Pyramides irregulieres stochastiques

 EGULI



ERES STOCHASTIQUES 77

tant. D'ailleurs, la position des sommets dans le graphe n'a aucun inter^et dans le processus.

Pour la segmentation en regions homogenes d'une image en niveaux de gris, les pyramides irregulieres peuvent ^etre separees en deux categories:

pyramide irreguliere stochastique:

[82, 83, 81] lorsque les sommets survivants

de chaque niveau correspondent a des maxima locaux obtenus de facon alea-toire;

pyramide irreguliere adaptative:

[49, 50] lorsque l'on cherche localement,dans

chaque niveau, les sommets qui maximisent l'evaluation d'un operateur d'in-ter^et.

La section 4.5 presente la pyramide irreguliere stochastique en details.

4.5 Pyramides irregulieres stochastiques

4.5.1 L'algorithme

La pyramide irreguliere sthochastique d'une image est construite recursivement de la base a l'apex et chaque niveau est represente par un graphe d'adjacence. Il est donc necessaire de denir la procedure de derivation du graphe du niveau k a partir de celui du niveau k ,1 precedent. Nous verrons plus tard que cette t^ache est realisee a l'aide d'operations de contraction sur le graphe.

Pour que les principes generaux des structures pyramidales soient preserves, tels que le parallelisme et l'appel a des operations locales, il est necessaire de denir des regles de fusion. Ces dernieres se traduisent dans une structure irregulierepar le choix des sommets survivants, suivi de la generation des liens parent-enfant pour chaque non-survivant et de la mise a jour du graphe d'adjacence. L'une des dierences entre les pyramides irregulieres stochastiques et les techniques de croissance de regions vient du fait qu'un sommet peut participer a plusieurs contractions dans une m^eme iteration.

Le nombre d'iterations dans une pyramide irreguliere stochastique est d'ordreO(log(taille classe)), ou \taille classe" est le plus grand diametre interne des composantes connexes3. Ce nombre n'est pas xe et la construction est denie par l'algorithme 3.

Apres la lecture de l'image et le choix des parametres d'entree, comme le seuil global, par exemple, la base de la pyramide doit ^etre construite. L'image est alors representee par un graphe d'adjacence qui associe a chaque pixel un sommet dans le graphe et une ar^ete est creee entre deux sommets si les deux pixels correspondants

3Deni par max

CC 

max

x;y 2contour

fminfdistance geodesique(x;y)gg 

, ou CC represent les compo-santes connexes dans l'image.

4.4.1 L'utilisation d'un arbre couvrant

L'idee d'utilisation d'un arbre couvrant de poids minimal a ete developpee [75, 84] dans le but de representer l'image par un graphe optimal, ce qui permettrait une meilleure segmentation.

4.4.2 Pyramides liees

Cette methode [21, 46], moins sensible en translation que d'autres, permet de delimiterdes regions de tailles et de formes dierentes. Chaque elementd'un niveauk

possede 4 peres potentiels et doit choisir l'un d'entre eux, mais ce choix sera remis en cause plus tard. Chaque pere du niveau k+ 1 a 16 ls au niveauk cependant il partage ces ls avec ces 4 voisins du niveauk+1. Apres le choix d'un pere \provisoire" pour chaque ls, les attributs des peres sont mis a jour en fonction de ses nouveaux ls. En evaluant les nouveaux attributs des peres potentiels, les ls ont le droit de changer le pere \provisoire" par un autre ou de rester avec lui. Au niveau suivant on initialise les attributs des peres selon les attributs de leurs 16 ls. Quand un ls n'a pas de pere qui lui ressemble, il est considere comme etant une entite recherchee sur la base de la pyramide. Cette situation est identique pour le cas d'un pere qui n'a pas de ls. Le point fort de cette methode est la remise en cause du choix des elements dans la pyramide.

4.4.3 Pyramides duales

Kropatsch et Willersinn [62, 59, 125] utilisent un processus qui reduit le nombre de sommets d'une iteration a l'autre par contraction du graphe dual representant l'image, de maniere a ce que le degre de chaque sommet soit limite (contrairement aux pyramides irregulieres). Dans cette approche les relations topologiques entre survivants sont preservees et d'importants taux de reduction du nombre de sommets peuvent ^etre atteints.

4.4.4 Pyramides irregulieres

Les echecs connus auparavant par les techniques de segmentation basees sur les pyramides regulieres, tels que la diculte de detection d'objets allonges, la decon-nexion des regions et la variation en translation ont engendre ces dernieres annees des recherches visant a la conception d'une structure plus exible prenant en compte la specite des donnees.

En eliminant la rigidite posee par la determination precise du nombre de ls ou de peres potentiels des sommets a chaque niveau, les pyramides irregulieres ouvrent une nouvelle voie dans le domaine de la segmentation d'images.

L'image segmentee est consideree comme un ensemble de regions ayant des forme, taille et position variables.

Les pyramides irregulieres sont robustes en translation. Un autre avantage vient du fait qu'un sommet conna^t ses voisins, mais leur positionnement n'est pas

impor-4.4. PYRAMIDES DE GRAPHES 75 La planarite dugraphed'adjacencedans un niveauk quelconque n'est assuree que si la base a ete construite en utilisant la 4-connexite, car les relations de voisinage se forment selon la topologie des champs recepteurs. Deux congurations non-planaires possibles, representees parK

5 (la clique d'ordre 5 de la gure 4.2(c)), sont montrees dans les gures 4.2(a et b).

x (a) x (c) x (d) x (b)

Fig. 4.1 - Un pixel x et son (a) 4-voisinage, (c) 8-voisinage. Graphe d'adjacence genere par x en relation a la (b) 4-connexite, (d) 8-connexite.

2 3 5 1 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 (a) (b) (c)

Fig. 4.2 - (a - b) Deux congurations montrant 5 regions, toutes connexes les unes aux autres. (c) K

5, le graphe d'adjacence de ces regions.

Un niveau k de la pyramide est construit a partir du niveau k,1. Les sommets presents au niveauk,1 sont appelesvivants. Un sous-ensemble des sommetsvivants sera choisi selon des regles qui seront presentees plus tard, formant alors l'ensemble des survivants. Les survivants du niveauk,1 seront les sommets vivants presents au niveau k. Nous remarquons qu'a la base de la pyramide, tous les sommets sont vivants et qu'a l'apex, il n'y en aura qu'un seul.

C'est gr^ace aux relations entre les sommets vivants d'un niveau k ,1 et leurs champs recepteurs respectifs que les ar^etes entre les sommets survivants du graphe representant le niveau k sont construites.

A la n du processus, les liens entre lesh niveaux de la pyramide sont modelises par un graphe h-parti. Chaque element d'un niveau k est relie avec des elements du niveau k , 1, appeles ses ls, et a un element du niveau k + 1, appele son

pere. Ces relations denissent une structure arborescente. Pendant le processus, chaque element d'un niveau k susceptible d'^etre pere d'un sommet du niveauk,1, est considere comme etant un pere potentiel de ce sommet. Remarquons qu'un sommet peut ^etre pere potentiel de plusieurs sommets.

Dans le graphe representant l'image, chaque sommet dans un niveau k est pere de 4 sommets du niveauk+1 (pour l'arbre quaternaire) ou 3 (pour Delaunay), sauf au moment ou la region qu'il represente respecte le critere d'homogeneite et ne se divise plus.

4.3.2 La fusion

La conguration obtenue par la phase de division, puis a un niveauk quelconque de la pyramide, est representee au moyen d'un graphe d'adjacence ou a chaque ar^ete est associe le co^ut de fusion entre les deux sommets adjacents. Ce graphe pondere est utilise dans le but de fusionner les regions les plus similaires. A chaque fois que deux sommets fusionnent, une operation de contraction1 est realisee sur le graphe.

La methode la plus naturelle et la plus simple pour decider quelles sont les fusions qui doivent se produire est celle ou l'ar^ete ayant le co^ut minimal parmi toutes les ar^etes du graphe, notee (x

i ;x

j), est determinee. Les deux sommets adjacents a cette ar^ete fusionnent et l'un des deux, x

i ou x

j, representera la nouvelle region. Les nouveaux attributs obtenus prenant en compte les informations de x

i et x

j, ainsi que les nouveaux co^uts de fusion, seront recalcules. La procedure est reiteree jusqu'a ce qu'il ne soit plus possible de fusionner. Malgre son optimalite et l'independance par rapport a l'ordre d'evaluation des ar^etes, c'est une approche sequentielle tres co^uteuse en temps de calcul.

Pour cela il semble ^etre interessant d'utiliser les techniques paralleles de fusion a la place des techniques sequentielles. Ces techniques se basent sur la recherche d'un couplage2 de co^ut minimal dans le graphe. Cela veut dire que l'on cherche un sous-ensemble d'ar^etes du graphe d'adjacence qui soit independant. Il est donc interdit qu'un sommet participe a plusieurs fusions en m^eme temps.On gagne alors en temps de calcul mais on perd en optimalite. Des approches paralleles pour la fusion sont presentees dans [7, 26, 31, 79, 117].

Nous remarquons que l'ordre d'evaluation n'est pas in uent sur le resultat, et chaque sommet ne peut intervenir qu'a une seule fusion a chaque iteration.

Dans le document Logique floue en segmentation d'images : seuillage par entropie et structures pyramidales irrégulières (Page 99-102)