2.2 L’indice de degré de distance DD(G)
2.2.3 La récriture de la formule de l’indice de degré de distance
Le présent paragraphe va traiter l’indice de degré de distance DD(G) de quelques classes de graphes en utilisant la récriture de cet indice que nous donnerons sa démonstration d’une autre manière.
1. La formule de DD(G) en fonction de w(u, G)
La formule que nous allons démontrer ici, est une formule qu’on peut trouver en plusieurs références par exemple [103].
Théorème 4.17. [150][151][3][5][4][7][103] Soit G un graphe simple, fini, non orienté, connexe, planaire, d’ordre n et de taille m. Donc, l’indice de degré de distance de ce graphe est : DD(G) = X u∈V (G) w(u, G)deg(u) Démonstration. DD(G) = X {u,v}⊆V (G) (deg(u) + deg(v))d(u, v) = 12 X u∈V (G X v∈V (G) (deg(u) + deg(v))d(u, v) = 12 X u∈V (G) X v∈V (G)
(d(u, v)deg(u) + d(u, v)deg(v))
On a : X u∈V (G) X v∈V (G) d(u, v)deg(u) = X u∈V (G) X v∈V (G) d(u, v)d(v) Donc, DD(G) = X u∈V (G) X v∈V (G) d(u, v)deg(u) = X u∈V (G) w(u, G)deg(u).
Le cas particulier de ce théorème est pour les graphes de diamètre inféreieur ou égale à 2. Ce cas demande la définition des quelques notion comme le premier indice de Zagreb, défini comme suit.
4.2 L’indice de degré de distance
Définition 4.6. Soit G un graphe planaire, simple, connexe et fini. On définit le premier
indice de Zagreb comme suit :
M1(G) = X
u∈V (G)
(deg(u))2 (4.39)
Proposition 4.5. [150][151][3][5][4][7] Soit G un graphe non orienté, simple, connexe, planaire, d’ordre n, de taille m et de diamètre D(G) ≤ 2. Donc, l’indice de degré de distance de ce graphe est :
DD(G) = 4(n − 1)m − M1(G) Où M1(G) est le premier indice de Zagreb défini avant. Démonstration. On utilisant la formule 4.17, on a :
DD(G) = X u∈V (G) w(u, G)deg(u). w(u, G) = X v∈V (G) d(u, v) Puisque D(G) = 2 donc : w(u, G) = X v∈V (G) d(u,v)=1 d(u, v) + X v∈V (G) d(u,v)=2 d(u, v) X v∈V (G) d(u,v)=1 d(u, v) = deg(u) n = X v∈V (G) d(u,v)=1 d(u, v) + n2 + 1
Où n2 est le nombre de sommets de v de d(u, v) = 2, donc :
w(u, G) = deg(u) + 2((n − 1) − deg(u))
DD(G) = X u∈V (G) (deg(u) + 2((n − 1) − deg(u)))deg(u) = 2(n − 1) X u∈V (G) deg(u) − X u∈V (G) deg(u)2 = 4(n − 1)m − M1
2. L’utilisation avec quelques graphes simples
Le calcul de l’indice de degré de distance des graphes de diamètre faible, surtout le dia- mètre 2, nécessite l’utilisation soit le théorème4.17 soit la proposition4.5. Et l’utilisation de la proposition 4.5 demande quelques caractéristiques du graphe.
– Les graphes de diamètre 2
Le lemme suivant donne les valeurs du premier indice de Zagreb, des graphes de dia- mètre 2 avec lesquels nous allons utiliser la proposition 4.5comme les graphes Fan noté Fn, Wheel noté Wn, maximale planaire noté En, Butterfly noté Bn et Crystal noté Cn.
Lemme 4.1. [150][151] Soient les graphes Fan noté Fn, Wheel noté Wn Maximale
planaire noté En, Butterfly noté Bn et Crystal notéCn qui sont tous des graphes d’ordre
n, définis avant (voir le chapitre III). Donc,
Gn m M1(Gn) n Fn 2n − 3 n2+ 7n − 18 n ≥3 Wn 2n − 2 n2+ 7n − 8 n ≥3 En 3n − 6 2n2+ 12n − 44 n ≥ 4 Bn 2n − 4 43n2+43n −10 n ≥ 6 Cn 3n − 7 2n2−8n − 38 n ≥ 5
Démonstration. Sont juste des simples calculs à la main.
Théorème 4.18. [150][151] Soient les graphes Fan noté Fn, Wheel notéWn Maximale
planaire noté En, Butterfly noté Bn et Crystal notéCn qui sont tous des graphes d’ordre
n, définis avant (voir le chapitre III). Donc leurs indices de degré de distance sont : Gn DD(Gn) n Fn 7n2−27n + 30 n ≥ 3 Wn 7n2−23n + 16 n ≥ 4 En 10n2−48n + 68 n ≥ 4 Bn 203 n2− 763 n+ 26 n ≥ 6 Cn 10n2−48n + 66 n ≥ 5
Démonstration. En utilisant la proposition 4.5 et le lemme4.1. Ou bien, en appliquant
directement le théorème 4.17, – Les graphes de diamètre 3
On traite dans ce petit paragraphe le graphe Double-Crystal noté DCn que nous avons vu déjà avant (voir la Figure 3.8).
4.2 L’indice de degré de distance
Théorème 4.19. [5][4] Soit le graphe Double-Crystal noté DCn d’ordre n et de taille
m donc l’indice de degré de distance de ce graphe est :
DD(DCn) = 13n2−88n + 172, pour(n ≥ 10) (4.40)
Démonstration. En appliquant juste le theéorème 4.17et en utilisant le lemme3.1.
– Les graphes de diamètre 4
Pour les graphes de diamètre 4 nous allons traiter les graphes Sunflower noté FLn et Double-Wheel noté DWn.
Théorème 4.20. [5][150][151] Soit le graphe Sunflower noté FLn d’ordre n . Donc
l’indice de degré de distance de ce graphe est : DD(FLn) =
21 2 n2−
115
2 n+ 47 pour(n ≥ 11) (4.41)
Démonstration. On applique le théorème 4.17 et le lemme 3.2.
On passe au graphe Double-Wheel DWn.
Théorème 4.21. [4] Soit le graphe Double-Wheel noté DWn d’ordre n et de taille m.
Donc l’indice de degré de distance de ce graphe est :
DD(DWn) = 11n2−58n + 74, pour(n ≥ 10) (4.42)
Démonstration. L’utilisation du théorème4.17, et le lemme3.3suffit pour la démontrer.
– Les graphes de diamètre supérieur à 4
Pour les graphes ayant un diamètre supérieur à 4, on trouve le graphe Path noté Pn, Cycle noté On et Grid noté Gn (voir les Figures 3.13, 3.14 et3.12).
– Le graphe Cycle :
Théorème 4.22. [3][150][151][7][6] Soit le graphe Cycle noté On d’ordre n ≥ 2 et
de taille de m. Donc l’indice de degré de distance de ce graphe est : DD(On) = 1 2n 3, si n est pair 1 2n 3− 1 2n, si n est impair (4.43)
Démonstration. On applique le théorème 4.17 et le lemme3.4.
Théorème 4.23. [3][2][4][151] Soit le graphe Gride noté Gn d’ordre n et de taille
m. Donc l’indice de degré de distance de ce graphe est : DD(Gn) =
n3 2 +
n2
2 −2n pour(n ≥ 2) (4.44)
Démonstration. On applique la formule du théorème4.17 et le le lemme 3.5.
– Le graphe Path :
Théorème 4.24. [3][7] Soit le graphe Path noté Pn d’ordre n ≥ 2 et de taille m.
Donc, l’indice de degré de distance de ce graphe est : DD(Pn) =
n(n − 1)(2n − 1)
3 pour(n ≥ 2) (4.45)
Démonstration. L’utilisation juste du théorème 4.17 et le lemme 3.6 suffit pour sa
démonstration.
3. L’indice de degré de distance du graphe Cobweb
Théorème 4.25. [7][6] Soit le graphe Cobweb noté WBn d’ordre n, de taille m et de L
niveau, défini avant. Donc l’indice de degré de distance de ce graphe est :
DD(WBn) = 8W (WBn) − pw(u1,1,WBn) − pw(u1,L,WBn) (4.46)
Où Ci est le graphe Cycle du niveau li, et u est un sommet de ce niveau.
Démonstration. DD(WBn) =
X
u∈V (WBn)
w(u, WBn)deg(u)
= w(ui,1,WBn)deg(ui,1) + ... + w(ui,L,WBn)deg(ui,L) = 3(w(ui,1,WBn) + w(ui,L,WBn)) + 4(
L−1 X l=2 w(ui,l,WBn)) = 3(pw(u1,1,WBn) + pw(u1,L,WBn)) + 4(p L−1 X l=2 w(u1,l,WBn)) = 4p(XL l=1
w(u1,l,WBn)) − pw(u1,1,WBn) − pw(u1,L,WBn)
4.2 L’indice de degré de distance
Définition 4.7. On appelle un graphe Star-Graph d’ordre n noté Gm,n tout graphe connectant N graphes simples, connexes, planaires et non orientés d’ordre mi où i = 1, ..., N par un sommet s. Ce graphe est d’ordre n =PN
i mi et de taille m (voir la Figure
4.4).
Gm1
GmN
Gmi
s
Figure 4.4– Exemple du graphe Star-Graph Gm,nd’ordre n
Théorème 4.26. [78] Soit le graphe Star-Graph noté Gm,n d’ordre n et de taille m, défini
avant. Donc, l’indice de degré de distance de ce graphe est : DD(Gm,n) = N X i=1 DD(Gmi) − N X i=1 w(s, Gmi)degGmi(s) + N X i=1 ( XN j=1 et j6=i mj − n+ 1)dd(s, Gmi)+ w(s, Gm,n)degGN(s)+ N X i=1 (w(s, Gm,n)−w(s, Gmi))(2|EGmi|−degGmi(s)) (4.47)
Où |EGmi| est la taille du graphe Gmi.
Démonstration. On utilise le théorème4.17 on a : DD(Gm,n) =
X
u∈V (Gm,n)
w(u, Gm,n)degGm,n(u)
= X
u∈V (Gm1)∪...∪V (Gmn)
w(u, Gm,n)degGm,n(u)
= X
u∈V (Gm1\{s})
w(u, Gm,n)degGm,n(u) + ... +
X
u∈V (GmN\{s})
w(u, Gm,n)degGm,n(u)
= XN i=1 X u∈V (Gmi\{s}) [( X j=1 et j6=i mj− N + 1)d(u, s) + w(s, Gm,n) − w(s, Gmi)+
w(u, Gmi)]degGm,n(u) + w(s, Gm,n)degGm,n(s)
= XN
i=1
[( XN
j=1 et j6=i
mj − n+ 1)dd(s, Gmi) + (w(s, Gm,n) − w(s, Gmi))(2|EGmi|
−degGmi(s)) + DD(Gmi) − w(s, Gmi)degGmi(s)] + w(s, Gm,n)degGm,n(s)
Et ça termine la démonstration.
Pour plus de détaille et résultats sur ce type de graphes voir [1] et [77].
3
L’indice de Terminal de Wiener
Récemment, de nombreuses études traitent «La matrice de distance terminale»[31] [158] ou «la matrice de distance réduite»[62] d’un arbre. Soit l’arbre T d’ordre n possédant k feuilles (les sommets de degré égal à 1), notés v1, v2, ..., vk. La matrice de distance terminale notée T D de l’arbre T est une matrice carée de dimension k où ses entrés tdij sont les distances d(vi, vj) entre les feuilles de cet arbre.
Les matrices de distance terminale sont utilisées dans la modélisation mathématique des pro- teines ou des codes génétique [31] [158] [157]. Elles sont proposées aussi pour qu’elles soient les sources d’une classe des descripteurs des structures moléculaires [158][62]. Il est important de signaler que la matrice de distance terminale d’un arbre T determine la matrice de distance entière de l’arbre T , et par conséquence determine l’arbre tout entière[142].
Remarque 4.4. Soient les remarques suivantes :
– Pour tout arbre T , on a toujours 2 ≤ k ≤ n − 1.
– Les seules arbres d’ordre n de k = 2 et k = n − 1 sont, respectivement, l’arbre Path (voir la Figure 3.13) et l’arbre Star (voir la figure4.1).
– La matrice de distance terminale est définie juste pour les arbre.
3.1
Définition
Motivés par les dérnières recherches sur les matrices de distance terminale et ses applications [31, 62, 142,157,158], les auteurs de [110] ont proposé en 2009 l’indice de Terminal de Wiener d’un arbre T noté par T W (T ). Il se définit comme suit :
4.3 L’indice de Terminal de Wiener
Définition 4.8. Soient l’arbre T d’ordre n, qui possède k ≤ n feuilles et notons l’ensemble de
ces feuilles par V1(T ) ⊆ V (T ). Donc, l’indice de Terminal de Wiener est défini comme suit :
T W(T ) = X
{ui,uj}⊆V1(T )
d(ui, uj) (4.48)