Queue épaisse

Dans la théorie classique, les changements de prix des titres suivent une marche au hasard. C’est-à-dire, les rendements des cours de bourses sont distribués selon une loi

normale de moyenne nulle et de variance

σ

2. Autrement dit, les évolutions des prix sont

indépendantes des prix passés. On ne peut prévoir les prix futurs parce qu’ils sont to-talement aléatoires. En économétrie, une variété de moyens permet de voir si c’est une distribution normale. Le test Jarque-Bera qui utilise uniquement l’asymétrie et le

Kurto-sis, est le plus utilisé. On prend un estimateur non biaisé pour la loi normale du Kurtosis

normalisé comme plusieurs logiciels de statistiques (SAS, Excel, LibreOffice Calc, etc). La valeur de Kurtosis est calculée comme suit :

K = _{(T − 1)(T − 2)(T − 3) ∗}^{T(T + 1) μ}_σ

⁴₄

− 3 ∗ _{(T − 2)(T − 3)}^{(T − 1)}

² (3.1)

où

μ

4 est le quatrième moment central et

σ

est l’écart type. On prend T comme

nombre de périodes, parce que N correspond au nombre d’agents dans notre modèle. Si le rendement suit une distribution normale, la valeur de Kurtosis doit être nulle. Pour-tant, un grand nombre de faits montre que, sur le marché financier réel, la valeur de

Kurtosis est toujours supérieure à

0

. La courbe de répartition du rendement est une

ca-ractéristique de la queue épaisse. C’est-à-dire, les probabilités du rendement élevé et du rendement faible sont supérieures à celles de la loi normale. Jondeau et Rockinger (2003) ont trouvé que, dans un marché financier mature, la queue de gauche était plus lourde que celle de droite. Gray et French (1990) ont discuté la distribution de puis-sance exponentielle, laquelle a un pic et une queue épaisse ; la queue étant réduite à un taux exponentiel, il est possible de donner un bon ajustement du rendement.

3.2.1 Les données

L’ensemble des données que nous allons analyser dans cet article est l’indice des prix

de clôture quotidien du marché boursier français CAC 40. Avec

30

ans d’historique et

environ

247

jours d’ouverture par an, il existe

7410

fluctuations, du 31 décembre 1987

(jour de lancement sur une base de

1000

points) au 31 mars 2017. On définit

P

𝑡comme

l’indice du prix du CAC 40 au moment t (t=

0

,

1

,

2

...

7410

). Alors le rendement

R

𝑡 est :

R

_𝑡

= LN( P

𝑡

P

_𝑡−1

⁾

^(3.2)

où t = 1,2,...7411. Nous prenons le rendement logarithmique dans cette analyse empirique du rendement des prix du marché financier quotidien, car la caractéristique du rendement logarithmique apporte un certain confort pour le calcul et la modélisation. Il y a quatre avantages : 1) le niveau des log permet de lisser la série, mais il ne change pas la relation entre les données. Il affaiblit aussi l’hétéroscédasticité et la colinéarité des données. Il est facile à calculer ; 2) Il est favorable d’observer directement le rendement des actions, car le taux de rendement est un concept d’intérêt composé. Si l’on prend les variables elles mêmes, il est difficile de voir les variations des rendements ; 3) il comporte un avantage d’analyse non seulement latérale mais aussi verticale. En tant qu’intérêt composé, c’est aisé de comparer les indices des deux marchés ou les indices des deux périodes ; 4) toutes les données transformées en log sont positives, ce qui est favorable à la régression linéaire.

Les figures 3.1 et 3.2 présentent les cours historiques et leurs rendements journaliers du CAC 40.

Figure 3.1 : Indice des prix journaliers du CAC 40 31/12/1987-31/03/2017

Figure 3.2 : Rendements des prix journaliers du CAC 40 31/12/1987-31/03/2017

3.2.2 La distribution des rendements du CAC 40

Au cœur de la théorie financière, l’hypothèse est que les rendements journaliers des

actifs suivent une loi normale de moyenne

μ

et d’écart type

σ

. Mais beaucoup de faits

montrent que les distributions de rendements des actifs financiers ont des queues plus épaisses que les distributions normales. Mandelbrot a remarqué pour la première fois ce phénomène en analysant les cours du coton en 1963. Nous allons d’abord vérifier si la courbe de rendement du CAC 40 représente la distribution gaussienne.

La table 3.1 donne des statistiques sommaires pour le rendement

R

_𝑡.

Table 3.1 : Statistiques sommaires pour le rendementR𝑡

data nombre min max moyen ^écart_type asymétrie kurtosis ^gamme_étudiée

R

𝑡 7410 -0.095 0.106 0.0002 0.014 -0.086 4.583 14.6

Dans la table 3.1, on voit clairement que la valeur de Kurtosis est de

4,58

, étant

élevée par rapport à celle sur le Standard & Poor 500, qui est de

25,7

, mais elle montre

quand même un pic. La valeur de la gamme étudiée est de

14,6

, qui est la gamme divisée

par l’écart type. Cette valeur indique que les données de

R

𝑡 illustrent un degré de

dis-persion relativement important. La valeur de Kurtosis et la valeur de la gamme étudiée montrent une caractéristique de la queue épaisse par rapport à une distribution normale. La valeur d’asymétrie est négative, soulignant que la queue de gauche est plus longue et que la valeur de la moyenne est à gauche de la valeur du pic. C’est-à-dire, la conti-nuité du rendement négatif est supérieure à celle du rendement positif. Nous revoyons

la valeur de la moyenne

0,000 22

et celle de la médiane

0,000 42

, étant supérieures

à

0

. Autrement dit, l’échantillon est rentable. La valeur de la moyenne est inférieure à

celle de la médiane ; cela indique aussi que la distribution de rendement a une queue

gauche longue. La valeur du maximum est environ de

0,1

, celle du minimum est environ

de

−0,1

, et la valeur de l’écart type est aussi proche de

0,1

, montrant que le bénéfice

net par action comporte de modestes différences. Toutes ces valeurs sont conformes aux caractéristiques des gains robustes. Nous pouvons affirmer que le CAC 40 est un marché mature. Son rendement a une queue épaisse, mais pas très forte.

A = _{(T − 1)(T − 2) ∗}^{T μ}_σ

³₃ (3.3)

G = 𝑚𝑎𝑥 − 𝑚𝑖𝑛_σ

(3.4)

Ces deux équations montrent comment calculer la valeur d’asymétrie et la valeur de

la gamme étudiée. Le

μ

4 est le quatrième moment central. Le programme 11montre la

façon dont nous avons réalisé les statistiques sommaires pour le rendement

R

_𝑡 en C++.

Quand nous regardons la figure 3.3, nous voyons que l’allure de courbe en cloche est

Figure 3.3 : Distribution du rendement du CAC 40 et distribution normale

trompeuse, parce que les observations du CAC 40 ne sont pas du tout gaussiennes. Bien évidemment, beaucoup de données ne se trouvent pas dans la zone de la loi normale. Le CAC 40 contient de nombreux événements extrêmes (en positif et en négatif). La distribution de ses fluctuations appartient au régime des distributions, appelées à queue épaisse. La queue de la distribution n’est pas négligeable, et des événements extrêmes n’y sont pas improbables.

Dans le document La modélisation de l'indice CAC 40 avec le modèle basé agents (Page 67-71)