Pureté absolue

Dans cette section on montre comment déduire la pureté absolue dans les catégoriesDA^ét(−,Λ) en combinant la pureté absolue en cohomologie étale, démontrée par Gabber, et la pureté abso-lue en K-théorie algébrique, démontrée par Quillen. Pour cela, il est utile de reformuler la pu-reté absolue comme une propriété de changement de base dans des carrés transversaux d’immer-sions fermées (cf. la Définition 7.1 et le Théorème 7.4). Le résultat de Gabber, joint au Théorème 4.1, permettra de traiter le cas des coefficients de torsion (cf. la Proposition 7.8). La méthode de Cisinski-Déglise [11] qui repose sur des travaux de Morel-Voevodsky [36] et d’autres, permet de ramener le cas des coefficients rationnels à la pureté absolue de Quillen enK-théorie algébrique.

Definition7.1 — Soient S un schéma de base etH: Sch/S // TRun2-foncteur homotopique stable. On se donne un carré cartésien de S -schémas quasi-projectifs

(C) :

Z^{0 s}

0 //

t⁰

Z t

X^{0 s} //X.

Un objet A∈H(X)est ditpurerelativement au carré(C)si le morphisme d’échange E x^!∗:s^0∗t^!(A) // t^0!s^∗(A)

est un isomorphisme.

Le cas le plus intéressant est celui où (C) est un carré transversal d’immersions fermées. Rap-pelons de quoi il s’agit.

Definition 7.2 — Un carré cartésien (C) comme dans la Définition 7.1 est appelé un carré transversal d’immersions ferméeslorsque les conditions suivantes sont satisfaites :

(a) X, X⁰, Z et Z⁰sont des schémas réguliers ; (b) s et t sont des immersions fermées ;

(c) la codimension dans X⁰d’une composante irréductible de Z⁰est égale à la codimension dans X de la composante irréductible de Z qui la contient.

Dans un carré transversal d’immersions fermées (C), on a tor_Oⁱ

X(s∗OX⁰,t∗OZ) = 0 pouri , 0.

Précisons aussi qu’un tel carré est supposé cartésien et pas seulement cartésien à nil-immersions près. Autrement dit, on veut queX⁰×_X Zsoit réduit.

Avant d’énoncer le résultat principal de cette section, nous introduisons les conditions (sur le schéma de baseS et l’anneau de coefficientsΛ) sous lesquelles le résultat principal de ce para-graphe est valable.

Hypothese` 7.3 — Tout nombre premierpest inversible dansΛou dansOS. La dimension de Krull deS est finie et les p-dimensions cohomologiques ponctuelles de S sont uniformément bornées lorsquepparcourt l’ensemble des nombres premiers non inversibles dansΛ.

D’après la Proposition 3.19, l’Hypothèse 7.3 entraîne que le 2-foncteur homotopique stable DA^ét(−,Λ) : Sch/S // TRest compactement engendré par la base au sens de [4, Déf. 2.1.155].

En utilisant [4, Lem. 2.1.159], on déduit que les opérationsf_∗et f^!commutent aux sommes infinies pour f unS-morphisme quasi-projectif. Il en est de même de f^∗ et f_!; pour ces opérations cette commutation est toujours vraie puisque ces dernières admettent des adjoints à droite. On peut maintenant énoncer le résultat principal de cette section.

Theoreme7.4 — Soient S un schéma régulier etΛun anneau de coefficients. On suppose que l’Hypothèse 7.3est satisfaite. On se donne un carré transversal d’immersions fermées

(C) :

T^{0 s}

0 //

t⁰

T t

S^{0 s} //S.

Alors, l’objet unitéΛS(0) ∈DA^ét(S,Λ) est pur relativement au carré(C). Autrement dit, le mor-phisme d’échange E x^!∗:s^0∗t^!ΛS(0) // t^0!s^∗ΛS(0)est inversible.

Notons tout de suite le corollaire suivant qui explique le lien entre le Théorème 7.4 et la notion usuelle de pureté, du moins localement.

Corollaire7.5 — Soit i:Z,→S une immersion fermée de schémas réguliers. On suppose que Z est partout de codimension d et que son idéal de définition est engendré par d sections globales g₁,· · ·,gd ∈ Γ(S,OS). On se donne un anneau de coefficientsΛet on suppose que l’Hypothèse 7.3est satisfaite. On a alors un isomorphisme i^!ΛS(0)'ΛZ(−d)[−2d]dansDA^ét(Z,Λ).

Demonstration On applique le Théorème 7.4 au carré transversal d’immersions fermées : Z

i i //S

o

S ^g //A^d_S

oùoest la section nulle etgest le graphe du morphisme (g₁,· · ·,g_d) :S // A^d. Remarque 7.6 — Lorsque Λ est une Q-algèbre, le Corollaire 7.5 est dû à Cisinski-Déglise [11]. LorsqueΛ = Z/p avec p un nombre premier, le Corollaire 7.5 est dû à Gabber (cf. [24, Expo. XVI]) modulo les équivalences D^ét(−,Z/p) ' DA^ét(S,Z/p). Il est envisageable que ces deux cas particuliers suffisent pour déduire le cas général par dévissage. Cependant, pour réaliser

ce dévissage il est nécessaire d’établir une compatibilité entre l’isomorphisme de pureté de Gabber et celui de Cisinski-Déglise. Nous avons choisi de faire autrement en reformulant la pureté absolue comme une propriété de changement de base. Avec cette reformulation, il est plus aisé de se ramener aux casΛ =QetΛ =Z/pcomme le montre le résultat suivant.

Lemme7.7 — LeThéorème 7.4découle de ses deux cas particuliers : (i) Λ =Z/pZavec p un nombre premier inversible sur S ;

(ii) Λ =Q.

Demonstration En effet, vue la suite exacte deΛ-modules,

0 // Λtor // Λ // Λ⊗Q // Λ⊗Q/Z // 0

il suffit de montrer que l’objet Sus⁰_T,Σ(Mcst) ∈ DA^ét(S,Λ) est pur relativement à (C) pour M un Λ-module vérifiant l’une des conditions suivantes :

(i) Mest de torsion (en tant queZ-module).

(ii) Mest uniquement divisible, i.e., c’est un module surΛ⊗Q.

Dans le cas (i), on peut écrire M comme une somme directe M = L

pM_p où p parcourt l’ensemble des nombres premiers non inversibles dans Λet où Mp ⊂ Mest le sous-module des éléments annulés par une puissance de p. Vu que les foncteurs s^∗, s^0∗, t^! ett^0! commutent aux sommes infinies, on peut traiter le cas des chaqueMpséparément. Autrement dit, on peut supposer queM=S

n∈Nker(pⁿ·idM). Pour la même raison évoquée ci-dessus, on peut même supposer que M est annulé par pⁿ pour un certain n ∈ N. En utilisant la filtration (exhaustive et finie) de M donnée par les noyaux des multiplications par p^r (avecr ∈ N), on se ramène en fin de compte à traiter le cas

(i⁰) Mest unΛ/pΛ-module.

au lieu du cas (i) ci-dessus.

Notons Λ⁰ la Λ-algèbreΛ/pΛ ou Λ⊗ Qselon qu’on s’intéresse au cas (i⁰) ou (ii). D’après le Corollaire A.5, le foncteur d’oubli DA^ét(−,Λ⁰) // DA^ét(−,Λ) commute aux opérations s^∗, s^0∗. Il commute aussi aux opérations t^! et t^0!. En effet, par adjonction on est ramené à montrer que le foncteur − ⊗_Λ Λ⁰ : DA^ét(−,Λ) // DA^ét(−,Λ⁰) commute aux opérations t∗ et t⁰_∗. Ceci découle aussitôt de l’axiome de localité et du Lemme A.3. Ainsi, si A ∈ DA^ét(S,Λ⁰) est pur relativement à (C), il en est de même de son image dansDA^ét(S,Λ). Il est donc suffisant de prouver que Sus⁰_T,Σ(Mcst)∈DA^ét(S,Λ⁰) est pur relativement à (C).

Enfin, notonsΛ0l’anneauZ/pZouQselon qu’on s’intéresse au cas (i⁰) ou (ii). Comme avant, le foncteur d’oubliDA^ét(−,Λ⁰) // DA^ét(−,Λ0) commute aux opérationss^∗,s^0∗,t^!ett^0!. De plus, d’après le Lemme A.6, ce foncteur est aussi conservatif. Il suffira donc de prouver que l’objet Sus⁰_T,Σ(Mcst) ∈ DA^ét(S,Λ0) est pur relativement à (C). PuisqueΛ0 est corps, Mest une somme directe de copies deΛ0. Étant donné que les foncteurss^∗, s^0∗,t^!ett^0!commutent aux sommes, il suffit de traiter le casM= Λ0. Ceci termine la preuve du lemme.

Le casΛ =Z/pZdu Théorème 7.4 découle du résultat plus général suivant.

Proposition7.8 — Soient S un schéma régulier etΛuneZ/NZ-algèbre avec N ∈Nun entier inversible dansOS. On suppose qu’en tout point géométrique x de S la p-dimension cohomolo-¯ gique ponctuelle de l’hensélisé strict de S en x est finie si p est un nombre premier divisant N.¯ Soit (C) un carré transversal d’immersions fermées comme dans leThéorème 7.4. Alors, l’objet ΛS(0)∈DA^ét(S,Λ)est pur relativement à(C).

Demonstration D’après le Théorème 4.1, on a des équivalences D^ét(−,Λ) ' DA^ét(−,Λ) qui commutent aux opérations de Grothendieck (cf. le Corollaire 4.15). Il suffit donc de montrer que Λ ∈D^ét(S,Λ) est pur relativement au carré (C). Il s’agit alors d’une conséquence facile du théo-rème de pureté absolue de Gabber (cf. [24, Expo. XVI, Th. 3.1.1]). Expliquons comment l’obtenir.

D’abord, l’énoncé à prouver est local pour la topologie étale surS. On ne restreint donc pas la généralité en supposant queS est affine et queOS contient lesN-ièmes racines de l’unité.

Supposons que le carré (C) est la composition verticale de deux carrés transversaux d’immer-sions fermées (C1) et (C2) ; cette décomposition étant alors uniquement associée à une factorisation t=t₂◦t₁avect₁ett₂des immersions fermées de schémas réguliers. La face carréeE x^∗!(C) s’écrit alors comme la composition horizontale des deux faces carréesE x^∗!(C₁) etE x^∗!(C₂). D’après le théorème de pureté absolue de Gabber,t^!₁Λest canoniquement isomorphe àΛ(−c1)[−2c1] oùc₁est la codimension de l’immersiont₁. PuisqueOS est supposé contenir lesN-ièmes racines de l’unité, on voit ques^!₁Λest non canoniquement isomorphe à un shift du faisceau constantΛ. Il en découle que siΛest pur relativement aux carrés (C₁) et (C₂), il l’est aussi relativement au carré (C).

La discussion précédente, jointe à l’aspect local du problème, montre qu’il suffit de traiter le cas où l’immersion ferméetest partout de codimension 1 et définie par l’annulation d’une fonction f ∈Γ(S,OS), i.e.,OS/(f)' t∗OT. Dans ce cas, on a une description explicite de l’isomorphisme de pureté. C’est la suivante. Notonsu:U,→S l’immersion complémentaire àtet [f] la classe de

f dansO^×(U)/O^×(S). On a alors une suite exacte courte de faisceaux étales sur Et/S : 0 // GmS // u∗GmU // t∗Z[f] // 0.

Elle détermine une flèche [f] : t∗Z // GmS[1] dans D^ét(S,Z). L’isomorphisme de puretéΛ ' t^!Λ(1)[2] correspond, via l’adjonction (t∗,t^!), à la composition de

c_f :t∗Λ'(t∗Z)^L⊗Λ ^[f]⊗id// GmS[1]^L⊗Λ'Λ(1)[2].

À partir de la construction, il est clair que le diagramme s^∗t∗ΛT

s^∗(cf) //

∼

s^∗ΛS(1)[2]

∼

t⁰_∗s^0∗ΛT

∼ //t⁰_∗ΛT⁰

cf◦s //ΛS⁰(1)[2]

est commutatif. On déduit aussitôt un diagramme commutatif s^∗t_∗ΛT

(a) //

∼

s^∗t_∗t^!ΛS(1)[2] ^(c) //t⁰_∗t^0!s^∗ΛS(1)[2]

∼

t⁰_∗s^0∗ΛT

∼ //t_∗⁰ΛT⁰

(b) //t⁰_∗t^0!ΛS⁰(1)[2]

où les flèches (a) et (b) sont déduites decf etcf◦spar adjonction. D’après le théorème de pureté absolue de Gabber, ces flèches sont inversibles. (On utilise ici que f ◦ s ∈ Γ(S⁰,OS⁰) est un générateur de l’idéal de définition de l’immersiont⁰.) Il s’ensuit que la flèche (c) est inversible.

Cette dernière est la composition du 2-isomorphismeE x^∗_∗(C) appliqué àt^!ΛS, et du 2-morphisme E x^!∗(C) appliqué àΛS et auquel on appliquet⁰_∗. Ceci termine la preuve de la proposition puisque

le foncteurt⁰_∗est pleinement fidèle.

Vus le Lemme 7.7 et la Proposition 7.8, il reste à prouver le Théorème 7.4 lorsqueΛ = Q. Comme dans [11] nous utiliserons la pureté en K-théorie algébrique. Les propriétés fondamen-tales de laK-théorie algébrique dont nous aurons besoins se trouvent déjà dans [37] et [17]. Le lecteur pourra aussi consulter [52, Chap. IV] pour une présentation plus lisible. On commence par quelques préliminaires.

On désigne par Coh(X) une petite catégorie équivalente à la catégorie desOX-modules cohérents sur un schéma noethérienX. Les objets de Coh(X) seront appelés desOX-modules cohérents. On supposera que Coh(X) est strictement contravariante en X. Autrement dit, si f : Y // X est un morphisme de schémas, on dispose d’un foncteur « image inverse » f^∗ : Coh(X) // Coh(Y) et sig :Z // Y est un autre morphisme de schémas, on a (f ◦g)^∗ = g^∗◦ f^∗.⁽⁸⁾ Étant donnée une

8. On peut prendre pour Coh(X) la catégorie suivante. Un objet est un uplet ((Ui)1≤i≤n,(di)1≤i≤n,(Ki)1≤i≤n,(ui j)1≤i,j≤n) tel quen∈N, (Ui)1≤i≤nest un recouvrement ouvert deX, (di)1≤i≤n ∈Nⁿ,Ki⊂O^d_Uⁱ_iun sous-OU_i-module cohérent pour tout 1≤i≤netui j : (O^d_Uⁱ_i/Ki)|Ui∩Uj '(O^d_U^j_j/Kj)|Ui∩Uj un isomorphisme deOUi∩Uj-modules pour tout 1≤i, j≤n.

immersion ferméet : Z ,→ X, on note Coh^t(X) ou Coh^Z(X) la sous-catégorie pleine de Coh(X) formée des OX-modules M tels que tor_Oⁱ

X(M,t∗OZ) = 0 pour i , 0. C’est une sous-catégorie exacte de Coh(X) stable par extensions. On note aussi LL(X) ⊂ Coh(X) la sous-catégorie pleine desOX-modules localement libres. On a clairement LL(X)⊂Coh^Z(X).

Soient S un schéma de base etZ ⊂ S un sous-schéma fermé. On définit un préfaisceau de catégories exactes Coh_/S (resp. Coh^Z_/S) sur Sm/S en associant à X ∈ Sm/S la plus petite sous-catégorie exacte Coh_/S(X) ⊂ Coh(X) (resp. Coh^Z_/S(X) ⊂ Coh^X×SZ(X)) stable par extensions et contenant lesOX-modules cohérents qui sont localement pour le topologie de Zariski isomorphes à des images inverses d’objets de Coh(S) (resp. Coh^Z(S)) suivant le morphisme structuralX // S. Si f :Y // X est un morphisme deS-schémas lisses, le foncteur f^∗ : Coh_/S(X) // Coh_/S(Y) est exact. On note aussi LL_/S(−)⊂Coh^Z_/S(−) le sous-préfaisceau donné enX ∈Sm/S par LL(X).

Étant donnée une petite catégorie exacte E, on note Q(E) la catégorie ayant les mêmes objets queEet où les flèches de A ∈ E versA⁰ ∈ Esont données par des classes d’isomorphismes de triplets (B, s:B A, i:B ,→ A⁰) avec B ∈ E, s un epimorphisme admissible etiun mono-morphisme admissible. Deux tels triplets (B, B A, B ,→ A⁰) et (C, C A,C ,→ A⁰) sont isomorphes s’il existe un isomorphismeB'Cfaisant commuter le diagramme qu’on pense. Pour plus de détails, le lecteur est renvoyé à [37, §2, p. 100] (voir aussi [52, Chap. IV, §6]). L’espace deK-théorie de Quillen associé àEest l’ensemble simplicialRΩs(N(QE)) qu’on notera K(E). Ici, N(−) est le nerf d’une catégorie etRΩs= Ωs◦(−)f ibavecΩs=hom(∆¹/∂∆¹,−) et (−)f ibun fonc-teur de remplacement fibrant dans la catégorie des ensembles simpliciaux pointés∆^opEns•munie de sa structure de modèles usuelle. (On peut prendre pour (−)f ib le composé du foncteur « réali-sation topologique » avec le foncteur « ensemble simplicial singulier associé ».) LaK-théorie de Quillen K(−), ainsi définie, est covariante par rapport aux foncteurs exacts. On en déduit ainsi des préfaisceaux d’ensembles simpliciaux K(LL_/S(−)), K(Coh^Z_/S(−)) et K(Coh_/S(−)) sur Sm/S.

Lemme7.9 — Supposons que S est régulier et de dimension de Krull finie. Alors, les inclu-sionsLL_/S(−),→Coh^Z_/S(−),→Coh_/S(−)induisent des équivalences d’homotopie simpliciales de préfaisceaux

K(LL_/S(−)) // K(Coh^Z_/S(−)) // K(Coh_/S(−)).

Demonstration Ceci est une conséquence immédiate de [37, §4, Cor. 1] et du fait que toutOX -module cohérent surX∈Sm/S admet une résolution de longueur finie par desOX-modules

loca-lement libres.

Proposition 7.10 — Supposons que S est régulier et de dimension de Krull finie. Les préfais-ceaux d’ensembles simpliciauxK(LL_/S(−)),K(Coh^Z_/S(−))etK(Coh_/S(−))sont(A¹,Nis)-fibrants.

Demonstration Ceci est essentiellement bien connu. D’après le Lemme 7.9, il suffit de considérer le cas de K(LL_/S(−)). Vu [37, §6, Cor. of Th. 8], il suffit de montrer que K(LL_/S(−)) possède la propriété de Brown-Gersten dans les carrés distingués Nisnevich. Cette propriété se vérifie sur le petit site étale Et/X de chaque X ∈ Sm/S. Or, d’après [37, §4, Cor. 1], on dispose d’une équi-valence d’homotopie simpliciale de préfaisceaux K(LL_/S(−))|Et/X // K(Coh(−))|Et/X. On utilise

alors [37, §7, Prop. 3.2] pour conclure.

NotonsGr_S(d|r) la grassmannienne relative surS qui classifie les quotients localement libres de rang r du module libre de rangd +r. On dispose d’une suite exacte universelle de modules localement libres surGr_S(d|r) :

0 // Ud,r // O^d+r // Vd,r // 0.

On a des inclusions évidentes Gr_S(d|r) ,→ Gr_S(1+ d|r) et Gr_S(d|r) ,→ Gr_S(d|r + 1) qui correspondent respectivement àVd,rcomme un quotient deO^1+d+ret àVd,r⊕Ocomme un quotient

Bien entendu, lesui jsont supposés satisfaire à la relation de cocycle habituelle. À un tel uplet, on peut associer par recollement unOX-module cohérent. Les morphismes dans Coh(X) sont alors les morphismes entres lesOX-modules cohérents associés à ces uplets.

deO^d+r+1. Ces inclusions déterminent un système inductif filtrant paramétré par (d,r)∈N×N. La colimite de ce système, prise dans la catégorie des préfaisceaux d’ensembles sur Sm/S, sera notée Gr_S(∞|∞). L’énoncé suivant est essentiellement dû à Morel et Voevodsky (cf. [36, Th. 3.13]). Il apporte toutefois une précision supplémentaire qui sera utile dans la suite. Cette précision figure également dans [39, Prop. 3.1.5].

Theoreme7.11 — Soit S un schéma régulier de dimension de Krull finie. Il existe un isomor-phisme canonique

Z×Gr_S(∞|∞) ^∼ // K(LL_/S(−)) (60)

dansH_•(S)=Ho_A1−Nis(PSh(Sm/S,∆^opEns•)). Pour n∈Zet(d,r)∈N×N, la composition de GrS(d|r)' {n} ×GrS(d|r),→Z×GrS(∞|∞) ^∼ // K(LL_/S(−))

correspond à n−d+[Ud,r]dansK₀(Gr_S(d|r)).

Demonstration SoitXunS-schéma lisse. Notons LL⁰(X) la catégorie exacte ayant LL(X) comme catégorie sous-jacente mais où les suites exactes sont données par les suites exactes courtes scin-dées. On obtient ainsi un préfaisceau de catégories exactes LL⁰_/S(−) sur Sm/S. Le morphisme identité LL⁰_/S(−) // LL_/S(−) fournit un morphisme de préfaisceaux en ensembles simpliciaux pointés :

K(LL⁰_/S(−)) // K(LL_/S(−)). (61)

Lorsqu’on évalue (61) en unS-schéma affine et lisse, on obtient un isomorphisme. (En effet, sur un schéma affine toute suite exacte de modules localement libres est scindée.) Il s’ensuit que (61) est une équivalence Nis-locale.

Par ailleurs, la K-théorie d’une catégorie additive admet une autre description fournie par la construction S⁻¹S de Quillen. Expliquons de quoi il s’agit. SoitCune petite catégorie additive. On note S⁻¹S(C) la catégorie ayant pour objets des couples (A,B) d’objets deCet pour morphismes entre (A,B) et (C,D) les classes d’isomorphismes de triplets (U,a:A⊕U 'C, b:B⊕U 'D). Ce triplet est isomorphe à (U⁰,a⁰:A⊕U⁰'C,b⁰:B⊕U⁰' D) s’il existe un isomorphismee:U 'U⁰ tel quea= a⁰◦(id⊕e) etb= b⁰◦(id⊕e). (Pour plus de détails, le lecteur est renvoyé à [17] ou à [52, Chap. IV, §4].) On pose alors K^⊕(C)= N(S⁻¹S(C)). D’après [17] (voir aussi [52, Chap. IV, Th. 7.1]), il existe un isomorphisme K^⊕(C) ' K(C) dansHo(∆^op(Ens_•)). La construction de cet isomorphisme est suffisamment fonctorielle pour fournir un isomorphisme

K^⊕(LL_/S(X))'K(LL⁰_/S(X)) (62)

dansHo_s(PSh(Sm/S,∆^opEns•)).

On considère à présent les sous-catégories additives pleines L(X) ⊂ LL(X) ayant pour objets les modules libres standardsOⁿ_X pourn ∈ N. On obtient ainsi un sous-préfaisceau de catégories additives L_/S(−)⊂LL_/S(−). D’où un morphisme de préfaisceaux d’ensembles simpliciaux :

K^⊕(L_/S(X)) // K^⊕(LL_/S(X)). (63)

Étant donné que tout module localement libre sur un schéma local est libre, on déduit aussitôt que (63) est une équivalence Nis-locale.

On noteG`n,S le groupe linéaire relatif surS. On dispose d’unclusionsG`n,S ,→G`n+1,S don-nées par− ⊕id. On noteG`_∞,S la colimite suivantn ∈ NdesG`_n,S prise dans la catégorie des préfaisceaux de groupes sur Sm/S. On dispose d’un morphisme évident

a

n∈N

N(G`_n,S) // K^⊕(L_/S(X)). (64)

Sur N(G`<sub>n,S</sub>), il est induit par l’identification deG`_n,S(X) avec end_S⁻¹_S(L(X))(Oⁿ_X,0). D’après [17]

(voir aussi [52, Chap. IV, Th. 4.9]) le morphisme (64) est une groupe-complétion. On déduit alors un isomorphisme

RΩsN(a

n∈N

N(G`_n,S)) ^∼ // K^⊕(L_/S(X)) (65)

dansH•(S). Or, d’après [36, Prop. 3.7 et Prop. 3.10], on a des isomorphismes canoniques Z×Gr_S(∞|∞) ^∼ // Z×NG`∞,S ∼ // _RΩ¹sN(a

n∈N

N(G`n,S)) (66)

dansH_•(S). En composant les isomorphismes (61), (62), (63), (65) et (66) dansH_•(S), on obtient l’isomorphisme (60) de l’énoncé. La seconde assertion découle des constructions. Sa vérification

est laissée au lecteur.

Soit s : S⁰ ,→ S une immersion fermée. On dispose d’un morphisme de préfaisceaux de catégories exactes :

Coh^S_/S⁰(−) // s_∗Coh_/S0(−). (67) EnX∈Sm/S, il est induit par le foncteur exact

− ⊗_OS s∗OS⁰ : Coh^S_/S⁰(X) // Coh_/S0(X×_S S⁰).

En passant à la K-théorie de Quillen, on obtient un morphisme de préfaisceaux d’ensembles sim-pliciaux sur Sm/S :

K(Coh^S_/S⁰(−)) // s∗K(Coh_/S⁰(−)). (68) Le résultat ci-dessous est une conséquence facile (et bien connue) du théorème de Morel et Voe-vodsky [36, Th. 3.13] comme énoncé dans le Théorème 7.11.

Corollaire7.12 — Supposons que S et S⁰sont des schémas réguliers et que la dimension de Krull de S est finie. Alors, le morphisme canoniqueLs^∗K(Coh^S_/S⁰(−)) // K(Coh_/S(−)), déduit de (68)via l’adjonction(Ls^∗,s∗), est inversible dansH•(S⁰).

Demonstration D’après le Lemme 7.9 et le Théorème 7.11, on a un carré dansH•(S) Z×Gr_S(∞|∞) ^∼ //

K(Coh^S_/S⁰(−)) s_∗(Z×Gr_S⁰(∞|∞)) ^∼ // s_∗K(Coh_/S0(−))

où les flèches horizontales sont inversibles. Étant donné que le préfaisceauZ×Gr_S(∞|∞) est une colimite filtrante de préfaisceaux représentables, on a des isomorphismes

Ls^∗(Z×Gr_S(∞|∞))' s^∗(Z×Gr_S(∞|∞))'Z×Gr_S⁰(∞|∞). (69) Autrement dit, le morphisme canonique Ls^∗(Z×GrS(∞|∞)) // Z×GrS⁰(∞|∞) est inversible.

Pour conclure, il suffit donc de savoir que la carré ci-dessus est commutatif. Or, hom_H•(S)

Z×Gr_S(∞|∞),s_∗K(Coh_/S0(−))

= lim

d,r∈N

hom_H•(S)

Z×Gr_S(d|r),s_∗K(Coh_/S0(−)) . Ceci découle de [39, Lem. 1.2.1 et Lem. 1.2.10] en utilisant l’adjonction (Ls^∗,s∗), l’isomorphisme (69) et le Théorème 7.11. On est ainsi ramené à montrer que les carrés

{n} ×GrS(d|r) //

K(Coh^S_/S⁰(−)) s∗({n} ×GrS⁰(d|r)) // s∗K(Coh_/S0(−))

commutent pour tous les triplets (n,d,r) ∈ Z×N×N. Ceci découle trivialement de la seconde

partie du Théorème 7.11.

Dans la suite, on prendra pour RΩ¹s(X) l’ensemble simplicial singulier associé à l’espace des lacets dans la réalisation topologique deX ∈∆^op(Ens•). On dispose alors d’une loi de composition interne

+:RΩ¹s(X)×RΩ¹s(X) // _RΩ¹s(X), (70) fonctorielle en X, induite par la concaténation des lacets. Le lacet constant induit un morphisme d’ensemble simpliciaux 0 : ∆⁰ // Ω¹s(X) qui est une unité à homotopie près pour la loi (70).

Autrement dit, on a des homotopies simpliciales 0+id_RΩ1

s(X)∼id_RΩ1

s(X)et id_RΩ1

s(X)+0∼id_RΩ1 s(X)

qui sont d’ailleurs fonctorielles enX. La loi (70) admet aussi des inverses canoniques à homotopie près. Ainsi on a un morphisme invX :RΩ¹s(X) // _RΩ¹s(X) et des homotopies id_RΩ¹_s(X)+invX ∼0 et invX +id_RΩ¹

s(X) ∼ 0 ; le tout est fonctoriel en X. Le morphisme composé+◦(id_RΩ¹

s(X)×invX) sera simplement noté

−:RΩ¹s(X)×RΩ¹s(X) // _RΩ¹s(X). (71) Lui aussi, il est fonctoriel enX.

Étant donnée une catégorie exacteE, l’espace deK-théorie de Quillen K(E) = ^RΩ¹s(N(Q(E))) acquiert les structures décrites ci-dessus. De plus, elles sont fonctorielles en les foncteurs exacts.

Nous utiliserons ceci pour construire des T-spectres de K-théorie K(LL_/S(−)), K(Coh^Z_/S(−)) et K(Coh_/S(−)). La construction étant la même dans les trois cas, nous nous concentrerons sur celui du préfaisceau Coh^Z_/S(−). Nous prendrons pourTS le remplacement projectivement cofibrant du préfaisceau pointé (P¹_S,∞_S) donné par∆¹`

∆⁰P¹_S pointé par 0 ∈ ∆¹; la somme amalgamée est prise suivant 1 : ∆⁰ → ∆¹ et ∞ : ∆⁰ → P¹_S. Pour X ∈ Sm/S, on dispose de deux foncteurs exacts f⁰_X, f¹_X : Coh^Z_/S(X) // Coh^Z_/S(P¹X). Siπ:P¹X // Xest la projection évidente etO_P¹

X(1) est leO_P¹

X-module tautologique surP¹_X, alors f⁰_X =π^∗(−) et f_X¹ =O_P¹

X(1)⊗_O

P1 X

π^∗(−). On en déduit deux morphismes de préfaisceaux d’ensembles simpilciaux

f⁰, f¹: K(Coh^Z_/S(−)) // hom(P¹_S,K(Coh^Z_/S(−))).

En utilisant (71), on peut alors former le morphisme de préfaisceaux d’ensembles simpliciaux f⁰−f¹: K(Coh^Z_/S(−)) // hom(P¹S,K(Coh^Z_/S(−))).

Le choix d’une identification∞^∗(O_P¹)=∞^∗(O_P¹(1)) fournit une homotopie simpliciale entre l’ap-plication nulle et la composition de

K(Coh^Z_/S(−))^f

0−f¹//hom(P¹_S,K(Coh^Z_/S(−))) ^∞

∗ //K(Coh^Z_/S(−)).

Il s’ensuit un morphisme canonique

γ⁰: K(Coh^Z_/S(−)) // hom(TS,K(Coh^Z_/S(−))). (72) LeT-spectreK(Coh^Z_/S(−)) est donné en tout niveau par K(Coh^Z_/S(−)) et admet le morphismeγ : T_S∧K(Coh^Z_/S(−)) // K(Coh^Z_/S(−)), déduit par adjonction de (72), pour morphisme d’assemblage.

Proposition 7.13 — Soit S un schéma régulier de dimension de Krull finie. Le T -spectre K(Coh^Z_/S(−)) est projectivement stablement (A¹,Nis)-fibrant. Il en est de même de K(LL_/S(−)) etK(Coh_/S(−)).

Demonstration Vue la Proposition 7.10, il reste à montrer que (72) est une équivalence d’ho-motopie de préfaisceaux simpliciaux. Ceci est une conséquence immédiate du théorème du fibré

projectif (cf. [37, §8, Th. 2.1]).

Soit t : T ,→ S une immersion fermée. Pour tout X ∈ Sm/S, le foncteur « image directe » (idX×St)∗: Coh_/T(X×S T) // Coh_/S(X) est exact. On a donc un morphisme de préfaisceaux de catégories exactest∗: Coh_/T(−) // Coh_/S(−) qui induit un morphisme deT-spectres

t∗K(Coh_/T(−)) // K(Coh_/S(−)). (73) On a le résultat suivant qui n’est rien de plus qu’une reformulation de la pureté de Quillen en K-théorie algébrique des schémas.

Lemme7.14 — Soit t:T ,→S une immersion fermée entre schémas réguliers de dimension de Krull finie. Alors, le morphismeK(Coh_/T(−)) // t^!K(Coh_/S(−)), déduit par l’adjonction(t∗,t^!) du morphisme(73), est un isomorphisme dansSH(T).

Demonstration Soit j :U ,→ S l’immersion ouverte complémentaire àt. Vu queK(Coh_/U(−)) est projectivement stablement (A¹,Nis)-fibrant (cf. la Proposition 7.13), on a un isomorphisme

j∗K(Coh_/U(−)) ' Rj∗K(Coh_/U(−))= ^Rj∗j^∗K(Coh_/S(−)). D’après [4, Prop. 1.4.9], il suffit donc de montrer que le morphisme canonique

t∗K(Coh_/T(−)) // HoFibn

K(Coh_/S(−))→ j∗K(Coh_/U(−))o

est inversible dansSH(S). Il suffit de faire cela niveau par niveau et au-dessus deX ∈ Sm/S. Si Y = X×S T etV= X×S U, il suffit alors de montrer que

K(Coh(Y)) // HoFib

K(Coh(X))→K(Coh(V))

est une équivalence d’homotopie. Ceci découle aussitôt de [37, §5, Th. 4 et Th. 5].

Remarque 7.15 — Strictement parlant, leT-spectreK(Coh_/S(−)) n’est pas un objet de la catégo-rieSH_M(S) (pourM= Spt^Σ

S¹(∆^opEns•)) construite et étudiée dans [5, Chap. 4] (cf. l’Annexe A).

C’est plutôt un objet de la catégorieSH(S) construite par Jardine dans [27]. Toutefois, en pratique, il n’est pas dangereux de confondre ces deux catégories. En effet, le foncteur

Spt_T(PSh(Sm/S,∆^opEns•)) // Spt_T(PSh(Sm/S,Spt^Σ

S¹(∆^opEns•))),

induit par le foncteur de suspension infinie au niveau des ensembles simpliciaux, est une équiva-lence de Quillen à gauche. Il induit alors une équivaéquiva-lence entre la catégorieSH(S) de [27] et celle de [5]. Dans la suite, nous passerons sous silence cette distinction.

Theoreme7.16 — Soit S un schéma régulier. Alors,K(Coh_/S(−))∈SH(S)est pur relativement à tout carré transversal d’immersions fermées(C)comme dans leThéorème 7.4.

Demonstration On a un carré commutatif deT-spectres : t∗K(Coh^T_/T⁰(−)) //

t∗s⁰_∗K(Coh_/T⁰(−)) K(Coh^S0_/S(−)) //s_∗K(Coh_/S0(−)).

(74)

Les flèches verticales sont induites par les foncteurs images directes

(idX×t)∗: Coh^T_/T⁰(X×_S T),→Coh^S_/S⁰(X) et (idX⁰×t⁰)∗: Coh_/T0(X⁰×_S⁰T⁰),→Coh_/S0(X⁰) avec X ∈ Sm/S et X⁰ ∈ Sm/S⁰. Les flèches horizontales sont induites par les foncteurs images inverses

(idY×s⁰)^∗: Coh^T_/T⁰(Y) // Coh_/T⁰(Y×_T T⁰) et (idX×s)^∗: Coh^S_/S⁰(X) // Coh_/S⁰(X×_S S⁰) avecY ∈Sm/T etX ∈Sm/S.

En utilisant les adjonctions (t∗,t^!) et (t_∗⁰,t^0!), on obtient un diagramme commutatif K(Coh^T_/T⁰(−))

∼ // s⁰_∗K(Coh_/T0(−))

∼

t^!K(Coh^S_/S⁰(−)) //t^!s∗K(Coh_/S⁰(−)) ^∼ //s⁰_∗t^0!K(Coh_/S⁰(−))

où les flèches verticales sont inversibles d’après le Lemme 7.14. En utilisant les adjonctions (s^∗,s∗) et (s^0∗,s⁰_∗), on obtient le diagramme commutatif

Ls^0∗K(Coh^T_/T⁰(−)) ^(a) //

∼

K(Coh_/T⁰(−))

∼

Ls^0∗t^!K(Coh^S_/S⁰(−)) ^{E x}

!∗//t^0!Ls^∗K(Coh^S_/S⁰(−)) ^(b)//t^0!K(Coh_/S⁰(−)).

Le Corollaire 7.12 et la construction des foncteurs « image inverse » montrent que les morphismes (a) et (b) ci-dessus sont inversibles. Il vient que le morphismeE x^!∗ci-dessus est inversible. Ceci

termine la preuve du théorème.

Dans la suite, nous notonsBGL_S un objet dansSH(S) qui représente laK-théorie algébrique des schémas lisses au-dessus d’une base régulièreS, i.e., qui est isomorphe àK(Coh_/S(−)). On pourra prendre par exemple leT-spectre introduit par Voevodsky (cf. [49, §6.2]).

Dans la suite, nous notonsBGL_S un objet dansSH(S) qui représente laK-théorie algébrique des schémas lisses au-dessus d’une base régulièreS, i.e., qui est isomorphe àK(Coh_/S(−)). On pourra prendre par exemple leT-spectre introduit par Voevodsky (cf. [49, §6.2]).

Dans le document LA RÉALISATION ÉTALE ET LES OPÉRATIONS DE GROTHENDIECK par Joseph Ayoub (Page 44-55)