Application au pilotage du procédé

Le parachèvement d‘une pièce réalisée avec une structure souple tel qu‘un robot peut être décomposé de la manière suivante. Dans une première phase, il faut effectuer un choix d‘outil avisé afin de sécuriser le processus de production. La seconde phase cherche à minimiser les défauts. Et seulement dans une dernière étape, si la qualité obtenue n‘est pas suffisante, on pourra envisager des corrections.

Afin d‘illustrer nos propos, prenons l‘exemple exposé dans l‘article présenté à la conférence ICRA en Allemagne [45]. Nous considèrerons uniquement ici l‘opération de détourage. Sur la pièce présentée (figure 116), nous définissons un contournage découpé en 5 segments. Sur chacun de ces segments, nous sommes capables d‘identifier les engagements radiaux (figure 117). Nous en déduisons, dans le repère outil défini par l‘axe outil et la direction d‘avance, les efforts radiaux de cet outil (figure 118). Enfin, pour un posage donné, on peut projeter ceux-ci dans les différentes directions pour obtenir la variation de chargement dans l‘espace de travail du robot (figure 119).

figure 116: Exemple de détourage

figure 117 : variation de l’engagement radial sur l’abscisse curviligne du parcours

figure 118 : Efforts radiaux et d’avance le long de l’abscisse curviligne dans le repère outil

figure 119 :: Efforts radiaux et d’avance le long de l’abscisse curviligne dans le repère robot

Connaissant le posage et les efforts, nous pouvons, en chacun des points du parcours, calculer, en fonction de la redondance, la déformée du robot. Sur les figures ci-dessous (figure 120 & figure 121), on peut visualiser cette déformée. En abscisse, nous retrouvons l‘ensemble des points du parcours. Dans la seconde direction nous voyons l‘angle β traduisant la redondance de l‘outil. Suivant la colormap et/ou l‘altitude, on note la déformation estimée du robot.

Il faut alors choisir un chemin. Si on peut, visiblement sur la pièce (figure 116), enchainer le contournage des trois premiers segments, on constate sur le graphe que celui-ci ne nous permet pas d‘obtenir la meilleure qualité. La lecture de cette cartographie nous indique qu‘au moins, à la fin du second segment, un changement de configuration est préférable.

figure 120 : vu 3D de la déformé le long de l'abscisse curviligne

figure 121 : vu de dessus de la déformé le long de l'abscisse curviligne

L‘algorithme choisi ici est simpliste :

 Il impose une configuration par segment,

 il choisit l‘angle β conduisant au défaut minimum,

Dans le cas présent, sur le premier segment de [0 ; 45mm], on distingue trois zones, soit trois configurations,

Seulement deux permettent de parcourir le segment sans changement de configuration. Dans chacune de ces zones, on détermine les valeurs de β minimisant l‘erreur, ensuite on choisit celui dont le maximum est le plus faible. Nous reviendrons ultérieurement sur ce critère.

Ce travail étant réalisé pour tous les segments, on peut attribuer une note globale au posage.

Dès lors, nous pouvons définir un algorithme d‘optimisation comme suit. a Définition du problème d’optimisation

Pour définir un problème d‘optimisation, nous devons définir un vecteur d‘un ensemble de paramètres décrivant une situation. Ceci étant fait, on décrit une fonction coût. Dans la littérature roboticienne, on trouvera différents critères permettant d‘optimiser des objectifs différents tel que la manipulabilité [46] . On peut ajouter, en dernier lieu, des contraintes afin de borner le problème. Il peut s‘agir, par exemple, des limites articulaires, d‘un espace réduit pour le positionnement de la pièce, ou encore, de considération robotique telles qu‘éviter de s‘approcher de singularité. Il ne reste ensuite qu‘à exécuter un algorithme d‘optimisation afin d‘obtenir une solution.

Constituons notre vecteur caractérisant une pose.

Tout d‘abord, l‘origine de notre pièce est définie par sa position et son orientation, soit les angles d‘Euler (utiliser dans la thèse de Claire Dumas), soit l‘utilisation des quaternions définis à l‘aide d‘un vecteur directeur u et d‘un angle .

Comme nous l‘avons évoqué précédemment, le robot peut potentiellement réaliser une même trajectoire dans différentes postures (théoriquement, il en existe huit pour un robot anthropomorphe). Nous choisissons d‘interdire, en cours de réalisation de l‘entité, de changer de posture. Une entité peut être comprise comme un ensemble d‘éléments successifs du contour (ligne, arc) ayant entre eux une continuité en tangence. On représentera alors celle-ci par le vecteur de dimension m définissant le nombre d‘entité de la pièce étudié, ici 5 :

[

avec [ ]

Enfin, nous avons défini la position de la pièce, ainsi que la posture du robot, il ne reste alors que la redondance. On définit alors le vecteur, qui en chacun des n points du parcours donne l‘angle de redondance, soit :

[ ] avec ,

Notre vecteur décrivant un usinage de pièce s‘écrira alors

[

]

Nous devons maintenant choisir un critère d‘optimisation, différents critères ont été proposés et mis en œuvre. Nous avons choisi de minimiser l‘écart maximum

Minimiser [ ]

Avec ‖

‖

Ou est la déformée du robot au point i, est la direction au point i de l‘avance outil, est l‘axe outil.

Dans l‘article d‘ICRA [45], nous utilisons une moyenne quadratique,

Minimiser ∑

Cette étude a été menée avec ce dernier critère sur la pièce présentée figure 116. L‘espace de travail a été borné pour l‘origine pièce à un cube se trouvant au-dessus d‘une table et seule la rotation de la pièce a été autorisée autour de l‘axe z (figure 122).

figure 122 : Volume d’optimisation du placement pièce

Afin d‘illustrer les différences obtenues théoriquement sur la flexibilité du robot, nous avons considéré quatre cas et estimé la valeur de la fonction quadratique. Les cas considérés sont le meilleur et le plus mauvais posage, et pour chacun d‘eux la meilleure et la pire gestion de la redondance

Posage résultat

meilleur meilleur pire pire

Gestion de la

redondance ^{meilleur pire meilleur pire}

[ ] 0.083 0.35 0.82 1.2

Prenons le profil le long de l‘abscisse de l‘erreur estimée dans l‘un des cas.

On constate que le déplacement latéral, avec cette stratégie, permet d‘obtenir sur le segment 1, une erreur de l‘ordre de 0.36mm. À supposer que la qualité souhaitée soit moindre, quelles sont les stratégies disponibles afin de corriger cet écart ?

Deux stratégies sont envisageables :

 Modifier le parcours d‘usinage afin de respecter, malgré la déformée, l‘intervalle de tolérance (stratégie miroir décrit dans le paragraphe, Correction de trajectoires page 123). Cette stratégie peut induire un certain nombre de bouclage. En effet, modifier le parcours revient à modifier l‘évolution des engagements et donc à terme la déformée (particulièrement pour de petit outil). Cette stratégie peut être complexe et créer une sollicitation vibratoire du robot,  Diminuer les efforts afin de limiter la déformée. Cette stratégie est simple à

mettre en œuvre, mais elle induit une perte de productivité. Nous poursuivons néanmoins cette analyse,

b Modulation des efforts

Suivant l‘équation (Eq. 43) la déformée est proportionnelle aux efforts. Le modèle d‘efforts (Eq. 56) induit une relation directe entre l‘avance et les efforts. L‘action la plus élémentaire est donc de diminuer la vitesse de consigne du programme. Une diminution globale de la vitesse d‘avance induit une augmentation du temps de réalisation directement proportionnelle à la perte de vitesse.

Cependant, plutôt que d‘exécuter cette diminution de manière globale, on peut la réaliser localement. Sur la figure 124, on observe les efforts dans le repère outil. L‘effort d‘avance est positif et l‘effort radial est négatif. On peut donc limiter l‘avance dès que la norme de l‘effort radial est supérieure à une valeur donnée. On peut voir les courbes vertes, marron, magenta, bleu claire limitant respectivement l‘effort -400,-300,-200 et -100 Newton. Ces courbes sont obtenues en modulant localement le profil de la vitesse d‘avance (figure 125). On voit bien ici que l‘impact sur le défaut maximum est bien diminué respectivement à 0.34, 0.26, 0.24 et 0.2mm (figure 126). Cependant, lorsque l‘on observe la déformée, on constate que celle-ci est diminuée à des endroits où elle ne nécessitait aucune diminution. Si on considère le segment 2, à aucun moment les écarts géométriques ne justifient une diminution du chargement et donc de l‘avance. Pour autant, sur ce segment, la norme des efforts radiaux est supérieure à 300N.

figure 124 : Limitation de l’effort radial le long du parcours

figure 125 : profil de vitesse le long des segments permettant la majoration de l’effort radial

figure 126 : diminution des écarts sur la pièce en fonction de la limitation de vitesse fonction des efforts

En effet dans cette approche, on ne prend pas en compte la raideur localisée du robot évoluant au long de l‘abscisse curviligne de l‘usinage. Dans l‘équation Eq. 43, la raideur du robot intervient et n‘est pas constante le long de la trajectoire.

Afin d‘intégrer celle-ci, il faut donc moduler la vitesse par rapport à la déformée. On est alors capable sur un robot de se donner un objectif de qualité et de l‘assurer quelque soit le posage et le chemin de redondance. Il faudra néanmoins valider que cette augmentation du nombre de bloc, pour faire varier la vitesse, ne pertubera pas la trajectoire [47].

figure 127 : Définition d’un seuil de qualité le long du parcours

figure 128 : profil de vitesse le long des segments pour assurer la qualité

figure 129 : Effort résultant de la limitation de vitesse fonction de la qualité

On peut alors estimer la perte de productivité juste nécessaire associée à chacune des approches. On définit cette perte de productivité à l‘aide de la formule suivante :

Eq. 60

représente le temps d‘usinage associé au profil de vitesse. On définit alors :

∑

Avec (en mètre) le pas de discrétisation de l‘abscisse curviligne et la vitesse instantanée au point i (en m/min). représente alors le temps de réalisation sans réduction de vitesse.

figure 130 : évolution de la perte de productivité en fonction de la stratégie adoptée

Comme on le voit sur cette courbe, la perte de productivité reste minime pour des gains de qualité notable. On parvient, avec cette stratégie, à augmenter par plus deux fois la qualité (nous passons de 0.37mm à 0.15mm) pour une perte de productivité à peine supérieure à 10%.

L‘intérêt de cette approche est sa robustesse. En effet, la correction est peu sensible aux erreurs de mesures. Cette robustesse est liée aux calculs relatifs qui sont réalisés.

On peut alors construire un critère d‘optimisation du placement de tâches en s‘inspirant de cette approche où l‘on estimera à iso qualité la productivité théorique du parcours.

Soit Q le niveau de qualité cible ou , et la déformée maximale calculée le long de l‘abscisse curviligne pour le posage considéré.

On peut décrire la fonction coût f comme :

 on calcule le vecteur des vitesses [ ] et on déduit

,  ,

, ceci revient virtuellement à augmenter la vitesse sur l‘ensemble du parcours afin de créer un défaut équivalent à la qualité estimée.

Ce critère est sans unité et peut alors traduire, pour une valeur inférieure à 1 une perte de qualité, et pour une valeur supérieure, un gain de qualité. Cependant, dans tous les cas, la qualité visée théoriquement est respectée.