3. M ACHINES SOUPLES : IDENTIFICATION DES COUPLAGES AVEC LE PROCEDE Table des matières
3.3. Mise en place de protocole d‘identification du modèle élasto statique Au cours de ces dernières années, deux protocoles ont été mis en place afin d‘identifier
la matrice de raideur des robots. Le premier est basé sur l‘application d‘un effort (ici une masse) puis d‘une mesure du déplacement, et le second à l‘inverse nous imposons un déplacement et mesurons un effort d‘application.
Mais présentons préalablement le modèle issu de la littérature. a Modèle et principe d’identification
Afin d‘écrire le modèle élasto-statique, nous posons d‘abord la matrice des raideurs apparentes, tel que :
[ ]
Eq. 40
En reprenant, la démarche définie par Chen [40], et comme décrit dans la thèse de Claire Dumas, on peut établir une relation entre la matrice de raideur cartésienne et la matrice des raideurs apparentes . Dans cette relation intervient aussi la matrice jacobienne et la matrice de raideur complémentaire .
K J
K K J
Eq. 41 Avec * + Eq. 42Lorsqu‘une force et/ou un moment est/sont appliqué(s) sur l‘effecteur du robot, le vecteur n‘est pas nulle et a une influence sur la matrice de raideur cartésienne . Il est donc nécessaire de la prendre en compte et de ne pas se limiter au modèle proposé par Salisbury développé en 1982 et communément utilisé.
Afin d‘identifier les raideurs , nous imposons un chargement et nous mesurons le déplacement . Nous avons la relation reliant ces paramètres.
K
Eq. 43L‘approche directe est d‘effectuer une optimisation de l‘ensemble tel que proposé par [38]. La difficulté dans ce type d‘approche est l‘existence de minima locaux. Le point de départ choisi détermine la solution trouvée. Donc on peut trouver des jeux de réponses différentes pour un même jeu d‘entrées. Il existe bien évidement des méthodes d‘optimisation permettant de minimiser ce risque.
L‘autre voie est de simplifier le modèle, afin de parvenir à une solution plus directe. On peut exprimer ce problème de la manière suivante : est un terme nous empêchant de linéariser notre problème et donc de simplifier sa résolution. Sans pour autant le faire disparaitre, existe-t-il des configurations ou est négligeable? Et dans cette éventualité, quelle erreur commettons-nous ?
Afin d‘être capable de statuer sur ces deux questions, nous avons défini deux critères. Pour mettre en place une méthode afin d‘évaluer le déplacement sous charge, deux éléments nous intéressent : la position de l‘effecteur et son orientation. Afin de comparer les écarts, nous calculerons donc la position du point avec soit et sans ̅̅̅̅. Idem pour les rotations, nous calculerons les petites rotations et ̅̅̅̅ autour de l‘axe i avec et sans . Afin de normaliser ces résultats, nous définissons les deux critères suivant :
|
K̅̅̅̅|K̅̅̅̅
Eq. 44
(|
K̅̅̅̅| |
K̅̅̅̅| |
K̅̅̅̅|) Eq. 45
Pour évaluer ces critères, nous avons imposé un vecteur de chargement maximal pour le robot afin d‘augmenter l‘impact de Les valeurs des axes du poignet ont été imposées à 45° pour s‘écarter au plus des singularités. L‘axe a été imposé à 0 car il est indifférent pour un chargement vertical. Les valeurs des ont été choisies à l‘aide de la littérature.
[ ]
figure 93 : Iso contours de (a) et (b) dans l’espace articulaire du robot
Ces graphes nous permettent de conclure qu‘il existe des zones pour lesquelles on peut négliger devant . L‘erreur commise dans ces zones sera très faible. Pour simplifier notre problème d‘identification, nous pouvons donc choisir des configurations dans ces zones dès lors le modèle est simplifié[44]. On peut écrire :
K J
K J
Eq. 46On en déduit alors
(J
K J
)
J K
J
Eq. 47Le deuxième point qu‘il faut aborder dans le cas d‘une identification est sa sensibilité. En effet, on sait que
Eq. 48
Les couples vue par les moteurs pour un vecteur imposé dépendent de la Jacobienne, et donc de la position du robot. Il existera donc des configurations optimales pour l‘identification de ces paramètres. Il ne faut pas qu‘une petite variation du vecteur induise de grandes variations sur , car nous aurions alors une grande incertitude sur l‘identification des raideurs.
Afin d‘analyser le conditionnement de la Jacobienne, nous allons utiliser une méthode communément utilisée : maximiser . Dans cette expression, représente la norme de Frobenius et la Jacobienne normalisée. On définit la norme de Frobenius d‘une matrice M comme :
M √ (M M) *(M M)
+
Eq. 49La matrice est la Jacobienne normalisée. En effet, la Jacobienne manipule des données de grandeurs différentes (longueur et orientation). On normalise celle-ci à l‘aide d‘une longueur caractéristique L.
[
]
Eq. 50Ce qui nous intéresse est une localisation relative afin d‘identifier les zones où la matrice est la mieux conditionnée, le protocole n‘est donc pas sensible à L, même si cette dernière est nécessaire. Afin de déterminer cette zone, nous avons comme pour l‘analyse de Kc, concentré notre observation sur et .
figure 94: Iso contours du conditionnement inverse de :
Sur ces deux graphes, on voit apparaître les zones où la Jacobienne est la mieux conditionnée, les essais pour l‘identification devront être choisis dans ces zones.
Revenons à notre problème simplifier, et extrayons les compliances articulaires sous forme d‘un vecteur. D‘après l‘équation Eq. 47, en développant on obtient :
[
∑ (
∑
)
∑ (
∑
)
]
Eq. 51Avec ⁄ , on peut alors ré écrire cette expression avec le vecteur des souplesses,
x * ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ +
A.x
Eq. 52 Ou∑
Eq. 53
Dans cette expression, la matrice A est définie par les positions du robot et le chargement, elle est donc entièrement connue pour un essai donné.
Dans cette configuration, le résultat pour un essai est direct, six équations, six inconnues. Le fait d‘utiliser un unique essai n‘est pas satisfaisant, car la probabilité d‘être proche de la valeur vraie est assez faible.
Nous avons donc choisi d‘utiliser la matrice pseudo-inverse proposée par Golub & Van Loan (1983) qui permet d‘effectuer cette résolution en identifiant 6 inconnues avec nx6 équations, avec une minimisation des moindres carrés. Le système donne l‘optimum en écrivant :
(B B)
B
Eq. 54 Avec[
]
[
]
Eq. 55Ou est la matrice 6x6 de l‘essai p et sa déformée mesurée. b Application à l’identification d’un KR270
Nous avons donc défini le protocole, pour lequel nous disposons d‘un effecteur permettant à l‘aide d‘une masse d‘appliquer le torseur (force + couple). La position de
l‘orientation de celui-ci à l‘aide un tracker laser. Le robot est mis en configuration, sa position est mesurée freins non serrés (la raideur est différente dans le cas des freins serrés). On applique ensuite la charge, et on vient ensuite à nouveau mesurer les trois cibles. La charge est mesurée ainsi que le point d‘application. Un certain nombre de contraintes mécaniques a été ajouté lors du choix des essais. Pour ce qui est de l‘axe 1, nous sommes obligés de mettre en place des essais supplémentaires permettant de tirer radialement sur le robot.
figure 95 : Illustration du protocole et des résultats obtenus
Dans ces travaux, différents aspects du protocole ont été étudiés : Nombres d‘essais justes nécessaires à l‘estimation des raideurs,
Estimation de l‘étendue de l‘erreur aux vues de la précision des moyens de mesures,
Prise en compte du nombre de poses du tracker laser,
Le protocole a été appliqué sur différents robots sur lesquels on peut observer la qualité de prédiction du modèle.
figure 96 : Précision avec et sans l’estimation de déformé suivant l’axe Z
figure 97 : Précision avec et sans l’estimation de déformé dans le plan XY
Les graphes ci-dessus représentent des graphes de fréquence. En abscisse, on retrouve la différence d‘estimation de la position en charge et en ordonnée, le nombre
d‘occurrence associé à cette erreur. La courbe en bleu représente l‘erreur commise sans correction et en rouge en prenant en compte les corrections liées à notre modèle.
Cette identification nous permet donc d‘évaluer la déformée pour tout chargement dans l‘espace de travail du robot. C‘est un point crucial dans les travaux sur la rigidité du robot car nous pouvons, dès lors, envisagé d‘effectuer des choix entre plusieurs configurations et ou posage.
c Définition des raideurs d’un robot sur rail
Le modèle, à présent, compte sept liaisons. Pour le rail, comme pour les autres parties du robot, la structure sera donc considérée comme rigide, la flexibilité du rail se limitera à l‘actionneur, à savoir la translation.
figure 98 : Modèle d’un robot anthropomorphe sur rail
figure 99 : Cellule ROBOFIN : robot sur rail à l’IRT ules Verne
Analysons le protocole d‘identification des raideurs avant sa mise en œuvre. Pour mener ces essais, nécessaires à l‘identification du comportement élasto-statique des robots, nous utilisons :
un système de chargement (container recevant jusqu‘à 750Kg de charge), un effecteur permettant de déporter la charge afin de créer un effort et un
moment,
un tracker laser pour mesurer les déviations de cibles installées sur l‘élément terminal du robot.
la procédure découple l‘identification de l‘axe 1 des autres axes, direction de la charge toujours dans le sens de la gravité,
la raideur est évaluée avec une seule valeur de charge (hypothèse de linéarité de la raideur),
d‘un point de vue plus pratique, la manipulation de la charge est assez contraignante et il y a nécessité de mobiliser un tracker laser.
Le premier point est d‘autant plus critique qu‘ici deux axes ne seront pas identifiés. Nous avons donc revu notre protocole d‘identification. Lors de la première conception du processus, nous avions opté pour l‘application d‘une charge, qui nous garantissait de ne pas dépasser la charge admissible par le robot. Pour la définition de ce nouveau protocole, l‘ordre de grandeur des déplacements auxquels nous nous attendons est mieux connu. La solution d‘appliquer un déplacement et de mesurer une charge est donc moins problématique.
Nous avons choisi de placer un point d‘accroche au sol, et d‘effectuer un effort de traction depuis ce point vers le robot. Afin de permettre un choix avisé, nous avons intégré cette dimension (position au point du sol) à notre problème d‘optimisation ainsi que le positionnement de la mesure.
figure 100 : Configuration de positionnement des éléments pour l’étalonnage
Lors de l‘identification, le nombre d‘essais à réaliser reste problématique. Dans cette optique Caro, Furet et Paschevitch proposent une méthodologie permettant d‘optimiser le nombre d‘essais, ces travaux ont été réalisés dans le cadre des travaux de thèse de Yier WU.
Détaillons les hypothèses associées à cette méthodologie. La méthode nécessite de définir une ou plusieurs poses stratégiques pour le parachèvement. Ensuite, un algorithme permet de rechercher, pour un nombre d‘essais définis, les configurations de chargement (position + efforts) à appliquer afin de minimiser les erreurs liées aux imprécisions de l‘ensemble des éléments intervenant dans la chaîne de mesures.
L‘analyse du contexte nous a permis d‘identifier trois poses permettant de représenter au mieux les cas de parachèvement.
figure 101 : Choix des poses cibles à identifier
Une expérimentation a été menée et a permis d‘effectuer l‘identification des différentes raideurs. Pour cette première expérimentation, nous avons préalablement optimisé la position du point d‘attache et la position du tracker. L‘identification a été faite avec douze essais. Douze autres essais ont servi à la validation. On retrouve les raideurs identifiées à l‘aide de ce protocole (Tableau 6).
[ ⁄ ] [ ⁄ ]
41 4.9 6.6 5 1.5 0.87 0.53
Tableau 6 : raideurs identifiées du robot sur rail
figure 102 : Différences entre, l’estimation de la position de l’effecteur près et loin des situations de travail et la mesure de l’effecteur sans étalonnage élastique
Sur la figure ci-dessus nous pouvons visualiser les dispersions de positions (en bleu) sous un effort de traction imposé par la chaine de l‘ordre 4800N. Après étalonnage des
différentes raideurs, le modèle nous permet de réduire notablement ces dispersions (histogramme rouge sans calibration et vert dans l‘espace globale).