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concepção vem ao encontro da noção kantiana da M como "construção de conceitos", sendo designada por intuicionismo. Os seus aderentes convivem com a polémica antiformalística de Poincaré, referida na obra de Kronecker (1887), evidenciada na tendência empirista de alguns matemáticos franceses (Borel, Lebegue, Bayre), e pelo filósofo vienense F. Kaufmann e outros.

Segundo Brouwer, um dos principais representantes do intuicionismo, a M identifica-se com a parte exacta do pensamento humano; exigindo, de preferência, uma intuição que permita colher a evidência dos conceitos e das conclusões.

Portanto, as conclusões não devem derivar de regras fixas contidas num sistema formalizado, mas cada conclusão deve ser directamente controlada com base na sua própria evidência. Sob este ponto de vista, o procedimento de demonstração matemática não tem em vista a dedução lógica mas a construção de um sistema matemático.

Brouwer insiste no facto de que também no caso de uma demonstração de impossibilidade, obtida pondo-se em vista uma contradição, o uso do princípio de contradição2 é somente aparente: na realidade, trata-se da afirmação de que uma construção matemática que devia satisfazer certas condições não é realizável. Heyting (1934), por sua vez, demonstrou, seguindo as pegadas do próprio Brouwer, que enquanto o princípio de contradição pode ser utilizado, o mesmo não acontece com o principio do terceiro excluído34 (Wíss., 1930). O intuicionismo, definindo a M como a ciência das construções possíveis não faz, entretanto, apelo, como fazia Kant, a uma intuição, a priori do espaço, nem a forma alguma de intuição empírica ou mística. A construção de que fala o intuicionismo é uma construção conceptual que não se refere a factos empíricos.

Assim, resumiu Heyting o ponto de vista de Brouwer:."1 - a M pura é uma criação livre do espírito e não tem em si re1ação alguma com os factos de experiência; 2- a simples constatação de um facto de experiências contém sempre a identificação de um sistema

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Segundo Morin (...) o princípio de contradição (isto é, de não contradição) afirma a impossibilidade de um mesmo atributo pertencer e não pertencer a um mesmo sujeito, ao mesmo tempo e com a mesma relação: A não pode ser conjuntamente B e não B.(1991:154)

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O princípio do terceiro excluído afirma que toda a proposição dotada de significado é verdadeira ou falsa; que, entre duas proposições contraditórias, só uma pode ser retida como verdadeira: A é ou B ou não B.(Morin, 1991:154)

matemático; 3- o método da ciência da natureza consiste em reunir os sistemas matemáticos contidos nas experiências isoladas num sistema puramente matemático construído com este fim(...)” (id.:.618).5

Tendo-se em mente estas conclusões, vê-se que a separação entre formalismo e intuic ionismo não é tão radical como pareceria. Em primeiro lugar, para os intuicionistas o objecto próprio do procedimento matemático é um objecto formal, cuja possibilidade é determinada por regras formais. Por outro lado, os limites do formalismo evidenciados pelo teorema de Godel, valorizam as propostas do intuicionismo matemático.

Entretanto, “não pode descurar-se o valor da faceta linguística da M, indicando, assim, a importância da lógica na matemática, o que leva a crer num certo ecletismo no pensamento matemático contemporâneo” (id.617). Entretanto, e segundo Abbagnano (1982: 617), sob o ponto de vista filosófico, isto é, dos conceitos de base e das orientações gerais de pesquisa, a diferença entre as definições enunciadas permanece importante. Esta permite entender a origem das características do desenvolvimento da educação matemática, que, de seguida, iremos abordar com a ajuda de Ernest (1991), entre outros.

1.2- Verdade, significado e certeza sobre Matemática

Tal como refere Ernest (1991), a muitos dos aspectos da educação matemática subjazem suposições filosóficas da Matemática.

Assim, considera-se cada vez mais importante perceber as discussões filosóficas que se têm trilhado com vista a uma mudança significativa da abordagem da M e da Educação M já que prevalecem formas de ensino e de aprendizagem, cuja orientação se fundamenta nas atrás referidas, datadas de meados do séc XX, se não mesmo anteriormente.

Na primeira parte, tentou-se perceber, em linhas muito gerais, quais as principais definições filosóficas que se desenvolveram até meados do século XX sobre a

Matemática, cuja alusão aparece nos discursos, de diversos autores, das ideias actuais sobre a M

No entanto, nem todos os estudiosos da M enfileiram em alguma das correntes atrás citadas, pelo que, na continuação desta análise, reflectir-se-á sobre a obra citada de Ernest, cujo propósito é criticar a perspectiva epistemológica dominante de M, ou seja, as visões absolutistas, segundo as quais, a verdade matemática é absolutamente certa, sendo o único domínio de conhecimento objectivo, certo e inquestionável (ibid: 3). Opondo-se a esta forma de ver a M , o referido autor contrapõe visões falibilistas, já que advoga uma verdade matemática corrigível e que não está, por isso, acima da possibilidade de ser revista.

É interessante notar que o autor explica que assume a definição da verdade matemática como não problemática nem ambígua, já que o significado deste conceito tem vindo a alterar-se ao longo do tempo e, portanto, apresenta três conceitos de verdade matemática. (ib. : 20), como explicita:

“(…) We can distinguish between three truth-related concepts used in mathematics:

a) There is the traditional view of mathematical truth, namely that a mathematical truth is a general statement which not only correctly de- scribes all its instances in the world (as does a true empirical generalisa- tion), but is necessarily true of its instances. Implicit in this view is the as- sumption that mathematical theories have an intended interpretation, namely some idealization of the world.

b) There is the modern view of the truth of a mathematical statement relative to a background mathematical theory: the statement is satisfied by some interpretation or model of the theory. According to this (and the fol- lowing) view, mathematics is open to multiple interpretations, i.e., possible worlds. Truth consists merely in being true (i.e., satisfied, following Tarski, 1936) in one of these possible worlds

c) There is the modern view of the logical truth or validity of a mathe- matical statement relative to a background theory: the statement is satisfied by all interpretations or models of the theory. Thus the statement is true in all of these possible worlds.

O mesmo autor evidencia as interrelações entre estes conceitos: a verdade, no sentido (c), pode ser estabelecida por dedução, a partir de uma base teórica como um conjunto de axiomas. Numa dada teoria, as verdades no sentido (c) são um subconjunto das verdades no sentido (b).A falta de completude surge (como provou Godel, 1931)em muitas teorias matemáticas, pelo que há declarações verdadeiras no sentido (b), ou seja, aceitáveis, que não o são no sentido (c) Por isso, não só existem múltiplos sentidos no

Além disso, a perspectiva matemática actual sobre verdade diferencia-se da visão tradicional matemática sobre esse conceito (a), e da visão do senso comum sobre o termo, a qual se parece com esta. Numa visão ingénua as verdades são declarações que descrevem com precisão as questões (como relacionamentos) em algumas esferas de discursos. Assim, os termos que exprimem o verdadeiro nome dos objectos ao nível do discurso e a afirmação como um todo, descreve o verdadeiro sentido do assunto, a relação que existe entre as denotações dos termos.

Isto mostra que o conceito de verdade empregue na ciência matemática já não tem o mesmo significado quotidiano, do senso comum, ou seu equivalente (a) utilizado no passado (Richards, 1980, 1989). Assim, e em consequência destas tomadas de posição, o problema tradicional da verdade fundamental da M mudou, tal como a própria definição de verdade, como continua o autor “A consequência disto é que o problema tradic ional relacionado com o estabelecimento de fundações indubitáveis da verdade matemática mudou, bem como a própria definição de verdade empregue. Em particular, a defesa de que uma afirmação é verdadeira no sentido (b) é mais fraca que nos sentidos (a) ou (c). “1 + 1 = 1” é verdade no sentido (b) (é satisfeito em álgebra boleana, nas não no sentido (a) onde assume a interpretação de Peano) (Ernest, 1991: 20)

Relativamente a este assunto, Morin explicita:

“Só há certeza lógica a baixos níveis de demonstração e mesmo estes baixos níveis podem ter as suas armadilhas, como demonstra o paradoxo de Epiménides.

Portanto:

- um sistema explicativo não pode explicar-se a si próprio; - um principio de elucidação é cego em relação a si próprio; - o que define não pode ser definido por si próprio.

(...) Toda a descoberta de uma limitação abre, paradoxalmente, uma nova via ao conhecimento. A via aberta é indicada com muita clareza por Godel e Tarski.

(...) O teorema de Godel desemboca na ideia de que a demonstração da consistência do sistema pode fazer-se eventualmente recorrendo a um meta- sistema comportando processos de demonstração que são exteriores ao sistema. Assim, foram efectivamente feitas demonstrações de não contradição por sistemas submetidos ao teorema de Godel, como a demonstração da não contradição da aritmética. Mas um meta-sistema comporta ele próprio enunciados que aí são indecidíveis, e seria necessário um meta-meta-sistema onde voltassem a ser colocados os mesmos problemas a um nível superior. Isto equivale a dizer que a brecha godeliana é também uma abertura..

Tarski, por seu lado, chega a um resultado análogo estudando o problema da verdade nas linguagens formalizadas (Tarski, 1972, t. 1, pp. 157-269). Ele demonstra a inconsistência das linguagens semanticamente fechadas (isto é,

aquelas em que todas as proposições que determinam o uso adequado dos termos podem ser afirmadas nessa linguagem), e que o conceito de verdade relativo a uma linguagem não é representável nessa linguagem; mas demonstra igualmente que se podem tomar decidíveis todos os enunciados de uma linguagem com a condição de os colocar numa metalinguagem mais rica (...) a dita metalinguagem comportaria por sua vez enunciados indecidíveis, e requereria uma meta-metalinguagem, e assim até ao infinito(...)

Portanto, Godel e Tarski mostram-nos conjuntamente que todo o sistema conceptual inclui necessariamente questões às quais só se pode responder do exterior do sistema. Daí resulta a necessidade de nos referirmos a um meta- sistema para considerar um sistema (…) isto significa que há uma possibilidade de ultrapassar uma incerteza ou uma contradição constituindo um meta- sistema: este deve abarcar em si o sistema (a teoria), mas ao mesmo tempo também deve ser mais rico (enriquecido por variáveis de ordem superior6) e incluir necessariamente em si termos e uma problemática lógica que ofereçam a defin ição da verdade para o sistema (teoria)- objecto considerado (...)”(Morin, 1991:166)

1.3- Das Perspectivas Absolutistas às Perspectivas “Falibilistas” da Matemática

A partir de questões levantadas por si próprio como: o que é a base do pensamento matemático? Qual é a natureza da verdade matemá tica? Que caracteriza as verdades matemáticas? Ernest expõe criticamente algumas filosofias absolutistas da Matemática, integrando-as em três escolas principais (id. :9):

- o logicismo que encara a Matemática pura como uma parte da lógica, cujos

proponentes são como já atrás se viu, Leibniz , Frege (1893), Russell (1919), Whitehead and Carnap (1931) O autor refuta as propostas de considerar a lógica como o pilar fundador do pensamento matemático através de várias argumentações, das quais se destaca o teorema de Godel “ Kurt Godel’s Incompletness Theorems” (id: 10), que estabelece que a prova dedutiva é insuficiente para demonstrar todas as verdades matemáticas;

- o formalismo, que tem como proponentes Hilbert (1925), Von Neumann (1931),

Berkeley and Curry (1951) cujas teses afirmam que a matemática pode ser expressa por um sistema formal no qual as verdades da matemática são representadas por teoremas formais, os quais podem ser demonstrados, na sua livre inconsistência, através da meta-matemática (ibid). Tais teses foram refutadas, já que nem todas as verdades matemáticas podem ser representadas por teoremas nos sistemas formais,

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Morin refere Tarski (1972) que diz: “Todas as proposições construídas segundo o método de Godel têm uma propriedade tal que se pode verificar, no terreno da metaciência de uma ordem superior e com a condição de ela conter uma definição correcta da verdade, se são verdadeiras ou falsas, e encontrar

como por exemplo “os axiomas aritméticos de Peano” (id: 11), nem os próprios sistemas podem ser completamente garantidos;

- - o construtivismo (integrando o intuicionismo), cujas teses remontam a Kant and

Kronecker (id:11), tem como principais proponentes os intuicionistas Brower (1913), Heyting (1931, 1956), o matemático Bishop (1967) e outros que subscrevem um intuicionismo mais ou menos liberal construtivista como Lorenzen, Bishop, Kreisel and Martin- Lof (ibid) que clamam que tanto as verdades matemáticas como os objectos matemáticos podem ser estabelecidos através de métodos construtivos em oposição aos métodos que propõem provas pela contradição. Assim, o conhecimento matemático deve ser estabelecido através de provas baseadas numa lógica restrita construtivista e o significado dos termos/objectos matemáticos através de procedimentos formais pelos quais eles foram construídos, mantendo-se, por isso, uma concepção da matemática como o estudo construtivo dos processos baseados no papel e lápis, numa visão intuicionista deixada por Brower, que valoriza um primeiro conhecimento subjectivo, seguido da sua transcrição no papel.

Tal como refere Ernest, as visões absolutistas da matemática foram sujeitas a um severo e irrefutável criticismo, pelo que a sua rejeição conduzindo a visões falibilistas da matemática, já que se considera que a sua “verdade” é falível e corrigível (tal como em outra ciência). A teoria falibilista integra duas formas equivalentes: uma negativa que adopta a rejeição do absolutismo, pois considera que o conhecimento matemático não é uma verdade absoluta e portanto, não tem uma validade absoluta; outra positiva que diz que “o conhecimento matemático é corrigível e perpetuamente aberto à revisão” (ibid.:18). Para suportar esta visão da M o autor socorre-se de uma selecção bibliográfica constituída por lógicos, matemáticos e filósofos, cujas asserções apoiam a assunção desta teoria, começando por Lakatos (1978) que se refere aos últimos trabalhos de Russell, Frenkel, Carnap, Weyl, von Neumann, Bernays, Church, Godel, Quine, Rosser, Curry, Mostowski and Kalmar, para demonstrar a sua visão comum em relação “à impossibilidade da certeza completa” nas matemáticas e, em muitos casos, o seu acordo em que o conhecimento matemático tem uma base empírica, implicando, portanto, uma rejeição ao absolutismo.

Por outro lado, Sierpinska7 refere-se a Lakatos dizendo:

“Es probable que Lakatos había leído y estuvo influenciado por el trabajo de Wittgenstein. Lakatos elaboró su aproximación al desarrollo del conocimie n- to matemático en sus Pruebas y Refutaciones. En otros escritos sobre la natu- raleza de las matemáticas Lakatos (1978) propuso que las posiciones clásicas llamadas Logicismo, Intuicionismo y Formalismo eran programas Euclideos, centrados en desarrollar las matemáticas como sistemas que aseguran la transmisión de la verdad desde axiomas indudables, por medio de ciertos procedimientos deductivos, hasta enunciados igualmente seguros. Argumen- tó que, por el contrario, la matemática procede de un modo similar a la cie n- cia, un cuasi-empiricismo, en la que la falsedad de los contraejemplos a las conjeturas se retransmite a los axiomas y definiciones. Si algo que se consi- dera como un enunciado básico resulta ser falso en virtud de los axiomas y definiciones admitidas, en lugar de rechazar el enunciado, los axiomas y las definiciones se cambian para que se ajusten a dicho enunciado”

Note-se que, logo na abertura desta sua obra Ernest (op.cit) refere que a filosofia da Matemática está no centro de uma revolução Kuhniana “the philosophy of mathematics is in the midst of a Kuhnian revolution” (ib.xi). Este autor (Kuhn, 1970) apresenta uma argumentação, fortemente assente em bases históricas, precedida por Fleck e influenciada por Popper (Matos, 1996: 94), em que propõe que as ciências não evoluem por melhoramentos sucessivos como se acreditava até aos anos sessenta sec. XX, que o conhecimento cie ntífico não é cumulativo, construindo-se por saltos que designa por revoluções científicas8. Estas revoluções destroem as teorias anteriores dando lugar a novas teorias. Esta teoria sofreu a influência de Popper (1970) que propõe, como forma de permitir à ciência uma metodologia adequada de trabalho, que a ciência nunca atingirá a verdade, antes procura estabelecer vários modelos que, sistematicamente, procura falsificar, já que a verdade destes é impossível de atingir. Sendo assim, estes modelos seriam apenas provisórios, sendo apenas aceites enquanto não surgem outros que os substituam (Matos, 1996: 95).

Assim, Ernest conclui que a rejeição do absolutismo não deve ser vista como o varrimento das matemáticas “from de Garden of Eden”, 9do domínio da certeza e da

7 _{SIERPINSKA and LERMAN (1996). Epistemologies of mathematics and of mathematics education.}

(pp. 827-876) (Traducción parcial de Juan D. Godi no)

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Ver Kunh (1983). La structure des révolutions scientifiques

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“The rejection of absolutism should not be seen as a banishment of mathematics from the Garden of Eden, the realm of certainty and truth. The 'loss of certainty' (Kline, 1980) does not represent a loss of knowledge.There is an illuminating analogy with developments in modern physics. General Relativity Theory requires relinquishing absolute, universal frames of reference in favour of a relativistic perspec-

verdade, já que, “a perda da certeza” (Kline,1980) não significa uma perda do conhecimento (Ernest, 1991:20)

O autor estabelece um paralelismo entre a matemática e a física, reportando-se à grande revolução que se fez sentir nesta ciência ao longo do século XX.

Como refere Durand (Durand, 1982: 46) a Teoria Geral da Relatividade de Einstein, segundo a qual “um objecto não é independente do sistema que o comporta”, o Princ ípio da Incerteza de Heisenberg, segundo o qual “a passagem à prática da observação do objecto em microfísica modificava automaticamente o objecto estudado”, assim como a mecânica quântica de Plank, vieram trazer grandes alterações à certeza da ciência exacta e imutável como a física era considerada.

Então, Ernest (ibid:20) afirma que “a Relatividade e a Incerteza na Física representam maiores avanços no conhecimento, avanços esses que nos levam aos limites do conhecimento”. Da mesma forma, continua o autor, à medida que o nosso conhecimento da Matemática vai ficando melhor fundamentado e mais aprendemos sobre as suas bases, melhor nos apercebemos que as visões absolutistas são uma idealização, um mito, representando isto um avanço no conhecimento e não um recuo à antiga certeza.

1. 4- O Social Construtivismo como Filosofia da Matemática

Ernest (id.:42) propõe o Social Construtivismo como filosofia Matemática, dado que esta corrente vê a matemática como uma construção social, a sua visão falibilista provem da faceta quase- empírica do conhecimento matemático, vendo este e os seus conceitos com possibilidade de desenvolvimento e mudança. Tem, portanto, como pontos de partida que suportam as suas teses e justificam o seu nome os seguintes: (i) as bases do conhecimento matemático são conhecimento linguístico, convenções e regras, e a linguagem é uma construção social; (ii) são necessários processos interpessoais sociais para conseguir um conhecimento matemático subjectivo mined measurements of position and momentum for particles also has had to be given up. But what we see here are not the loss of knowledge of absolute frames and certainty. Rather we see the growth of knowledge, bringing with it a realization of the limits of what can be known. Relativity and Uncertainty in physics represent major advances in knowledge, advances which take us to the limits of knowledge (for so long as the theories are retained).

Likewise in mathematics, as our knowledge has become better founded and we learn more about its basis, we have come to realize that the absolutist view is an idealization, a myth. This represents an ad- vance in knowledge, not a retreat from past certainty. The absolutist Garden of Eden was nothing but a fool's paradise.

individual, que após publicação é aceite como conhecimento matemático objectivo; (ii) a própria objectividade é percebida como tal, por ser social.

Assim, o social construtivismo relaciona o conhecimento objectivo com o subjectivo, num ciclo em que o contributo de cada um é a renovação do outro. O conhecimento objectivo é interiorizado e reconstruído pelos indivíduos em interacção social, durante as aprendizagens matemáticas para se tornar conhecimento subjectivo desses indivíduos. Usando esse conhecimento, os indivíduos criam e publicam novos conhecimentos, pelo confronto das várias perspectivas individuais, que simultaneamente influenciam e são influenciadas, completando assim um ciclo de criação e recriação contínuo.

Segundo o mesmo autor, o pensamento matemático de um indivíduo (com ambos os processos e seus produtos, conhecimento matemático) é pensamento subjectivo, e conhecimento globalmente aprendido - isto é, objectivo e reconstruído - mas sujeito a um certo poder limite, resultando o processo de reconstrução em representações subjectivas únicas de conhecimento matemático. Além disso, os indivíduos usam este