L’utilisation des descripteurs de la structure moléculaire représentée par des graphes est devenue obligatoire. Surtout dans le processus de la découverte de médicaments. Ces descripteurs sont basés en leurs définitions sur plusieurs matières premières du graphe comme la distance, les degrés des sommets ou bien les deux. On continue dans ce petit paragraphe la découverte des relations qui lient les deux représentations d’une molécule : Kenograph et Plerograph. Dans le précédent paragraphe nous avons étudé les indices basés sur la distance en leurs défitions, et nous avons vu comment ces indices relient les deux types de représentations moléculaires. Dans ce paragraphe on étudiera les indices basés sur le degré en leurs définitions et on étudiera aussi leurs influences sur la relation entre les types Kenograph et Plerograph.
2.3.1 La formule de base
Un très grand nombre d’indices topologiques sont basés, en leurs définitions, sur les degrés des sommets d’un graphe. Donc, on peut leurs donner cette définition générale.
Théorème 5.5. Soit G un graphe simple, planaire et connexe. Donc, tout indice topologique
T I basé en sa définition sur les degrés des sommets de G peut s’écrire comme suit : T I(G) = X
1≤i≤j≤n−1
F(i, j)mij (5.6)
Où mij est le nombre des arêtes de G connectées aux sommets de degrés i et j respectivement.
Démonstration. En générale ce théorème, n’est que le résultat d’une remarque approfondie des
différentes définitions des indices utilisant en leurs définitions le degré d’un sommet du graphe. Car tout indice basé sur le degré peut s’écrire comme suit :
T I(G) X
e∈E(G)
F(deg(u), deg(v)). (5.7)
Avec deg(u) et deg(v) sont les degrés respectivement des sommets construits l’arête e du graphe
G.
La plupart des définitions des indices topologiques actuels, définis par les degrés, corresponds à la fonction F (x, y). Par exemple les définitions des indices de Randić [154][33], de la bonde-atom de connectivité [65][144], de Zagreb augmenté [30, 201] et d’Harmonique [146] correspondants à la fonction F (x, y) sont respectivement √1 ,
r
5.2 La relation entre les types Kenograph & Plerograph
2.3.2 Le cas de Plerograph
Lors qu’on voit la Figure 1.5, représentant un exemple de Kenograph et de Plerograph des Hydrocarbons, on constate que toute représentation Plergraph n’a que des sommets u de degré soit deg(u) = 1 soit deg(u) = 4, ce qui exige que leurs arêtes ne sont que des arêtes ayant des extrémités de 1 ou 4. Et donc la formule 5.6 pour le Plerograph devient.
Corollaire 5.1. Les indices topologiques basés sur les degrés du graphe de Plerograph sont
définis comme suit :
T I(P l) = hF (1, 4) + (2n − h
2F(4, 4)) (5.8)
Où h= m14
Démonstration. Puisqu’on a dit que les arêtes du Plerograph ne possède que les extrimétés des
degrés 1 et 4 ou de 4 et 4, l’équation5.6 devient :
T I(P l) = F (1, 4)m14+ F (4, 4)m44. (5.9)
En considérant la formule saturée d’hydrocarbone CnH2n+2 et en posant h = m14 = 2n + 2 et 4n + h = 2(m14+ m44) on parvient notre formule.
Ce corollaire, implique que tout indice topologique basé sur les degrés des sommets des graphes Plerograph ne dépond que de nombre des atomes du carbone et d’hydrogène de la molécule correspondante. Ce qui veut dire aussi que tous les isomères d’un même nombre de sommets auront la même valeur de T I(P l). Et ça va expliquer que les indices topologiques basés sur les degrés de Plerograph sont complètement inutiles comme descripteurs de structure, car ils ne font pas la différence entre les isomères de la même molécule.
2.3.3 L’étude de quelques T I basé sur les valeurs propres
Ce paragraphe va se consacrer à la comparaison de la corrélation des indices de spectral radius (égale à plus grande valeur propre, voir [55,112] pour plus de détails sur cet indice) et d’Estrada (égale à la somme de exp(λi) sur toutes les valeurs propres du graphe corréspondu, voir [64,66? ] pour plus de détails sur cet indice) pour les deux graphes Plerograph et Kenograph. Ces deux indices sont du type des indices basés sur les valeurs propres de la matrice du graphe représentant la molécule en question.
La figure 5.10 montre la très bonne corrélation entre les indices de Sperctal redius du Keno- graph λ1(Ke) et du Plerograph λ1(P l), pour les isomères d’une molécule appelée Undecanes de la formule C12H26. Ce qui a donné 355 données (c’est-à-dire 355 molécules de 12 atomes du
Figure 5.10 –La corrélation entre λ1(Ke) et λ1(P l) pour les isomères d’Undecanes (C12H26)
carbone). Cette corrélation a comme coefficient 0.992 ce qui veut dire que presque 1. Donc, la situation avec les descripteurs basés sur les valeurs propres n’est pas très bonne, par ce que cette corrélation est assez bonne que la dépendance structurelle des deux types, est pratique- ment identique. Le cas de l’indice d’Estrada reste différent, comme dans la Figure 5.11, qui
Figure 5.11– La corrélation entre EE(Ke) et EE(P l) pour les isomères d’Undecanes (C12H26)
montre les indices d’Estrada des Plerograph EE(P l) et du Kenograph EE(Ke) pour les iso- mères d’Undecane. La figure montre que l’indice d’Estrada de Plerograph EE(P l) est presque indépendant de la structure moléculaire, ce qui n’est pas le cas avec l’indice d’Estrada de Ke- nograph EE(Ke) dont les valeurs varient dans un intervalle assez grand. Ce qui explique que les deux représentations sont totalement indépendantes dans le cas l’indice d’Estrada.
5.3 La dependance structurelle de T W(G)
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La dependance structurelle de T W (G)
Vu l’existence d’une relation linéaire exacte entre les indices de Wiener calculés en utilisant les représentations Kenograph W (Ke) et Plerograph W (P l) des isomères d’Alkane (voir les précédents paragraphes) et puisque l’indice de Wiener est le prédécesseur de l’indice de Terminal de Wiener on a essayé dans le papier [108] de décortiquer la relation entre les indices de Terminal de Wiener calculés en utilisant les représentations Kenograph T W (Ke) et Plerograph T W (P l) croyant qu’on pouvait les relier. Après plusieurs efforts on a su à la fin que cette relation ne sera jamais linéaire ni approximativement linéaire. Mais, on a découvert que elle possède un comportement particulier (voir la Figure 5.12) nécessite une étude particulière. Car nous avons constaté que l’indice de Terminal de Wiener T W dépond de la structure des molécules. Alors, cette section va étudier la dépendance de l’indice de Terminal de Wiener aux structures Kenograph Ke et Plerograph P l.