du réducteur AVERY

La méthode des réseaux thermiques se base sur une analogie électrique/thermique, comme rapporté dans le Tableau III.1 et la Figure III.1.

Circuit électrique Réseau thermique

Différence de potentiels U = V2− V₁ ∆T = T2− T₁ Flux Courant I Flux de chaleur Q

Lois ^{Loi d’Ohm}_{U = R I} ^{Loi de Fourier}_{∆T = R}

thQ

Tableau III.1 – Tableau comparatif de l’analogie électrique/thermique

R Rth V1 T1 V2 T2 I Q

Figure III.1 – Schéma d’annotations d’une résistance électrique/thermique

La valeur de la résistance thermique dépend du type d’échanges qu’elle traduit : convec-tion naturelle ou forcée, conducconvec-tion ou rayonnement. Les résistances thermiques suivent alors les mêmes lois de composition que les résistances électriques :

III.2. CONSTRUCTION ET RÉSOLUTION DU RÉSEAU THERMIQUE DU RÉDUCTEUR AVERY – La résistance équivalente de deux résistances placées en série est la somme de ces

deux résistances,

R_theq = Rtha + Rthb (III.1) – L’inverse de la résistance équivalente de deux résistances placées en parallèle est la

somme des inverses de chacune de ces résistances. 1

R_theq = ¹

R_tha + ¹

R_thb (III.2)

Connaissant cette analogie, il convient ensuite de décomposer le système étudié en élé-ments supposés isothermes, appelés nœuds du réseau. Ces éléélé-ments sont ensuite reliés entre eux au travers des résistances thermiques. Les pertes mécaniques sont injectées sous forme de flux de chaleur au niveau où elles sont produites. Les températures calculées sont les températures de masses des éléments.

Le calcul de l’évolution de ces températures se fait ensuite en appliquant le premier principe de la thermodynamique à chacun des nœuds du réseau. Ce premier principe se traduit par l’égalité entre la variation d’énergie interne de l’élément considéré et la somme des sources de pertes injectées à ce nœud avec l’ensemble des flux de chaleur échangés avec les nœuds voisins. Cette égalité est traduite dans l’équation (III.3).

M_ic_i ^dTi dt = Qi+ Xⁿ j=1 & j6=i T_j − T_i R_th(i, j) ^(III.3) Avec, – Mi la masse de l’élément i (kg),

– ci la capacité calorifique massique de l’élément i (J/[kg.K]), – Qi la puissance thermique injectée à l’élément i (W),

– Ti la température de l’élément i (K),

– Rth(i, j) la résistance thermique reliant les éléments i et j (K/W), – n le nombre de nœuds dans le réseau thermique.

Par ailleurs, cette équation peut être écrite de la façon suivante :

M_ic_i^dTi dt = Qi− T_i n X j=1 & j6=i 1 R_th(i, j)⁺ n X j=1 & j6=i T_j R_th(i, j) ^(III.4) En introduisant des termes Sth(i, j), comme proposés par Changenet [16], il est pos-sible de réécrire l’équation (III.3) comme :

( dT dt ) =^{ 1} M c  ({Q} − [Sth] {T }) (III.5) Avec, – ( dT dt )

le vecteur formé par la dérivée des température, – ^{ 1}

M c



la matrice inverse des inerties thermiques,

– [Sth] la matrice des termes Sth(i, j) tels que :          S_th(i, j) = − ¹ R_th(i, j) ^{si i 6= j} S_th(i, j) = Pⁿ k=1 & k6=i 1 R_th(i, k) ^sinon (III.6)

– {T } le vecteur des températures

La résolution de ce système de n équations différentielles revient à un système où la dérivée de chaque température par rapport au temps est fonction des températures et où les conditions initiales sont connues (les températures sont imposées à t = 0). Ce problème revient alors un problème de Cauchy, en notant T0 la dérivée de la température par rapport au temps :

T⁰ = f (t, T (t)) et T (t0) = T0

. Ce problème est résolu numériquement par des méthodes de type Runge-Kutta ou Adams [6].

Un schéma résumant le fonctionnement de l’algorithme de résolution est donné sur la Figure III.2. En un nœud, seule la température ou la puissance thermique injectée est connue2. Ainsi les nœuds à température fixe, mais dont les échanges avec leurs voisins ne sont pas connus, sont appelés nœuds limites du réseau. C’est au travers de ces nœuds limites que la chaleur est évacuée du réseau thermique. Physiquement, ces nœuds peuvent être l’environnement extérieur à la transmission ou encore l’injection d’huile.

Dans le cas du régime permanent, le terme ^dTi

dt s’annule et l’équation (III.5) devient alors :

{Q} −[Sth] {T } = 0 (III.7) Dans le cas où il n’y a qu’un seul nœud limite, le flux de chaleur évacué par ce nœud est comme :

Q1 = −Xⁿ j=2

Qj (III.8)

III.2. CONSTRUCTION ET RÉSOLUTION DU RÉSEAU THERMIQUE DU RÉDUCTEUR AVERY

D´EBUT

D´efinition des donn´ees d’entr´ee Choix de la dur´ee de la simulation tmax

t = 0

Initialisation des temp´eratures de chaque noeud

Calcul des r´esistances ind´ependantes de la temp´erature (conduction)

Calcul des propri´et´es physiques de l’huile au temps t

Calcul des pertes de puissances au temps t

Calcul des r´esistances d´ependantes de la temp´erature (convection, rayonnement) au temps t

Int´egration num´erique sur un pas de temps ∆t Calcul des temp´eratures au temps t + ∆t

t = t + ∆t

FIN

Tant que t < tmax

Figure III.2 – Résumé de l’algorithme de résolution d’un réseau thermique pour un temps de simulation de tmax et un pas d’intégration ∆t

III.3 Réseau thermique du banc industriel BC6

L’application d’une telle méthode à un réducteur industriel a été menée sur le réducteur AVERY de la société Texelis. Cependant, il est aussi nécessaire de prendre en compte le banc d’essais sur lequel le réducteur est monté.

III.3.1 Le réducteur AVERY et le banc BC6

Tout d’abord une présentation complète du réducteur AVERY sera faite, suivie par une description du banc d’essais et des moyens de mesures.

III.3.1.1 Le réducteur industriel AVERY

Le réducteur industriel considéré est un train épicycloïdal à 4 satellites de la société Texelis. Un plan en coupe de ce réducteur est donné sur la Figure III.3. Ce genre de réducteur a été conçu pour transmettre de forts couples (jusqu’à 2100 N.m de couple résistant en sortie) pour des vitesses de rotation modérées (jusqu’à 2000 tr/ min en entrée). Ce réducteur présente un fonctionnement particulier puisque les carters sont mobiles. Les seules pièces fixes du système sont la fusée (en bleu sur la Figure III.3) ainsi que le porte-couronne sur lequel est montée la couronne (en jaune sur la Figure III.3). L’en-traînement se fait par un moteur électrique sur l’arbre d’entrée maintenu droit par un roulement à aiguilles entre lui et la fusée. L’arbre d’entrée est lié au solaire par une can-nelure. Le solaire3 entraîne ensuite les satellites. Les satellites sont montés sur une paire de roulements à rouleaux. La couronne étant fixe, portée par le porte-couronne fixé sur la fusée immobile, le porte-satellite se met alors en mouvement. Le porte-satellite est, quant à lui, accroché par des boulons au porte-moyeu qui entre en rotation. Le porte-moyeu est porté par deux roulements coniques dont la bague intérieure est collée sur la fusée. Le bain d’huile est principalement délimité par le moyeu, la face verticale du porte-satellite ainsi que les deux joints au niveau de la fusée et du roulement à aiguilles. Dans la suite, il est considéré que la majorité du bain d’huile est situé entre la face verticale du porte-satellite, le porte-moyeu et le premier roulement conique. Ces deux roulements sont pré-contraints par une cale poussant sur les bagues intérieures. Dans la suite du ma-nuscrit, le roulement le plus proche du bain d’huile est nommé Roulement S1 et l’autre

Roulement S2.

Toutes les dentures de ce réducteur sont droites et leurs caractéristiques géométriques sont données dans le Tableau III.2. Le rapport de réduction totale de ce réducteur est de 5,36.

Solaire Satellite Couronne

Module (mm) 2,75

Angle de pression (°) 22,5

Entraxe (mm) 70

Nombre de dents (-) 83 19 32 Diamètre primitif (mm) 228,25 52,25 88

III.3. RÉSEAU THERMIQUE DU BANC INDUSTRIEL BC6

Fus´ee

Porte-moyeu