6.2.1
Élément neutre, Élément symétrisable
Définition 6.2.1 :Soit ? une loi de composition interne sur un ensemble E non vide.
I ede E est un élément neutre pour la loi ? si et seulement si (∀x ∈ E; e ? x=x=x ? e ).
On dit aussi, (? admet un élément neutre, noté e dans E )⇐⇒(∃e ∈ E / ∀x ∈ E; e ? x=x=x ? e).
ISi e est l’élément neutre pour ?, alors on dit qu’un élément x de E estsymétrisable (ou inversible) pour la loi ?, s’il existeun élément x0 de E tel que x0? x=e=x ? x0.
L’élément x0 est appelé élément symétrique ( ou inverse )de x pour la loi ?.
• On dit qu’un élément x de E admet un symétrisable à droite pour la loi ?, si et seulement si ∃x0 ∈ E / x ? x0 =e.
• On dit qu’un élément x de E admet un symétrisable à gauche pour la loi ?, si et seulement si ∃x0 ∈ E / x0? x=e.
Exemples 6.2.2 :
∗ L’élément neutre pour l’addition sur N, Z, Q, R, C est 0 et 1 est élément neutre pour la multiplication. ∗ L’élément neutre pour la loi de composition surA(E, E) est IdE.
∗ L’élément neutre pour la multiplication surA(E, E)est l’application constante c: x ∈ E 7−→ 1 ∈ E. ∗ L’élément neutre pour la loi ∪ surP(E) est φ. Puisque ∀A ∈P(E); A ∪ φ=φ ∪ A=A.
∗ L’élément neutre pour la loi ∩ surP(E) est E. Puisque ∀B ∈P(E); B ∩ E =E ∩ B=B.
• Le symétrique d’un élément x de N, Z, Q, R, C pour l’addition est −x. • Le symétrique d’un élément x de Q∗, R∗,C∗ pour la multiplication est 1x.
• Le symétrique d’une application bejective f deA(E, E)pour la loi de composition est sa réciproque f−1.
• Soit ⊥ une loi de composition interne sur R définie par : ∀(x, y)∈R2; x⊥y=x+y+xy. L’élément neutre pour la loi ⊥ surR est 0. Puisque pour tout x ∈ R, on a : x⊥0=0⊥x=x.
Le symétrique d’un élément x deR − {−1} pour la loi ⊥ est x0 = x−x+1. Puisque pour tout x ∈R − {−1}, on a : x⊥x0 =x0⊥x=0.
Proposition 6.2.3 :
Si une loi de composition interne sur un ensemble E non vide admet un élément neutre, alors il est unique.
Preuve :
Puisque e est un élément neutre pour ?, on a ∀x ∈ E; e ? x=x=x ? e. En particulier x=e0, on obtient :
e ? e0 =e0 et e0? e=e0. (6.1)
Comme e0 est un élément neutre aussi pour ?, on a ∀x ∈ E; e0? x= x=x ? e0. On peut prendre cette fois
x=e, on obtient :
e0? e=e et e ? e0 =e. (6.2)
D’apès (6.1) et (6.2), on en deduit par transitivité que e=e0.
Proposition 6.2.4 :
Soient ? une loi de composition interne, associative et admet un élément neutre sur un ensemble E non vide et x et y deux éléments de E.
• Si x est symétrisable pour la loi ?, alors son symétrique est unique.
• Si x et y sont symétrisables, alors x ? y est symétrisable et son symétrique est donné par(x ? y)0 =y0? x0, où x0 est le symétrique de x et y0 est le symétrique de y.
Preuve :
Soient ? une loi de composition interne, associative sur l’ensemble E et e est l’élément neutre. • Montrons que le symétrique de x ∈ E s’il existe il est unique.
On suppose x possède deux symétriques x0 et x00 pour la loi ?. On a alors,
x ? x0 =e=x0? x et x ? x00 =e=x00? x. (6.3)
Nous pouvons montrer que x=x0 comme suit :
x0 =e ? x0 (car e est l’élément neutre) = (x00? x)? x0 (d’aprés (6.3))
=x00?(x ? x0) (car ? est associative) =x00? e (d’aprés (6.3))
=x00.
• Montrons que si x et y symétrisables, alors x ? y est symétrisable et son symétrique est y0? x0 . On
suppose que x et y symétrisables et x0 et y0 leurs symétriques respectifs pour la loi ?. On a alors,
On va calculer maintenant(x ? y)?(y0? x0).
(x ? y)?(y0? x0) =x ?(y ? y0)? x0 (car ? est associative) =x ? e ? x0 (d’aprés (6.4))
=x ? x0=e.
De la même manière on peut veréfier que (y0? x0)?(x ? y) =e.
6.2.2
Élément absorbant, Élément simplifiable
Définition 6.2.5 :Soient ? une loi de composition interne sur un ensemble E non vide et a un élément de E.
I a est élément absorbantpour la loi ? si et seulement si ∀x ∈ E; a ? x=x ? a=a.
I z ∈ E est simplifiable à gauchepour la loi ? si et seulement si ∀(x, y)∈ E2; z ? x=z ? y=⇒ x=y.
I z ∈ E est simplifiable à droite pour la loi ? si et seulement si ∀(x, y)∈ E2; x ? z=y ? z=⇒ x=y.
I z ∈ E est simplifiable pour la loi ? si et seulement si z est simplifiable à gaucheet à droite pour la loi ?.
Exemples 6.2.6 :
∗ 0 est un élément absorbant pour la multiplication dans N, Z, Q, R et C. ∗ E est un élément absorbant pour la réunion dansP(E).
∗ φ est un élément absorbant pour l’intersection dans P(E).
⊗ Tout élément de N, Z, Q, R, C est simplifiable pour l’addition.
⊗ Tout élément de N∗, Q∗, R∗, C∗ est simplifiable pour la multiplication.
⊗ Toute application injective de A(E, E)est simplifiable à droite pour la loi de composition.
⊗ Toute application surjective de A(E, E) est simplifiable à gauche pour la loi de composition.
⊗ Toute application bejective de A(E, E)est simplifiable pour la loi de composition.
Proposition 6.2.7 :
Soient ? une loi de composition interne sur un ensemble E non vide, associative et admet un élément neutre. Tout élément de E symétrisable est simplifiable.
Preuve :
On suppose que ? une loi de composition interne sur E, associative, e est l’élément neutre et x ∈ E symétrisable son symétrique est x0.
Pour tous y, z ∈ E on a :
Donc x est un élément simplifiable à gauche et de même on obtient x simplifiable à droite.
6.2.3
Structures produits
6.2.4
Structure sur E × F
Définition 6.2.8 :
Soient (E,∆) et (F , ⊥) deux ensembles structurés.
On définit une loi de composition interne notée ? sur E × F par :
∀(x, y),(x0, y0)∈ E × F ; (x, y)?(x0, y0) = (x∆x0, y⊥y0)
Cette loi ? est appelé loi produit sur E × F .
Exemple 6.2.9 :
La loi produit ? des structures(Z,+) et(R, ×)définie surZ × R par : (x, y)?(x0, y0) = (x+x0, y × y0)est une loi de composition interme surZ × R
Proposition 6.2.10 :
Soit ? une loi produit des structures (E,∆) et (F , ∇).
Si (E,∆)et (F , ∇)sont des structures algebriques commutatifs (resp. des structures algebriques associatifs) de neutre e et e0 alors (E × F , ?) est un structure algebrique commutatif (resp. des structures algebriques associatifs) d’élément neutre `= (e; e0).
De plus, un élément(x, y)de E × F est symétrisable si, et seulement si, x est symétrisable pour la loi ∆ et y est symétrisable pour la loi ∇ et on a alors sym((x; y)) = (sym(x); sym(y)).
Preuve :
Soient (x, y),(x0, y0),(x00, y00)∈ E × F et e et e0 sont neutres pour les lois ∆ et ∇ sur E et F . ⊕ Montrons que ? est commutative sur E × F .
On suppose que∆ et ∇ sont commutatives sur E et F respectivement.
(x, y)?(x0, y0) = (x∆x0, y∇y0) (par définition de la loi ? sur E × F
= (x0∆x, y0∇y) (par commutativité des lois ∆ et ∇ sur E et F
= (x0, y0)?(x, y) (par définition de la loi ? sur E × F . Ainsi la loi ? est commutative sur E × F .
On suppose que∆ et ∇ sont associatives sur E et F respectivement.
((x, y)?(x0, y0))?(x00, y00) = (x∆x0, y∇y0)?(x00, y00) (par définition de la loi ? sur E × F
= ((x∆x0)∆x00,(y∇y0)∇y00) (par définition de la loi ? sur E × F
= (x∆(x0∆x00), y∇(y0∇y00)) (par associativité des lois ∆ et ∇ sur E et F
= (x, y)?((x0∆x00, y0∇y00)) = (x, y)?((x0, y0)?(x00, y00)). Ce qui montre que la loi ? est associative sur E × F .
⊕ Montrons que l’élément `= (e; e0) est un élément neutre pour la loi ? sur E × F . On a :
(x, y)?(e, e0) = (x∆e, y∇e0) (par définition de la loi ? sur E × F
= (e∆x, e0∇y) (car e et e0 sont neutres à droite et à gauche pour les lois ∆ et ∇ sur E et F
= (x, y).
Donc, `= (e; e0) est l’élément neutre pour la loi ? sur E × F .
⊕ Montrons maintenant que ((x, y)symétrisable dans E × F ) ⇐⇒ ( x et y sont symétrisables pour les lois ∆ et ∇respectivement).
Soit (x0, y0) le symétrique de l’élément(x, y) pour la loi ? sur E × F . On a :
(x, y)?(x0, y0) = (e, e0) ⇐⇒(x∆x0, y∇y0) = (e, e0) (par définition de la loi ? sur E × F ⇐⇒(x∆x0 =e) et (y∇y0=e0).
De même on a aussi :
(x0, y0)?(x, y) = (e, e0) ⇐⇒(x0∆x, y0∇y) = (e, e0) (par définition de la loi ? sur E × F ⇐⇒(x0∆x=e) et (y0∇y=e0).
Ceci entraine, x0 est le symétrique de x et y0 est le symétrique de y pour les lois ∆ et ∇respectivement. C’est-à-dire x et y symétrisables.
Inversement, soient(x, y)∈ E × F avec x et y symétrisables.
On suppose que x0 est le symétrique de x et y0 est le symétrique de y pour les lois∆ et ∇respectivement. Montrons que(x, y) est symétrisable.
x∆x0 = x0∆x = e et y∇y0 = y0∇y = e0 car x et y symétrisables. Alors (x∆x0, y∇y0) = (e, e0) et
(x0∆x, y0∇y) = (e, e0). Par définition de la loi ? sur E × F , on a :(x, y)?(x0, y0) = (e, e0)et(x0, y0)?(x, y) = (e, e0). Cela signifier que (x0, y0)est le symétrique de (x, y) pour la loi ? sur E × F .
6.2.5
Structure sur E
nDéfinition 6.2.11 :
Soient (E, ?) un ensemble structuré et n un nombre naturel non nul. La loi produit, encore notée ?, sur En est définie par :
∀(x1, x2, ..., xn),(y1, y2, ..., yn)∈ En; (x1, x2, ..., xn)?(y1, y2, ..., yn) = (x1? y1, x2? y2, ..., xn? yn).
Exemples 6.2.12 :
La loi de composition interne × sur R2 est definie par :
∀(x, y),(x0, y0)∈R2; (x, y)×(x0, y0) = (x × x0, y × y0).
La loi de composition interne+ sur R3 est definie par :
∀(x, y, z),(x0, y0, z0)∈R2; (x, y, z) + (x0, y0, z0) = (x+x0, y+y0, z+z0).
Proposition 6.2.13 :
Si (E, ?) est un ensemble structuré commutatif (resp. un ensemble structuré associatif) d’élément neutre e et n un nombre naturel non nul, alors (En, ?) est un ensemble structuré (resp. un ensemble structuré commutatif) d’élément neutre `= (e, e, ..., e). De plus, l’élément(x1, x2, ..., xn)de En est symétrisable dans Ensi, et seulement si, chaque xi avec i=1, 2, ..., n l’est aussi dans E, et alors le symétrique de(x1, x2, ..., xn) dans En est(sym. de x1, sym. de x2, ..., sym. de xn).
Preuve : Nous répétons la même preuve de la Proposition 6.2.10 avec les tiplets de n composontes.