B. Calcul de la déformation de la brosse
5. Réactions de contact entre fils
a) Principe
La p o du e utilis e o siste à se fi e u œud " f e e" puis à pa ou i tous ses voisi s, les œuds " i les". Pou ha ue pai e de œuds f e e et i le, o al ule e u'o appelle l'i te f e e, ’est-à-di e ue l'o va v ifie la dista e e t e les deu œuds, comme montré sur la Figure 323. Si cette distance est inférieure à la somme des rayons (les fils
s'entrecroisent), il y a contact et il faut alors corriger la réaction de contact correspondante. Le contact entre fils modélisé de cette manière est un contact entre cylindres parfaits qui est donc linéique. Ce contact idéal est très éloigné de ce qui se produit dans la réalité où le contact entre deux fils se résumera plutôt à une série de contacts ponctuels au niveau des rugosités (Figure 33). Pour prendre en compte la rugosité des fils de manière simple, un paramètre appelé "rugosité artificielle" est introduit. Il permet de considérer que le contact a lieu non pas quand les fils se touchent sur leur surface mais à une distance légèrement supérieure. On aura alors:
= + (28)
3 La Figure 32 est représenté dans le repère local lié aux fils ⃗, ⃗, ⃗ , contrairement à la Figure 31 qui est représentée dans le repère global ⃗, ⃗⃗, ⃗ .
29
Figure 32: Méthode de détection du contact: Explication simplifiée
Figure 33: Prise en compte de la rugosité des fils pour la définition du contact
Par souci de simplification, des indices seront utilisés dans tout ce qui suit. Pour désigner les fils, on utilisera les indices:
- "ref" pour le fil "référence", ce qui correspond au fil ,
- "cib" pour le fil "cible", ce qui correspond au fil , avec lequel le fil "référence" interagit.
De la même a i e, o d sig e a les œuds au o e des es i di es "ref" et "cib"
b) Recherche des nœuds voisins et périodicité
Le fil référence est défini par ses indices , . On obtient les fils cibles associés grâce à:
{ = + , = + , − ,− , (29)
Si dépasse des limites du domaine ( < ou > ), on applique alors la condition de périodicité (30) représentée sur la Figure 34.
30 = { + ++ − >< (30)
Figure 34: Conditions de périodicité, pour un cas où Imax = 3
Par ailleurs, on calcule un paramètre de périodicité associé à chaque couple de fils référence / cible, pour stocker l'information nécessaire à l'identification rapide du fil cible.
= {− + < + > , − , (31)
Figure 35: largeur de la cellule périodique
Enfin, est la largeur de la cellule périodique dans le repère global (Figure 35):
=( ��� �+ ) (32)
On peut résumer la recherche de fils voisins grâce à la Figure 36. Sur cette figure, le fil référence est en vert hachuré et ses voisins sont représentés en orange quadrillé. En raison du
31 positionnement du fil référence, certains de ses voisins ont dû être obtenus par périodicité (en orange quadrillé et pointillés).
Figure 36: Recherche des fils voisins
c) Calcul des interférences et détection du contact
Une fois que les voisins du fil référence ont été trouvés, l'étape suivante est de déterminer s'il existe des interférences entre eux. Pour ce faire, chacun des 8 fils voisins sera passé en revue. Chacun des œuds des fils f e e et i les se o t i spe t s; o esti e ue le è œud d'un fil référence ne peut interagir qu'avec le è œud d'u fil i le. O pose alo s deu vecteurs:
⃗⃗ → = ( − + ) ⃗ + ( − )⃗⃗ + ( − ) ⃗ (33)
⃗⃗⃗⃗ → = ( − + ) ⃗ + ( − )⃗⃗ (34)
Etant donné que tout le développement est réalisé sous l'hypothèse des petites déformations et que de plus les fils références et cibles étudiés sont proches (ce sont des fils voisins), il est possible de montrer que ces deux vecteurs deviennent alors très peu différents l'un de l'autre. Pour ce faire, on étudie deux cas limites simples.
32
Figure 37: Déformation de deux fils dans le plan YZ
Cas 1: Déformation de deux fils voisins dans le plan YZ
Dans le plan YZ (Figure 37, deu œuds k su des fils voisi s este t su le e pla = avant et après déformation (par application directe des hypothèses de la théorie linéaire des poutres). On aura donc:
⃗⃗ → = ⃗⃗⃗⃗ → (35)
Cas 2: Déformation de 2 fils dans le plan XZ
Dans le plan XZ (Figure 38), étant donné que les fils sont inclinés d'un angle � par rapport à l'axe ⃗, deu œuds k su des fils voisi s e este t plus su le e pla = avant et après déformation (Figure 38). Cependant, et ce pour simplifier les calculs, nous allons faire l'hypothèse que les kème œuds de ha u des fils se o t à des altitudes ) proches après
d fo atio . Aut e e t dit, ous faiso s l'h poth se u'ap s d fo atio les œuds appartiennent à un plan = .
On peut alors écrire:
≈ (36)
et:
⃗⃗ → ≈ ⃗⃗⃗⃗ → (37)
Toute déformation ayant lieu dans la brosse sera une combinaison de ces deux cas limites, et étant donné l'hypothèse adoptée plus haut, on peut écrire que pour deux fils voisins ⃗⃗ → ≈
33 ⃗⃗⃗⃗ → . Cette précision apportée, il est désormais possible de définir l'interférence entre deux fils au niveau de leurs kème œuds espe tive e t œud f e e et œud i le . Elle doit t e
al ul e selo la o ale au fil au iveau du œud f e e a 'est selon elle que l'effort correspondant sera calculé. Pour ce faire, il est plus simple de calculer l'interférence le long du vecteur ⃗⃗⃗⃗ → (notée ⃗⃗⃗⃗) puis de la projeter sur la normale au fil (interférence notée → ).
On définit de plus l'angle , → tel que représenté sur la Figure 39.
⃗⃗⃗ ∙ ⃗⃗ = |⃗⃗⃗ ||⃗⃗ |��� , → + (38)
Figure 38: Déformation de deux fils dans le plan XZ
34 L'interférence entre les deux fils dans le plan Z o te a t les deu œuds f e e et cible se calcule comme suit (Figure 40):
⃗⃗⃗⃗= + − | ⃗⃗⃗⃗ → | (39)
où et sont les distances entre le centre et surface des sections elliptiques des fils référence et cible (respectivement). Les distances et se calculent à partir de l'équation polaire d'une ellipse:
=
√ + − ��� →
(40)
avec:
- (resp. ): demi grand-axe des ellipses des sections des fils référence et cible, respectivement
- (resp. : demi petit-axe des ellipses des sections des fils référence et cible, respectivement
- → (resp. → ): angle entre le demi-grand axe de l'ellipse référence (resp. cible) et la droite liant les centres des deux ellipses.
Ces différents paramètres sont calculés comme suit (voir équation (27) et Figure 31 pour la définition de ): = ��� (41) = (42) → = → − (43) ��� → = ⃗⃗⃗⃗ → ⃗ |⃗⃗⃗⃗ → | (44) De même (Figure 41): ⃗⃗ → = ( − + ) ⃗ + ( − )⃗⃗ + ( − ) ⃗ (45) ⃗⃗⃗⃗ → = ( − + ) ⃗ + ( − )⃗⃗ (46) = √ + − ��� → (47) Avec:
35 = ��� (48) = (49) → = → − (50) ��� → = ⃗⃗⃗⃗ → ⃗ |⃗⃗⃗⃗ → | (51)
36
Figure 41: Calcul de
37 Pour pouvoir être utilisée pour en déduire la réaction appliquée par le fil cible sur le fil référence, l'interférence ⃗⃗⃗⃗ doit être projetée sur la normale au fil référence dans le plan du contact défini par les deux lignes neutres des deux fils (car les efforts seront calculés selon cette normale, Figure 42). On obtient ainsi l'interférence → .
→ = ⃗⃗⃗⃗��� , →
= + − | → | ��� , →
(52)
d) Calcul de l'effort de contact
Comme expliqué plus haut (voir paragraphe II.B.4), le calcul des efforts de contact peut se résumer comme suit: imposer aux fils qui s'entrecroisent une flèche permettant d'éliminer cet entrecroisement. Pour expliciter cette méthode, on se place dans le cas ou deux fils sont en interférence (Figure 43).
Figure 43: Cas typique de fils en interférence - vue de dessus. A gauche, situation initiale. A droite, situation après application des efforts de contact.
Il faut déterminer les efforts ⃗ → et ⃗ → qui vont permettre de déplacer chaque fil de la moitié de l'interférence r − i selon le vecteur ⃗ → liant les centres des fils. Autrement dit, il faut pouvoir calculer la réaction nécessaire pour engendrer un déplacement donné dans une poutre en flexion. On peut démontrer que pour faire se déplacer un point ( ) d'une poutre d'une flèche donnée, il faut lui appliquer un effort donné par:
= � (53)
où � est un élément du tenseur de déformations donné par l'équation (23). En appliquant cette équation au cas de la Figure 43, on peut déterminer que les réactions à appliquer aux fils s'écrivent comme suit:
38 ⃗ → = −⃗ → = → � ⃗ → |⃗ → | (54)
On oriente les réactions le long du vecteur ⃗ → de manière à éloigner les deux fils l'un de l'autre (pour annuler leur interférence). ⃗ → est le vecteur liant le fil référence et le fil cible dans le repère local ⃗, ⃗ :
⃗ → = ( − + ) ⃗ + ( − ) ⃗ (55)
Au cours du calcul, les réactions entre les fils seront corrigées itérativement comme suit:
⃗⃗ →, = ⃗⃗
→, + ⃗ → (56)
e) Choix de la réaction à corriger
Chaque correction calculée permet de déplacer les 2 fils concernés d'une distance suffisante pour qu'ils ne soient plus en interférence. Si toutes les corrections calculées sont prises en compte, alors les fils vont se déplacer d'une distance correspondant à la combinaison de tous ces efforts et le calcul va diverger très rapidement. Il est donc nécessaire de choisir à chaque itération une réaction que l'on va conserver.
La condition choisie pour déterminer quelle est la réaction à conserver est celle qui correspond à la plus grande interférence au sei de la osse. Pou tous les œuds pou les uels la condition n'est pas respectée, on rétablit la valeur de la réaction à sa valeur antérieure:
⃗⃗ →, = ⃗⃗
→, (57)
f) Réaction totale en chaque nœud
Pour finir, la somme des réactions en provenance de tous les voisins est calculée en chaque œud:
⃗⃗ = ∑ ⃗⃗ →,
(58)
C'est ette a tio totale ui e t e da s le ila des effo ts appli u s su ha ue œud uatio (19) du paragraphe II.B.4.a)).