Quels moments retenir ?

La table 4.1 rassemble un certain nombre de moments que nous avons calculés en utili-sant le cours journalier de clôture de l’indice CAC 40. Nous utilisons toutes les données disponibles du 31 décembre 1987 (date de création de l’indice) au 22 décembre 2017 (date à laquelle nous avons fixé les données de cette étude). Les rendements sont cal-culés en utilisant la différence des logarithmes. Nous laissons de côté deux difficultés. La première a trait à la valeur moyenne des rendements. En effet, nous n’allons pas chercher à reproduire le rendement moyen de l’indice mais seulement des anomalies relatives à la dispersion des rendements. Il ne nous a pas semblé utile d’introduire dans le modèle des facteurs de croissance en supposant par exemple que le nombre d’agents croît régulièrement au cours du temps. D’autre part, nous nous sommes contentés des rendements nominaux et non des rendements réels. Depuis 1988, l’inflation est particu-lièrement modérée et relativement stable en France ; nous en sommes ainsi restés aux rendements nominaux.

Table 4.1 : Quelques moments statistiques caractérisant les rendements de l’indice boursier français journalier CAC 40

Moment Estimation Moyenne Écart-type Coeff. variation

σ 0,0136 0,0137 0,000 901 0,0660 κ 4,68 4,45 1,18 0,266 ρ1 −0,002 06 −0,004 22 0,0157 −3,73 ρ10 −0,001 61 0,000 336 0,0161 47,8 χ₁ 0,185 0,176 0,0238 0,135 χ10 0,209 0,185 0,0506 0,274

Source : cours journalier de clôture de l’indice CAC 40 du 31 décembre 1987 au 22 dé-cembre 2017, soit7580observations et7579rendements. Les nombres sont tous présentés intentionnellement avec 3 chiffres.

κest le kurtosis normalisé, c’est-à-dire le moment d’ordre 4 des rendements centrés réduits diminué de 3 ;χ_𝑘est l’autocorrélation d’ordre𝑘(en jours) des carrés des rendements. La colonne intitulée « Estimation » donne les moments calculés sur l’ensemble de l’échan-tillon. Les colonnes intitulées « Moyenne », « Écart-type » et « Coeff. variation » donnent les caractéristiques des distributions des estimateurs obtenues par moving block bootstrap en prenant une taille de bloc égale à 250 jours et un nombre de réplications égal à100 000.

L’indice CAC 40 présente bien les deux anomalies qui nous occupent. Le kurtosis, le moment d’ordre 4 de la variable centrée réduite, est habituellement utilisé pour

ca-ractériser la leptokurticité d’une distribution ; c’est-à-dire à la fois une distribution plus « pointue » en sa moyenne que la loi normale et une distribution dont les queues sont plus épaisses que celles de la loi normale. Dans la table 4.1, nous avons porté le kurtosis normalisé dont la valeur, au cas de la loi normale, est égale à 0. L’estimation obtenue est

égale à

4,68

et son écart-type estimé par la méthode du moving block bootstrap est égal

à

1,18

. On voit ainsi que la distribution des rendements est significativement

leptokur-tique mais que le kurtosis n’est toutefois pas estimé très précisément.

Figure 4.8 : Autocorrélations des carrés des rendements de l’indice boursier français journalier CAC 40 en fonction de son ordre

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Ordre (décalage temporel en jours)

Calculs des auteurs à partir des valeurs journalières de l’indice CAC 40.

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25

La seconde anomalie, la volatilité par grappe, peut être mesurée par l’autocorréla-tion des carrés des rendements ; d’aucuns utilisent aussi l’autocorrélal’autocorréla-tion des valeurs

absolues des rendements. Nous avons noté

χ

1l’autocorrélation d’ordre 1 des carrés des

rendements. Cette autocorrélation prend une valeur élevée, égale à

0,185

; cette valeur

en outre est très significativement différente de 0. La volatilité par grappe n’est toutefois pas seulement caractérisée par l’autocorrélation d’ordre 1 des carrés des rendements ; on parle aussi de « mémoire longue » pour évoquer cette volatilité parce que l’on ob-serve la présence d’autocorrélation des carrés des rendements pour des ordres beaucoup plus élevés. Nous avons représenté, à la figure 4.8, l’autocorrélogramme des carrés des rendements. On voit, effectivement, que les autocorrélations ne décroissent que très

len-tement. Dans la table 4.1, la valeur de l’autocorrélation d’ordre 10 (soit au bout de deux

semaines, le marché étant ouvert cinq jours par semaine) est égale à

0,209

; elle est donc

supérieure à l’autocorrélation d’ordre 1 mais elle est estimée moins précisément.

Enfin, les autocorrélations des rendements sont bien toutes nulles : les estimations

de

ρ

1et de

ρ

10(les autocorrélations d’ordre 1 et 10 des rendements) ne sont pas

statisti-quement différentes de 0. Le CAC 40 suit donc bien une marche au hasard mais dans une version faible puisque la distribution du bruit blanc n’est pas normale et que le processus n’est pas stationnaire au deuxième ordre.

La méthode du moving block bootstrap met aussi en évidence que les moments ne sont pas tous estimés avec la même précision. Il apparaît notamment que les moments qui permettent de caractériser les anomalies ne sont pas estimés très précisément. Bien sûr, l’ordre de grandeur des moments peut être très différent et il convient ainsi de ne pas se contenter de l’examen de l’écart-type estimé. C’est pour cette raison que nous avons porté dans la table 4.1 une dernière colonne pour donner le coefficient de variation, c’est-à-dire l’écart-type divisé par la moyenne. Cette quantité est toutefois inappropriée

pour

ρ

1 et

ρ

10 qui sont logiquement nuls. On voit que le coefficient de variation pour

̂σ

(l’estimateur de l’écart-type des rendements) est quatre fois plus faible que le coefficient

pour

̂κ

(l’estimateur du kurtosis des rendements). La précision relative de

̂χ

₁₀

(l’estima-teur de l’autocorrélation d’ordre 10 des carrés des rendements) est comparable à celle

de

̂κ

.

Table 4.2 : Matrice de corrélation des estimateurs des moments des rendements

̂σ ̂κ ̂ρ₁ ̂ρ₁₀ ̂χ₁ ̂χ₁₀ ̂σ 1 ̂κ 0,29 1 ̂ρ₁ −0,24 −0,58 1 ̂ρ 10 −0,22 0,10 0,21 1 ̂χ 1 0,39 0,66 −0,39 0,015 1 ̂χ 10 0,58 0,68 −0,38 −0,099 0,69 1

Voir les notes du tableau 4.1 ; Les nombres sont tous présentés intentionnellement avec 2 chiffres.

Le dernier intérêt moving block bootstrap est de permettre de calculer la corrélation entre les estimateurs des moments ; la matrice de corrélation figure dans la table 4.2. Les

corrélations les plus élevées sont celles qui ont trait aux paires

( ̂χ

1

, ̂χ

10

)

,

( ̂χ

10

, ̂κ)

et

( ̂χ

1

, ̂κ)

,

par ordre de grandeur décroissant. Ce sont donc les moments qui caractérisent les deux anomalies qui font l’objet d’une estimation très corrélée : ces anomalies seraient ainsi très liées.

Dans le document La modélisation de l'indice CAC 40 avec le modèle basé agents (Page 138-141)