Maximisation de la divergence oue

ETHODES UTILISANTLA NOTIOND'ENSEMBLE FLOU 47 Remarquons que la fonction S

Z satisfait ces conditions. En acceptant ces deux idees, on aura pour chaque seuil s possible le degre d'appartenance de tous les niveaux de gris aux deux classes: le fond et l'objet, comme suit:

 i(fond) = 8 > < > : 0 si x<s,k S Z(s;x) si s,k xs+k 1 si x>s+k (3.21)  i(objet) = 8 > < > : 1 si x<s,k 1,S Z(s;x) si s,k xs+k 0 si x>s+k (3.22)

3.2.2 L'utilisation des indices de ou

Le degre d'appartenance de chaque niveau de gris present dans une image etant donne par la fonction S

Z, cf. (3.17), cela permet aux indices de ou l et

q donnes respectivementpar les equations (2.28) et (2.29) d'^etre utilises dans le but de mesurer l'ambigute associee a l'image. A chaque valeur de croisement possible correspond une partition oue de l'image.

Soit une image X ayant un histogramme des niveaux de gris bimodal, le point de croisement s choisi comme seuil optimal separant l'image en deux classes est celui pour lequel l'ambigute est maximale, c.a d. S(s) = 0:5. Les dierents niveaux de gris seront separes en deux classes: x2[0;s,1] ou S(x)<0:5 etx2[s+1;N,1] ou S(x)>0:5.

La valeur de s pour laquelle l'intervalle [s,k;s+k] possede un nombre mini-mum d'elements x ayant 

O(x) ' 0:5 et un nombre maximum d'elements ayant



O(x)'0 ou 1 correspond a une vallee dans l'histogramme. Le pic, a son tour, est represente par la valeur de s qui possede un nombre maximum d'elementsx ayant



O(x) ' 0:5 et un nombre minimumd'elements ayant

O(x)'0 ou 1. L'utilisation des indices de ou peut ne pas donner des bons resultats lorsque les images traitees ne possedent pas des seuils representatifs dans les vallees de l'histogramme. C'est le cas de l'image 3.1(a) ayant un histogramme unimodal (gure 3.1(b)).

Dans les cas ou l'histogramme est multimodal, il est possible de tomber sur un minimumlocal. Pour eviter cela, un critere pour le choix dekdeterminant la largeur de bande2 est propose dans [85].

3.2.3 Maximisation de la divergence oue

La divergence oue est une mesure de dierence entre deux ensembles ous.

Denition 65 Soit A et B deux ensembles ous denis dansX =fx 0 ;x 1 ;:::;x N,1 g tels que 0< A(x i); B(x

i)< 1 8i, la divergence oue entre A et B est donnee par [9]:

2

0 1 S x 0.5 (a) (b) 0 1 S x 0.5 s-k s s+k s-k s s+k

Fig. 3.2 - (a) FonctionSZ et (b) une fonction d'appartenance non symetrique hinf(x) = ( 0 si min x min +" x," si min + " x max ^(3.19) hsup(x) = ( x + " si min x max ," 1 si max ,"x max ^(3.20) La gure 3.3 montre les fonctions-limitehinf et hsup developpees pour min = s,k, max = s + k et " = 0:25. 1 0.75 0.5 0.25 0 s s-k s+k sup inf x

3.2. M 

ETHODES UTILISANTLA NOTIOND'ENSEMBLE FLOU 45 Dans [85] une maniere de resoudre le premier probleme en utilisant la distance entre deux maxima de l'histogramme de niveaux de gris est presentee. En fait, si l'intervalle [s,k;s+k] est trop petit, il est possible que des seuils non representatifs soient detectes, par contre si cet intervalle est trop grand, des bons seuils peuvent ^etre elimines.Pour eviter cela, il est important queksoit inferieur, en restant proche, de la moitiede la distance entre deux maxima de l'histogramme [85]. L'hypothese de la convexite de l'histogramme entre les maxima a ete utilisee. Pour les histogrammes ayant plus de deux maxima ou alors n'en ayant qu'un seul, cette regle ne donne pas toujours de bons resultats. En tout cas, pour eviter la detection des maxima locaux, il est conseille de lisser l'histogramme d'abord.

Le deuxieme probleme peut facilement ^etre contourne par l'utilisation de la fonc-tion S

Z (connue comme fonction S de Zadeh). Cette fonction est denie de maniere que, pour tout elementxdans un intervalle (a;c) inclus dans [0;N,1], la valeur de

S

Z(x) soit dans l'intervalle (0;1):

S Z(x) = 8 > > > > < > > > > : 0 si xa 2[x,a c,a]2 si axb 1,2[x,c c,a]2 si bxc 1 si xc

Le point b = (c +a)=2, pour lequel S

Z possede valeur 0.5, est appele point de croisement et la valeur de c,a est dite \largeur de bande". Soit s le point de croisement et 2k la largeur de bande, la fonction S

Z peut alors ^etre denie en fonction de ces parametres (voir la gure 3.2(a)), comme suit:

S Z(x) = 8 > > > > < > > > > : 0 si xs,k [x,(s,k )] 2 2k 2 si s,k xs 1,S Z(2s,x) si s xs+k 1 si xs+k (3.17) Cette fonction possede la particularite de ne pas avoir une grande variation de ses valeurs concentree dans un petit intervalle, en depit d'une petite variation en dehors de cet intervalle (comme la fonction de la gure 3.2(b), par exemple). Il est suggere dans [85] que deux conditions soient satisfaites pour eviter le probleme pose par les fonctions comme celle montree par la gure 3.2(b):

{ le respect de la symetrie par rapport as, c.a.d.:

(s,x) +(s+x) = 1 8xk (3.18) { le respect de h

inf(x) (x) h

sup(x) 8x k ou les fonctions-limiteh inf et

h

ou P = fP 1 ;P 2 ;:::;P k

g est une partition des niveaux de gris 0;1;2;:::;N ,1, f i

est le nombre de points de la partition qui possedent le niveau de gris ietG(P l) est la moyenne ponderee des valeurs de gris de la classe l, donnee par:

G(P l) = X i2P l f i
i X i2P l f i (3.16) L'evaluation est faite sur toute la dynamique des niveaux de gris et le nombre de classes est un parametre d'entree.

La methode de Fisher appliquee a l'image des broblastes de la gure 3.1(a) four-nits

F = 123, qui n'est pas un seuil representatif. Neanmoins, lorsqu'on l'utilise pour la detection de trois classes dans cette m^eme image, l'un des deux seuils detectes,

s 1

F3 = 101, donne le resultat montre dans la gure 3.1(h), qui permet de localiser les cellules foncees. L'autre seuil (s

2 F

3 = 133) n'est pas representatif.

Le resultat nal, apres un post-traitement en morphologie mathematique et l'im-position d'un seuil sur la surface, est montre dans la gure 3.1(j).