6.8 Espaces vectoriels
6.8.10 Base d’un espace vectoriel
Définition 6.8.42 :
Soient E un K-espace vectoriel et B= (ei)1≤i≤p une famille de vecteurs de E. On dit que B est une base de E si B à la fois libre et génératrice de E.
Exemples 6.8.43 :
(1) Soient les vecteurs e1 = (1, 0) et e2 = (0, 1). Alors, la famille (e1, e2) est génératrice de R2. Car tout vecteur (x, y) ∈ R2 s’écrit (x, y) = x(1, 0) +y(0, 1). De plus il est claire que la famille (e
1, e2) est libre. Donc est une base de R2, appelée base canonique de R2.
(2) DansR2 toute famille de deux vecteurs libre est une base de R2.
(3) La familleB= (1, i)est une base du R-espace vectoriel C (dite canonique).
(4) La familleB= (1, i)n’est pas une base du C-espace vectoriel C.
Car ∃(λ1, λ2)∈C2− {(0, 0)} / λ1.1+λ2.i = 0C comme par exemple λ1 = −i, λ2 =1. C’est-à-dire, dans
C-espace vectoriel C la famille (1, i) est liée
(5) La famille B = (Xi)1≤i≤n = (1[X], X, X2, · · · , Xn) est une base de Rn[X] (dite base canonique de Rn[X] ). Car pour tout polynome P de Rn[X] il existe (a0, a1, · · · , an)∈Rn+1 unique tel que
P(X) =a0.1[X]+a1.X+· · · , an.Xn. Proposition 6.8.44 :
B= (ei)1≤i≤p est une base d’un K-espace vectoriel E si, et seulement si,
∀u ∈ E, ∃!(λ1, · · · , λp)∈Kp / u =λ1e1+· · ·+λpep. (6.17)
Preuve :
(=⇒) : SupposonsB une base de E.
Puisque la familleB génératrice de E, alors il existe(λ1, · · · , λp)∈Kp / u=λ1e1+· · ·+λpep.
Cela prouve l’existence.
Pour l’unicité des λ1, · · · , λp : Supposons qu’il existe d’autres scalaires µ1, · · · , µp ∈K tels que
u=µ1e1+· · ·+µpep. On a alors, (λ1− µ1)e1+· · ·+ (λp− µp)ep=0E. Comme B est une famille libre, on
en deduit que λ1− µ1=· · ·=λp− µp =0K, ceci implique λi =µi pour tout i ∈ {1, · · · , p}.
(⇐=) : Supposons (6.17) vraie.
D’après la proposition (6.17) on a B est génératrice de E.
De l’égalité λ1e1+· · ·+λpep =0E, on deduit par unicité de la décomposition du 0Epar apport aux vecteures e1, · · · , ep que λ1 =· · ·= λp =0K. ce qui montre queB est libre.
Définition 6.8.45 :
SoientB = (ei)1≤i≤n une base d’un K-espace vectoriel E et u ∈ E tel que u=λ1e1+· · ·+λnen. Les scalaires (λi)1≤i≤n s’appellent les coordonnées (ou composantes) de u dans la base (ei)1≤i≤n.
Définition 6.8.46 :
de E.
Dans le cas ou la famille génératrice de E est infinie, on dit que l’espace E est de dimension infinie.
Proposition 6.8.47 :
Tout K-espace vectoriel de dimension finie possède au moins une base.
Preuve :
Soient E unK-espace vectoriel de dimension finie et Fm = (v1, · · · , vm)une famille génératrice de E.
Si la familleFm est libre, alors est une base de E.
Sinon, la familleFm est liée, et alors un des vecteurs deFm est combinaison linéaire des autres. Supposons que le vecteur vm est combinaison linéaire des vecteurs v1, · · · , vm−1.
D’après la proposition 6.8.27 , la sous-familleFm−1 = (v1, · · · , vm−1) est elle même génératrice de E.
Répétons la même discussion sur la famille Fm−1 si elle est n’est pas libre. Ce processus s’arrête jusqu’à ce
que nous ayons une famille lineairement indépendante génératrice de E. Car la famille Fm est finie.
Théorème 6.8.48 (Théorème de la dimension)
Toutes les bases d’un espace vectoriel E de dimension finie ont le même cardinal.
Preuve :
Soient B1 = (e1, · · · , en)et B2 = (1, · · · , p)deux bases distinctes d’un espace vectoriel E.
On note card(B1) =n et card(B2) =p.
Suposons que n > p, alors, d’après le corollaire 6.8.40 la famille B1 est liée. Ce qui est imposible puisque la
famille B1 est libre, car c’est une base de E. De même, si on supose que p > n.
Par conséquent, la ceule posibilité est que n=p. La preuve est terminée.
Lemme 6.8.49 :
Soit E unK-espace vectoriel de dimension finie.
SiL une famille libre de p vecteurs de E et F une famille génératrice finie de m vecteurs de E, alors p ≤ m.
Preuve :
D’après le corollaire 6.8.40, on en déduit que toute famille de m+1 vecteurs de E est liée. Donc, toute famille de vecteurs de E libre a au plus m vecteurs. Ceci implique p ≤ m.
Définition 6.8.50 :
Soit E unK-espace vectoriel de dimension finie.
dimE=card(B) où B est une base de E.
Si E n’est pas de dimension finie, on pose dimE= +∞.
Proposition 6.8.51 :
Soit E unK-espace vectoriel de dimension n. Alors :
1. Toute famille libre de E a au plus n éléments.
2. Toute famille génératrice de E a au moins n éléments.
Preuve :
SoitB une base de E telle que card(B) =n.
1. Considérons la famille B génératrice, d’après le lemme lemme 6.8.49, on a qu’une famille L libre dans
un espace E de dimontion finie n vérifie Card(L)≤ Card(B) =n.
2. D’après la proposition 6.8.47, on sait que toute famille G génératrice d’un espace E de dimontion finie
n, on peut extraire une base B1 de E vérifie Card(B1)≤ Card(G). On applique la proposition 6.8.48, on
a n=Card(B1)≤ Card(G).
Remarques 6.8.52 :
1) Toute famille de au moins de n+1 vecteurs d’un espae vectoriel de dimontion finie n est une famille liée.
2) Toute famille de au plus de n − 1 vecteurs d’un espae vectoriel de dimontion finie n elle n’est pas
génératrice de E.
Il reste à énoncer un résultat important et très utile :
Théorème 6.8.53 :
Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie n, et F= (v1, · · · , vn)une famille de n vecteurs de E. Il y a équivalence entre :
(B) F est une base de E,
(L) F est une famille libre de E, (G) F est une famille génératrice de E.
Preuve :
FLes implications (B)=⇒ (L) et (B)=⇒ (G) sont immédiates ( par la définition d’une base).
F(L)=⇒ (B) Supposons la famille F libre et montrons qu’elle est génératrice.
Soit u ∈ E tel que u ∈ V ect/ (F). D’après la proposition 6.8.37, on peut affirmer que la sur-famille F0 = (v1, · · · , vn, u) est libre. Mais cela conduit à une contradiction, parce que, d’après la proposition 6.8.51,
on en déduit que card(F0) = n+1 < n = dim(E). Donc, tout vecteur de E est combinaison linéaire des vecteurs de la famille F. Ceci implique que F est une famille génératrice de E.
F(G) =⇒ (B) : Supposons la famille F génératrice et montrons qu’elle est libre.
On réalise cette démonstration par contraposition. Nous allons montrer que si la familleF est liée, alors elle n’est pas génératrice de E.
Supposons que la famille F est liée. Alors, il existe i ∈ {1, 2, · · · , n} tel que vi est combinaison linéaire
de (v1, · · · vi−1, vi+1, · · · , vn). D’après la proposition 6.8.27, la famille Fn−1 = (v1, · · · vi−1, vi+1, · · · , vn)
est génératrice de E. Or cette famille est de cardinal n − 1 < n = dim(E), ce qui implique (d’après la proposition 6.8.27 et proposition 6.8.51) que la familleF n’est pas génératrice de E.
Définition 6.8.54 :
Soient E un K-espace vectoriel et F un sous-espace vectoriel de E.
• Si dimF =1, le sous-espace F est appelé droite vectorielle de E. • Si dimF =2, le sous-espace F est appelé plan vectorielle de E.
• Si dimE=n ≥ 1 et dimF =n − 1, le sous-espace F est appelé hyperplan vectorielle de E.
Exemples 6.8.55 :
1). Soit F le sous-espace vectoriel deR2 défini par :
F =n(x, y)∈R2 / x − 2y=0o.
Pour tout u= (x, y)∈ F on a x=2y, on en déduit
F ={(2y, y) / y ∈R}={y.(2, 1) / y ∈R} ,
c’est-à-dire F =vect(v1)où v1 = (2, 1). Ainsi dimF =1=dimR2− 1,
le sous-espace F est donc une droite vectorielle de R2. C’est aussi un hyperplan vectorielle de R2.
2). Soit G le sous-espace vectoriel deR4 défini par :
G= n(x − y, y − x, x+z − y, z)∈R4 où x, y, z ∈Ro.
Soit u ∈ G, on a
u = (x − y, y − x, x+z − y, z) =x.(1, −1, 1, 0) +y.(−1, 1, −1, 0) +z.(0, 0, 1, 1) =vect(v1, v2, v3)
avec v1 = (1, −1, 1, 0), v2 = (−1, 1, −1, 0)et v3 = (0, 0, 1, 1). Remarquons que v1 est combinaison linéaire de v2 et v3 car v1 = (−1).v2+0.v3. Donc vect(v1, v2, v3) =vect(v2, v3). et la famille (v2, v3) est une famille
libre. Ainsi, dimG=2,
le sous-espace G est donc un plan vectorielle de R4, mais ce n’est pas un hyperplan vectorielle de R4.