirectement la composante Iq du courant et que le système doit assurer une commande en couple.

Figure 3-21 Résultats de simulation; couple/vitesse pour un fast restart Couple moteur (N.m)

Couple moteur

Cas d’un redémarrage rapide (fast restart)

Vitesse mécanique (104 rpm)

5 N.m/div 0,1s/div

104 rpm/div

Référence de couple avec bande de +/-5%

Temps (s)

Figure 3-22 Sorties plates (à gauche) et (à droite)

Figure 3-23 Courants Id, Iq dans le cas d'un contrôle par platitude différentielle

Figure 3-24 Commande par platitude avec fréquences d'échantillonnage ralenties

Sortie plate yd Sortie plate yΩ

yd-référence et yd confondues Temps (s) 2.10-3 Wb/div 0,1s/div Temps (s) yΩ-référence et yΩ confondues 1000 rad.s-1 /div 0,1s/div Temps (s) Temps (s) 50A/div 0,1s/div 0,1s/div 10A/div id (A) iq (A) Courant direct id Contrôle direct de id Courant en quadrature iq Contrôle indirect de iq Couple moteur (N.m) Couple moteur Vitesse mécanique (104 rpm) 5 N.m/div 0,1s/div

Référence de couple avec bande de +/-5%

Temps (s)

Temps (s) 104 rpm/div

Figure 3-25 Courants � , � pour des fréquences d’échantillonnage ralenties

3.3.4 Commande non linéaire basée sur la platitude du système dans le cas d'une MSAP haute-vitesse