Qu’est-ce qu’un photon ?

L’id´ee de quantification de l’´energie transport´ee par la lumi`ere a ´et´e d´evelopp´ee par Albert Einstein en 1905, `a partir de l’´etude du rayonnement du corps noir par Max Planck, pour expliquer l’effet photo-´electrique qui ne pouvait pas ˆetre compris dans le cadre d’un mod`ele ondulatoire classique de la lumi`ere. La d´ecouverte de l’effet Compton en 1923, donnant ´egalement des propri´et´es corpusculaires `a la lumi`ere, et l’av`enement de la physique quantique et de la compl´ementarit´e onde-corpuscule, am`enent `a consid´erer ce quantum comme une particule, nomm´ee photon en 1926.

Figure 1.7 – Repr´esentation de la compl´ementarit´e onde-corpuscule Principe phy-sique selon lequel certains objets peuvent parfois pr´esenter des propri´et´es ondulatoires et parfois des propri´et´es de particules. Cette repr´esentation, initialement cr´e´ee pour le papier publi´e par mon ´equipe de recherche en 2012 [169], est devenue une figure embl´ematique.

Pour bien comprendre le concept physique du photon, il est plus commode de partir d’une description classique du champ ´electromagn´etique et de le quantifier.

Pour la d´emonstration `a venir, les ouvrages de r´ef´erence dont nous nous sommes inspir´es sont cit´es en r´ef´erences [170,171]. Le point de d´epart usuel pour la quantification du champ ´electromagn´etique, compos´e de mani`ere classique du champ ´electrique ~E(~r, t) et du champ magn´etique ~B(~r, t), sont les ´equations de Maxwell en l’absence de sources :

                   ~ ∇ × ~H = ^{∂ ~D} ∂t^, ~ ∇ × ~E = −^{∂ ~B} ∂t ^, ~ ∇ · ~B = 0, ~ ∇ · ~D = 0, (1.11)

o`u ~B = µ<sub>0</sub>H et ~<sup>~</sup> D = ε<sub>0</sub>E, µ<sup>~</sup> <sub>0</sub> et ε<sub>0</sub> correspondant respectivement `a la permittivit´e di´electrique et `a la perm´eabilit´e magn´etique du vide, de sorte que µ<sub>0</sub>ε<sub>0</sub> = c<sup>−2</sup>. Etant donn´e que ces ´equations sont invariantes de jauge en l’absence de sources, nous faisons le choix de nous placer dans la jauge de Coulomb qui nous permet de remonter directement aux vecteurs ~E et ~B `a partir du potentiel vecteur ~A(~r, t) via les relations :

~

B = ∇ × ~^~ A, (1.12)

~

E = −^{∂ ~A}

avec la condition de jauge de Coulomb : ~

∇ · ~A = 0. (1.14)

En substituant (1.12) et (1.13) dans (1.11) on trouve alors que le potentiel vecteur satisfait l’´equation d’onde :

~

∇2_A(~~ _{r, t) =} ¹ c2

∂²A(~^~ r, t)

∂t2 . (1.15)

Nous s´eparons ensuite le potentiel vecteur en deux termes complexes : ~

A(~r, t) = ~A⁽⁺⁾(~r, t) + ~A⁽⁻⁾(~r, t), (1.16) avec un terme ~A(+)(~r, t) qui contient les amplitudes variant en e^−iωt pour ω > 0 et un terme ~A(−)(~r, t) qui contient les amplitudes variant en eiωt telles que ~A(−) = ( ~A(+))^∗.

Il est d’ordinaire plus ais´e de travailler avec un ensemble discret de variables plutˆot qu’avec un continuum, nous d´ecrivons par cons´equent le champ restreint `a un certain volume de l’espace et exprimons le potentiel vecteur sur la base d’un ensemble discret de modes orthogonaux. Il vient, dans l’espace de Fourier :

~

A⁽⁺⁾(~r, t) =^X

k

c_k~u_k(~r)e^−iωkt, (1.17) o`u les coefficients de Fourier sont constants pour un champ en espace libre. Les modes ~

u_k(~r) correspondant aux fr´equences ω_k ob´eissent `a l’´equation d’onde :  ~ ∇<sup>2</sup>+<sup>ω</sup> 2 k c2  ~ uk(~r) = ~0, (1.18) `

a condition que le volume d’espace consid´er´e ne contienne pas de mat´eriau r´efractif. Les diff´erents modes doivent aussi satisfaire la condition de transversalit´e :

~

∇ · ~uk(~r) = 0. (1.19)

Enfin, les diff´erentes fonctions ~uk(~r) forment un ensemble complet de modes orthogo-naux :

Z

V

~

u^∗_k(~r)~u_k0(~r) d~r = δ_k,k0. (1.20) Les diff´erents modes d´ependent des conditions aux limites du volume physique consid´er´e. Des conditions aux limites p´eriodiques correspondant aux modes de propa-gation d’ondes dites ’ondes planes’, tandis que des conditions appropri´ees `a des parois r´efl´echissantes conduisent `a des ondes stationnaires. Par exemple, les modes associ´es `a des ondes planes dans un volume cubique de cˆot´e L s’´ecrivent comme :

~u_k(~r) = ¹

L2/3eˆ^(j)e^i~k·~r, (1.21)

o`u ˆe(j) est le vecteur polarisation unitaire. L’indice k d’un mode d´ecrit diff´erentes va-riables, `a savoir l’indice de polarisation (j = 1, 2) et les trois coordonn´ees cart´esiennes associ´ees `a la propagation du vecteur ~k. Les composantes du vecteur d’onde ~k prennent alors les valeurs :

k_x = ^2πnx L ^{, ky =} 2πn_y L ^{, kz =} 2πn_z L ^{. nx, ny, nz = 0, ±1, ±2, ... (1.22)} Le vecteur polarisation ˆe(λ) doit ˆetre perpendiculaire `a ~k de part la condition de transversalit´e (1.19).

Le potentiel vecteur peut d´esormais s’´ecrire sous la forme suivante : ~ A(~r, t) =^X k  ~ 2ωkε0 1/2 h a_k~u_ke^−iωkt+ a_k^†~u^∗_ke^iωktⁱ, (1.23) o`u les a_k sont les coefficients de Fourier de la d´ecomposition. Le champ ´electrique cor-respondant est alors :

~ E(~r, t) = i^X k  ~ωk 2ε₀ 1/2 h a_k~u_ke^−iωkt− a_k^†~u^∗_ke^iωktⁱ. (1.24) Les facteurs de normalisation on ´et´e choisis de sorte `a ce que les amplitudes a_ket a^†_ksoient sans dimension. Selon une approche classique de l’´electromagn´etisme, ces amplitudes de Fourier sont des nombres complexes.

La quantification du champ ´electromagn´etique est accomplie en consid´erant a_k et a^†_k comme des op´erateurs adjoints mutuels que nous noterons ˆa_k et ˆa^†_k. ´Etant donn´e que les photons, quanta d’´energie associ´es aux ondes ´electromagn´etiques, sont des bosons, les op´erateurs ˆak et ˆa^†_k ob´eissent aux relations de commutation suivantes :

[ˆa_k, ˆa_k0] =^haˆ^†_k, ˆa^†_k0

i

= 0, ^hˆa_k, ˆa^†_k0

i

= δ_k,k0. (1.25)

Le comportement dynamique des amplitudes du champ ´electrique peut d´esormais ainsi ˆetre d´ecrit par un ensemble d’oscillateurs harmoniques ind´ependants ob´eissants aux relations de commutation mentionn´ees ci-dessus. Les ´etats quantiques associ´es `a chaque mode peuvent maintenant ˆetre discut´es de mani`ere ind´ependante les uns des autres. L’´etat pour chaque mode peut ˆetre d´ecrit par un vecteur d’´etat |ψi_k de l’espace de Hilbert associ´e `a ce mode. Les ´etats du champ pris dans son int´egralit´e sont alors d´efinis comme un produit tensoriel des espaces de Hilbert associ´es `a chacun des modes.

Le Hamiltonien du champ ´electromagn´etique est donn´e par : ˆ H_EM = ¹ 2 Z (ε₀E^~ˆ2+ µ₀H^~ˆ2) d~r. (1.26) En substituant (1.24) pour E ainsi que l’expression ´^~ˆ equivalente pour H et en utilisant^~ˆ les conditions (1.19) et (1.20), on obtient alors pour le Hamiltonien l’expression tradi-tionnelle : ˆ H_EM =^X k ~ωk ˆa^†_kˆa_k+1^ˆ 2 ! . (1.27)

Cette expression repr´esente la somme du nombre de photons dans chaque mode multipli´e par l’´energie d’un photon pris dans ce mode, plus 1

2~ωk qui repr´esente les fluctuations quantiques du vide pr´esentes dans chaque mode.