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97 Annexe 11 : Analyse didactique des séances
Description code couleur vert : élèves
violet : procédures / stratégies jaune : interactions
bleu : établissement d’une règle
1ère séance : jeudi 1er octobre 2020
2…..7….. : 4 = (il ne doit pas y avoir de reste)
Nombre élèves : 13 élèves
Durée : 35 minutes (10 min intro, 25 min recherche)
Je contextualise la tâche en expliquant à mes élèves que c’est dans le cadre de mon mémoire à l’université et que je vais regarder comment ils réagissent et interagissent face à un exercice « différent » de ceux dont ils ont plus l’habitude. Ils ont peur que ce soit leurs connaissances qui soient évaluées et ont de la difficulté avec le fait qu’il n’y a pas de juste ou de faux. Je leur explique la tâche en leur demandant un exemple.
Suite à cela, ils se lancent seuls dans l’activité. J’ai précisé précédemment que ce sera moi qui passerai dans les rangs pour les interroger. Je lance un minuteur de 25 minutes.
Même pas 30 secondes après avoir débuté, l’élève 14 crie à travers la classe « Laura, j’ai trouvé la technique, viens voir ». Sa technique est de commencer par écrire tous les calculs possibles en gardant 0 comme chiffre des centaines et ensuite de modifier le chiffre de l’unité en allant de 0 à 9. Et ensuite, de noter 1 comme chiffre des centaines… L’élève 14 note les 30 premiers calculs et les résout par la suite.
L’élève 1 trouve une possibilité qui répond aux critères de la tâche et dit « j’ai fini », je vais vers lui et lui demande comment il a trouvé cette possibilité. Il m’explique qu’il a fait « au bol » sur sa calculatrice et lui demande comment il fait pour se souvenir des calculs déjà faits. Je lui demande s’il y a une seule solution. Il me dit qu’il va recommencer et continuer de chercher. Plus tard, il décide de faire un calcul et ensuite d’échanger leur chiffre des unités et des centaines. Il note tous les calculs et met une X si ça ne répond pas aux critères de la consigne et un √ si ça correspond aux critères.
En revenant vers lui plus tard, il m’explique sa nouvelle technique qui est de classer les calculs par leur chiffre des centaines.
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L’élève 9 dit que pour trouver le bon résultat, il change les nombres pour se rapprocher du nombre. Il essaie avec 2060 et 2080. Par la suite, il modifie sa méthode et fait par ordre croissant. Il note le calcul et après le résout.
L’élève 7 enchaîne les calculs sur sa calculatrice et en trouve un. Mais il ne se souvient plus du nombre qu’il a mis. Je le questionne sur le fait de savoir ce qu’il a déjà fait et il m’informe qu’il ne sait pas et qu’il « essaie ».
L’élève 13 a recours à la même méthode que l’élève 14 et inscrit les calculs un par un et les résout. Je lui demande ce qu’il remarque et il me dit que les nombres qui fonctionne sont des nombres pairs. Je lui demande ce que c’est un nombre pair, sa réponse est 0,2,4,6,8 et je lui montre que 2272 ça marche mais qu’il y a un 7. Un peu perplexe, il finit par me dire qu’il faut que le nombre termine par un chiffre pair pour être un nombre pair.
Lorsque je passe vers l’élève 6, il me dit ça marche quand ça termine par 2 et qu’il allait chercher pourquoi.
L’élève 4 fait d’abord des essais « au bol » sur sa calculatrice. Puis il me dit qu’il faut qu’il trouve une « technique » pour pas se perdre. Il décide alors de changer uniquement le nombre des unités et de faire tous les calculs qui commencent par 277… .
Lorsque le temps est terminé, ils ne veulent pas s’arrêter et sont très enthousiastes.
2e séance : 8 octobre 2020
2…..7….. : 4 = (il ne doit pas y avoir de reste)
Nombre élèves : 13 élèves Durée : 20 minutes (recherche)
Après un bref rappel du contexte, tous les élèves se sont rapidement remis dans la tâche.
Pour cette deuxième séance, je leur ai demandé de prendre un couleur de crayon de leur choix pour différencier les séances.
L’élève 5 m’explique qu’il utilise les mêmes « numéros ». C’est-à-dire qu’il effectue les calculs en choisissant le même chiffre pour les centaines et pour les unités (exemple : 2070, 2171…). Il met ensuite une croix à côté de ceux qui « marchent ».
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En passant auprès de l’élève 6, ce dernier me dit qu’il ne trouve plus de réponse. Il sait que 2470 ne fonctionne pas et que donc tous les nombres terminant par 0 ne fonctionneront pas. Il m’explique ça fonctionne quand cela termine par 2 car c’est des nombres pairs. Je lui montre 2470 et lui demande si c’est un nombre pair et il m’affirme que oui. Il m’explique qu’il doit y avoir un piège et qu’il va trouver.
Après avoir effectué beaucoup de calculs avec différentes méthodes, l’élève 13 décide de vérifier ses calculs. Il commence par regarder s’il a dix nombres avec la même centaine. Il écrit une coche d’une couleur à côté de chaque nombre vérifié. S’il lui manque un nombre, il le note à la fin et effectue le calcul par la suite. Plus tard, il me dit qu’il remarque que c’est toujours 0,25 de plus. Je lui demande pourquoi et il m’explique que ça doit avoir un lien avec les nombres choisis.
L’élève 10 effectue les calculs « au hasard » et les classe dans deux colonnes : les résultats avec virgule et les résultats sans virgule.
L’élève 1 me fait remarquer qu’il y a un résultat sans virgule tous les 4 nombres. Il m’informe qu’il essaie de trouver pourquoi.
Après différents essais selon différentes méthodes, l’élève 11 remarque que les nombres terminant par 72 et 76 donnent des nombres entiers. Il me dit que c’est parce que c’est des nombres pairs et que c’est divisé par 4 un nombre pair aussi. Je lui montre 2074 et lui demande si c’est un nombre pair ou impair. Il me dit pair mais « ça ne fonctionne pas ». Il essaie de trouver pourquoi.
A la fin de cette séance, plusieurs élèves sont partis dans différentes directions et ont de nouvelles recherches à effectuer.
3e séance : 27 octobre 2020
2…..7….. : 4 = (il ne doit pas y avoir de reste)
Nombre élèves : 13 élèves Durée : 25 minutes (recherche)
L’élève 3 m’explique qu’il regarde ce qu’il a mis et qu’il complète ce qui manque. Par exemple, il prend 2377 et ensuite complète lorsqu’il n’a pas « mis tous les chiffres pour le deuxième chiffre (les centaines-elle me montre) ». Pour le moment, il remarque qu’il y a plus de chance pour qu’il n’y ait pas de reste lorsque c’est un nombre pair, nombre qui termine par 0,2,4,6,8. Je lui demande pourquoi et il me dit que c’est parce que 4 est un chiffre pair. Je lui demande si lorsqu’on divise avec un nombre pair cela fonctionne. Il m’affirme que oui. Je lui demande de vérifier. Son premier essai est 2772
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: 2 = 1386 cela fonctionne, puis elle essaie 2772 : 6 = 462 puis 2772 : 8 = 346,5, cela ne « fonctionne pas, il y une virgule ». Je lui demande si 8 est un nombre pair. Il me dit que non et qu’il va chercher une autre raison.
L’élève 4 me dit qu’il est perdu, qu’il ne sait plus quoi chercher. Il cherche au hasard, mais qu’il regarde le nombre des dizaines et qu’il le change. Pour le moment, il n’a rien remarqué de spécial.
L’élève 12 se souvient dans sa tête des calculs effectués et qu’il procède uniquement par essai-erreur.
L’élève 5 change les « numéros » au sein du même nombre. Il veut effectuer tous les calculs pour être certaine d’avoir effectué tous les calculs.
L’élève 7 me certifie ne pas avoir de technique prédéfinie. Il fait des essais. Il me demande ce qu’il doit écrire. Je lui rappelle qu’il peut tout noter sur sa feuille, qu’il n’y a pas de juste ou de faux. Nous faisons un calcul ensemble (2771 : 4 = 692,75), car il semble être bloquée par les nombres décimaux. Je lui demande si ce calcul répond à la consigne, il me dit « non, car il y a des chiffres après la virgule ». Il décide quand même de noter ce calcul pour s’en souvenir. Cela semble la débloquer et il commence à noter tous les calculs qu’il effectue.
En passant vers l’élève 13, il me dit qu’il ne fait plus les calculs car il a remarqué qu’«
à chaque fois, cela fait plus 0,25 ». Je lui demande ce que cela signifie et il me dit que lorsque « le nombre augmente de 1, le résultat augmente de 0,25 ». Il décide d’organiser tous ses calculs afin de pouvoir trouver une raison. Il fait une colonne par centaine : exemple la colonne 2070, la colonne 2170…
L’élève 10 m’informe qu’il a trouvé « une technique ». Il faut qu’il y ait le plus de chiffre impair dans le nombre pour que le résultat n’ait pas de virgule. Par exemple, cela fonctionne avec 2574 car il y a deux chiffres impairs. Je lui demande alors avec 2473 car il y a aussi deux chiffres impairs. Cela donne un résultat à virgule. Il modifie ses propos en disant qu’il faut deux nombres impairs mais le dernier doit être pair. Nous regardons alors 2978 : 4 = 744,5. « Mince, ma technique ne marche pas, je vais en chercher une autre ».
L’élève 9 me dit que ça marche parce que cela finit par 2 et 6. Il vérifie tous les calculs pour être certain. Je lui demande la raison, il me dit car le chiffre avant est impair (dizaine) donc ça fonctionne. Je lui demande donc si on change les centaines et milliers si « sa technique fonctionne toujours ». Il en vérifie un et cela fonctionne. Il me dit qu’il va continuer sa recherche.
L’élève 1 a effectué beaucoup de calculs, il me dit les avoir tous trouvés car il les a classés en colonne « par famille du deuxième nombre (centaine) ». Je lui demande ce qu’il observe dans ces groupes, il me dit que cela fait « plus 0,25 à chaque fois ». Je lui demande pourquoi, il me dit que cela doit avoir un lien car c’est tous les 4 qu’il y a un nombre sans virgule. Je lui demande le lien avec le résultat qui augmente de 0,25 à chaque fois. Il me dit que 25 x 4 = 100. Nous devons arrêter la séance ici.
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4e séance : 16 novembre 2020
2…..7….. : 4 = (il ne doit pas y avoir de reste)
Nombre élèves : 13 élèves Durée : 20 minutes (recherche)
L’élève 7 a une nouvelle organisation, il met le même chiffre pour la centaine et pour l’unité (2070, 2171..). Il inscrit ensuite le calcul et le résout. Lorsqu’il a fait ces différents calculs, il change uniquement le nombre des unités. Il remarque que « tous les résultats qui fonctionnent augmentent de 1 » (593,594,618,619). Je lui demande pourquoi et il me dit que c’est « les nombres qui terminent par 2 ou 6 donnent un résultat sans virgule ». Il ne comprend pas encore pourquoi mais veut chercher.
L’élève 14 me dit que « lorsque le résultat donne …,75, le suivant marche ». Les résultats augmentent toujours de 0,25 (0,25 ; 0,5 ; 0,75 ; 1..). Il remarque aussi que dès qu’on « passe à la centaine suivante, il y a deux fois le résultat qui termine par 0,75 ». Par exemple, 2179 : 4 = 544,75 et 2271 : 4 = 567,75 (n’utilise par le 0, oubli ?, choix ?) Je lui demande la raison, il me dit que 25 est le quart de 100 et que 1 est le quart de 4. Je lui demande d’éclaircir ce résonnement. Il me dit qu’il a doit chercher mais qu’« il y un lien ».
L’élève 13 établit une règle : « cela doit finir par 2 ou 6 » et « cela augmente toujours de 0,25 ». Il me dit que c’est valable dès que nous divisons par 4, si le nombre termine par 2 ou 6 cela fonctionne car «1 : 4 = 0,25 ». Je lui propose alors d’essayer en changeant le nombre des dizaines mais en gardant 2 ou 6 pour les unités. Il essaie avec 2786 : 4 = 696,5. Cela ne fonctionne pas, il me dit oui mais il faut garder le 7 aussi. Il essaie en changeant les nombres des centaines et des milliers, 8976 : 4 = 2244. Je le laisse continuer sa recherche.
L’élève 1 relève que « le résultat termine par 3,4,8 ou 9 ». Je lui demande pourquoi, il me dit « car les nombres qui donnent ces résultats terminent par 2 ou 6 ».
L’élève 12 n’arrive pas à continuer sa recherche, il note uniquement les résultats qui fonctionnent et se souvient « de tête » des autres résultats. Il a trouvé 4 « calculs qui marchent ».
L’élève 9 continue sa recherche en vérifiant le nombre des dizaines. Il m’affirme que cela fonctionne quand le nombre des dizaines est impair et celui des unités qu’il termine par 2 ou 6.
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5e séance : mise en commun : mardi 8 décembre 2020
2…..7….. : 4 = (il ne doit pas y avoir de reste)
Par groupe de 4 ou 5 élèves : 18 minutes Discussion collective (13 élèves) : 15 minutes
1) Elève 3, 6, 11, 12 et 13
L’élève 12 « il faut qu’il y ait un 2 ou un 6 à la fin ». Le groupe remarque le cela augmente de +0,25 lorsque les nombres se suivent (2170,2171,2172…). Cela fonctionne car c’est divisé par un nombre pair, 4. Ils essaient alors de diviser avec différents nombres pairs : 2172 : 2 ok, 2172 : 4 ok, 2172 : 6 ok, 2172 : 8 non
Lorsque je repasse vers eux, ils décident que cela doit terminer par 2 ou 6 mais les autres nombres c’est égal. Ils essaient avec 25722 : 4 non, 25712 oui, 25732 oui, ils continuent leurs essais.
3 x 2 = 6 et 25 X 4 = 100 essaient de découvrir le rappor
2) Elèves 2, 7, 10 et 14
Au départ, l’élève 14 expose sa technique « cela fonctionne tous les trois ou tous les quatre si on change de centaine. » Je leur demande alors de me faire la liste de ceux qui fonctionne selon eux.
Par la suite, ils se rendent compte que « le dernier chiffre doit être un 2 ou un 6 ». Ils essaient de faire des comparaisons avec le nombre de 4 qui a un lien entre tous les 4 il y a un nombre sans virgule.
103 3) Elève 1, 4, 5 et 9
Après avoir mis en commun leur stratégies, directement, ce groupe me dit « ça fonctionne quand le nombre termine par 2 ou par 6 et c’est égal ce qu’il y a avant. » Je leur demande pourquoi et ils me répondent que « c’est divisé par 4 alors il y a un nombre sans virgule tous les 4 nombres. » Je leur demande ce qui se passe si à la place du 7 des dizaines, on met 4. Ils me répondent directement « ça fonctionnera si ça termine par 2 ou 6 ». Ils essaient avec 2742 : 4 = 685,5 cela ne fonctionne pas.
Ils cherchent donc une règle qui finit par être la suivant le 1er et 2ème nombre (millier et centaine) doivent être pair ou impair. Cependant, le 3ème nombre (dizaine) doit être impair et le chiffre des unités doit être 2 ou 6.
Cela est applicable avec un nombre beaucoup plus grand comme 896372 : 4 = 224093.