2.5 Applications
2.5.4 Réciproque d’une bijection
Soient E et F deux ensembles non vides et f une application bijective de E sur F .
On appelle application réciproque de f ( ou bijection réciproque de f ) l’application notée f−1 définie par : f−1: F −→ E tel que pour tout
(
x, y)
∈ E × F ; f−1(
y) =
x ⇐⇒ y=
f(
x)
.Exemples 2.5.21 :
• L’application f : R −→ R∗+ telle que f
(
x) =
ex+1 est une bejection de R sur R∗+, sa réciproque est l’application bejective g : R∗+ −→ R telle que g(
x) =
lnx − 1.• L’application h : R− −→ R+ telle que f
(
x) =
x2 est une bejection de R− sur R+, sa réciproque est l’application bejective h−1: R+ −→R− telle que h−1(
x) =
−√ x.
Proposition 2.5.22 :
Soient E et F deux ensembles non vides et f une application de E vers F .
1• Si f bijective alors son application réciproque f−1est bejective de F sur E et elle verifie
(
f−1)
−1=
f , f−1◦ f
=
IdE et f ◦ f−1=
IdF.2• f bijective si et seulement s’il existe une et une seul application bejective g de F sur E telle que f ◦ g
=
IdF et g ◦ f=
IdE. Cela signifie que g=
f−1.Preuve :
dans E par f . Ce qui montre que la relation réciproque f−1 est une application de F vers E. Et comme f est une application alors, tout élément dans E a un et un seul antécédent dans F par f−1. Donc f−1 est bejective.
Pour la démonstration de
(
f−1)
−1=
f , on note f−1=
g : F −→ E.On a alors g−1 : E −→ F une application bejective, pour tout x ∈ E fixé, on a
(
f−1)
−1(
x) =
g−1
(
x) =
y=
f(
x)
.Montrons maintenant f−1◦ f
=
IdE pius f ◦ f−1=
IdF.Soient x ∈ E et y
=
f(
x)
. On a f−1◦ f(
x) =
f−1(
f(
x)) =
f−1(
y) =
IdE(
x)
.Ainsi ∀x ∈ E;f−1◦ f
(
x) =
x, donc f−1◦ f=
IdE.Soient y ∈ F et x
=
f−1(
y)
. On af ◦ f−1(
y) =
ff−1(
y)
=
f(
x) =
IdF(
y)
.Ainsi ∀y ∈ F ;f ◦ f−1
(
y) =
y, donc f ◦ f−1=
IdF.2• ”
=
⇒ ” : Supposons f bijective, et montrons qu’il existe une application bejective g : F −→ E telle que f ◦ g=
IdF et g ◦ f=
IdE.Comme f est bejective alors, d’après 1•, l’appliquation réciproque de f est f−1 : F −→ E donc il existe une application g
=
f−1 telle que f ◦ g=
IdF et g ◦ f=
IdE.” ⇐
=
” : Supposons qu’il existe une application g : F −→ E telle que f ◦ g=
IdF et g ◦ f=
IdE etmontrons que f est bijective.
Pour l’injectivité de f : Soient
(
x1, x2)
∈ E2 tel que f(
x1) =
f(
x2)
. On compose à gauche avec g on obtient(
g ◦ f) (
x1) = (
g ◦ f) (
x2)
, on a alors IdE(
x1) =
IdE(
x2)
. Donc f est injective.Pour la surjectivité de f : Puisque f ◦ g
=
IdF et que IdF est bejective, alors d’après la cinquièmepropriété dans la proposition 2.5.19 f est surjective. Ce qui montre que f est bijective.
Pour la bejectivité de g : Puisque f ◦ g
=
IdF et g ◦ f=
IdE et que IdE et IdF sont bejectives,alors d’après la cinquième propriété dans la proposition 2.5.19 g est bejective.
Pour l’unicité de g : On suppose que h : F −→ E une autre application telle que h ◦ f
=
IdE etf ◦ h
=
IdF, en particulier f ◦ h=
IdF=
f ◦ g, donc pour tout y ∈ F ; f(
h(
y)) =
f(
g(
y))
or f estbejective alors elle est injective donc pour tout y ∈ F ; h
(
y) =
g(
y)
, ceci montre que h=
g.Même si en particulier h ◦ f
=
IdE=
g ◦ f , on a pour tout x ∈ E; h(
f(
x)) =
g(
f(
x))
, comme fest bejective alors pour tout y ∈ F ; h
(
y) =
g(
y)
. Pour g=
f−1 : Sela s’obtient comme suit :• IdE
=
g ◦ f ⇐⇒ IdE◦ f−1= (
g ◦ f)
◦ f−1 ⇐⇒ f−1=
g ◦f ◦ f−1 ⇐⇒ f−1=
g ◦ IdF=
g. • f ◦ g=
IdF ⇐⇒ f−1◦(
f ◦ g) =
f−1◦ IdF ⇐⇒f−1◦ f◦ g=
f−1 ⇐⇒ g=
IdE◦ g=
f−1.Commentaire : On ne peut pas passer de l’une des deux égalités g ◦ f
=
IdE et f ◦ g=
IdF sansl’autre pour deduire que f est bejective. Considérons par exemple les deux applications suivantes :
f : E ={−1, 0, 1, 2, 3} −→ F ={0, 1, 2, 3, 4, 5} g: F ={0, 1, 2, 3, 4, 5} −→ E ={−1, 0, 1, 2, 3} x 7−→ x+2. x 7−→ 0 si x < 1 x − 2 si x ≥ 1. On remarque que l’élément 0 de F n’a pas d’antécédent par f dans E, ce qui montre que f n’est pas bijective. Pourtant, pour tout élément de E on a :
g(f(x)) =f(x)− 2=IdE(x)car pour tout x ∈ E; f(x)≥ 1.
Ainsi, pour tout élément de F − {0} on a :
f(g(x)) =g(x) +2=IdF −{0}(x)6= IdF(x), car f(g(0)) =f(0) =2. Conclusion 2.5.23 :
On dit queg : F −→ E est l’application réciproque de l’application bejectivef : E −→ F si et seulement si f ◦ g=IdF etg ◦ f =IdE.
Proposition 2.5.24 :
Soient E, F et G trois ensembles non vides, f : E −→ F et g : F −→ G deux applications bijectives.
L’application g ◦ f est bijective et sa bijection réciproque est (g ◦ f)−1 =f−1◦ g−1.
Preuve :
Supposons que f : E −→ F et g : F −→ G deux applications bijectives et montrons que g ◦ f est bijective. Puisque f et g sont à la fois injectives et surjectives on a alors, d’après les deux premières propriétés de la proposition 2.5.19, g ◦ f est elle aussi. Donc elle est bejective.
(g ◦ f)◦(g ◦ f)−1 =IdG ⇐⇒ g−1◦ (g ◦ f)◦(g ◦ f)−1=g−1◦ IdG ⇐⇒ g−1◦(g ◦ f) ◦(g ◦ f)−1 =g−1 (car 00◦00 associative) ⇐⇒ g−1◦ g◦ f◦ (g ◦ f)−1=g−1 ⇐⇒(IdF ◦ f)◦(g ◦ f)−1 =g−1 (car g−1◦ g=IdF) ⇐⇒ f ◦(g ◦ f)−1 =g−1 ⇐⇒ f−1◦f ◦(g ◦ f)−1=f−1◦ g−1 ⇐⇒ f−1◦ f ◦(g ◦ f)−1 =f−1◦ g−1 ⇐⇒ IdE◦(g ◦ f)−1 =f−1◦ g−1 ⇐⇒(g ◦ f)−1 =f−1◦ g−1. Définition 2.5.25 :
Soit E un ensemble non vide. On appelleinvolution de E toute application f de E dans lui-même vérifiant f ◦ f =IdE.
Propriétés 2.5.26 :
Toute involution f de E est une bijection de E sur E et f−1 =f .
Preuve :
On applique la deuxième propriété de la proposition 2.5.22 dans le cas particulier où g =f .
2.6
Exercices
Exercice 2.6.1 :
Les fonctions suivantes sont-elles injectives, surjectives, bijectives ?
f : R −→ R+ g: C − {2i} −→ C h: ]−12,12[ −→ R x 7−→ x 2 |x|+1. z 7−→ z z − 2i. x 7−→ tan(πx). k: Z −→ N l: R −→ R n 7−→ k(n) = 2n, si n ≥ 0 −2n − 1, si n ≤ −1. x 7−→ eexx+−11 Exercice 2.6.2 : Soit f l’application de −π2,π2
1. Cette application est-elle injective ? est-elle surjective ? est-elle bijective ?
2. Déterminer l’ensemble A telle que la restriction de f à A est une bijection de A sur [0, 1].
Exercice 2.6.3 :
Démontrer que pour (A, B)∈(P(E))2 et x ∈ E on a : 1. IA(x) =IB(x)⇐⇒ A=B. 2. ICEA(x) =1 − IA(x). 3. IA∩B(x) =IA(x)IB(x). 4. IA∪B(x) =IA(x) +IB(x)− IA(x)IB(x). 5. IA−B(x) =IA(x)(1 − IB(x)). 6. IA∆B(x) =IA(x) +IB(x)− 2IA(x).IB(x). Exercice 2.6.4 :
Soient (A, B)∈(P(E))2 et f : P(E)−→P(A)×P(B)définie par : f(X) = (X ∩ A, X ∩ B). 1) Montrer que f est injective si et seulemnt si A ∪ B=E.
2) Montrer que f est surjectif si et seulement si A ∩ B=φ.
3) Donner une condition nécessaire et suffisante pour que f soit bijective. Donner f−1.
Exercice 2.6.5 :
Soit N l’ensemble des entiers naturels.
Soit n ∈N fixé. Montrer qu’il existe un couple unique d’entiers (a, b)vérifiant b=n −a(a2+1) et b ≤ a. 1. Montrer que l’application soivante :
f : N × N −→ N
(a, b) 7−→ (a+b)(2a+b+1)+b. est une bijection de N × N sur N.
Exercice 2.6.6 :
On considère quatre ensembles A, B, C et D et des applications f : A −→ B, g : B −→ C, h : C −→ D
Montrer que :
1. (g ◦ f) injective implique que f est injective.
2. Si(g ◦ f) est injective et f surjective alors g est injective.
3. (g ◦ f) surjective implique que g est surjective.
4. Si(g ◦ f) est surjective et f injective alors f est surjective.
Exercice 2.6.7 :
Soit
f : N2 −→ N∗
(n, p) 7−→ 2n(2p+1).
1) Démontrer que f est une bijection.
2) En déduire une bijection deN2 sur N.
Exercice 2.6.8 :
Soit
f : Z × N∗ −→ Q
(p, q) 7−→ p+ 1q. a. Montrer que f est injective.
b. Montrer que f n’est pas surjective.
Exercice 2.6.9 :
Soient E et F deux ensembles, A, B deux sous-ensembles de E, C, D deux sous-ensembles de F et f :
E −→ F une application donnée. Montrer ce qui suit :
1. A ⊂ B=⇒ f(A)⊂ f(B). La réciproque est-elle vraie ?.
2. f(A ∪ B) =f(A)∪ f(B).
3. f(A ∩ B)⊂ f(A)∩ f(B). Quelle est la condition sur f pour l’égalité ?.
4. C ⊂ D=⇒ f−1(C)⊂ f−1(D).
5. f−1(C ∪ D) =f−1(A)∪ f−1(B).
6. f−1(C ∩ D)⊂ f−1(C)∩ f−1(D).
Exercice 2.6.10 :
Soit f une fonction réelle d’une variable réelle définie par f(x) = s
1+x2
1 − x2.
1.) Montrer que f est ni injective, ni surjective.
2.) Donner les plus grands sous-ensembles E et F de R tels que la fonction g : E −→ F définie par g(x) =
s
1+x2
1 − x2 soit bijective.
3.) Écrire l’expression algébrique de g−1(x)où g−1 est la fonction réciproque de g.
Exercice 2.6.11 :
Soit f une fonction réelle d’une variable réelle définie par f(x) =ex21 +1.
a.) Calculer l’image directe de ]− 1, 2[ par la fonction f .
c.)Montrer que f est ni injective, ni surjective.
d.) Donner les plus grands sous-ensembles A et B de R tels que la fonction h : A −→ B définie par h(x) =ex21 +1 soit bijective.
Chapitre
3
Les fonctions réelles à une variable réelle
3.1
Fonctions réelles, définitions et propriétés
Définition 3.1.1 :
Une fonction d’une variable réelle à valeurs réelles est une relation, notée f de I ⊆R vers R, telle que pour tout antécédent x de I donné, est en relation au plus un et un seul image y dans R par f. On note :
f : I −→ R
x 7−→ f(x)
et F(I,R) l’ensemble des fonctions de I vers R.
Exemples 3.1.2 :
f : R∗ −→ R
x 7−→ f(x) = 1xcos(x1)
f est une fonction réelle d’une variable réelle.
g: C −→ R
z 7−→ g(z) = Re(|z|z)−1
g est une fonction réelle d’une variable complexe. Domaine de définition d’une fonction
Définition 3.1.3 :
Soit f une fonction réelle d’une variable réelle. On appelle l’ensemble de définition (ou domaine de définition) de f , on note Df l’ensemble des antécédents qui ont des images par la fonction f .
C’est-à-dire : si f : I ⊆R −→ I0 ⊆R. on a, alors
Df =x ∈ I tels que ∃y=f(x)∈ I0 .
f : R −→ R x 7−→ f(x) = √1 xln( x−1 x ), Df = n x ∈R tels que √1 xln( x−1 x )∈R o =nx ∈R tels que x > 0 ∧ x−1x > 0o = ]1,+∞[. g: Z −→ R n 7−→ g(n) = √|n| 4−n2, Dg = n x ∈Z tels que √|n| 4−n2 ∈R o = x ∈Z tels que 4 − n2 > 0 ={−1, 0, 1} .
Représentation graphique d’une fonction
Définition 3.1.5 :
Le graphe ( ou courbe représentative) d’une fonction f : E ⊆R −→ F ⊆ R, est le sous-ensemble Gf (resp. ou Cf ) de E × F tel que :
Gf ={M(x, f(x)) / x ∈ Df ∧ f(x)∈ F } .
Opérations sur les fonctions
Définition 3.1.6 :
Soient f et g deux fonctions définies respectivement sur Df et Dg.
Domaine de définition de f+g, f − g et f × g est l’ensemble Df ∩ Dg, c’est-à-dire :
Df+g =Df −g =Df ×g =Df∩ Dg. Pour tout x ∈ Df∩ Dg, (f +g) (x) =f(x) +g(x),(f − g) (x) =f(x)− g(x) et (f × g) (x) =f(x)× g(x). Domaine de définition de f g est l’ensemble Df g = (Df∩ Dg)− {x ∈ Dg tels que g(x) =0} , et pour tout x ∈ Df g , fg(x) = fg((xx)).