Protocole de construction d’une représentation dRBA

L’objectif de cette partie est de construire à partir d’un réseau de processus intra-cellulaires, une représentation dRBA telle qu’elle a été présentée au chapitre 2 pour le modèle agrégé. Le but de cette partie est d’établir un protocole général pour aboutir à une formulation cohérente. L’objectif de la démarche est de comprendre quels éléments sont nécessaires à la modélisation.

On suppose que le procédé est opéré dans le mode batch.

Données. On appelle R un réseau de réactions décrivant le fonctionnement d’une cellule, c’est-à-dire un ensemble de processus. On suppose disposer d’une représentation

de R sous forme d’une matrice de stœchiométrie étendue Ω, décrivant les échanges entre composés intra et extracellulaires. Cette matrice n’agrège pas uniquement les échanges intracellulaires mais également ceux avec le milieu extérieur. Pour fixer les idées, cette matrice a autant de colonnes qu’il y a de processus, et autant de lignes qu’il y a de composés chimiques intra et extracellulaires. On note nΣ le nombre de processus, nM le nombre de composés. Par ailleurs, les processus ne sont pas uniquement des processus métaboliques.

On note M l’ensemble des composés pris en compte dans la représentation. Cet en-semble est divisé en deux sous-enen-semble Mint et Mext qui regroupent respectivement les métabolites intracellulaires et extracellulaires, respectivement de cardinal nMint et nMext.

Ainsi, on introduit le vecteur M_int(t) des concentrations des métabolites intracellu-laires et le vecteur Mext(t) des concentrations des métabolites extracellulaires. Soient Ωint et Ωext les sous-matrices de Ω correspondant respectivement aux lignes des compo-sés intracellulaires et extracellulaires.

En parallèle, pour chaque processus (noté Σi) du réseau R, on introduit : — un flux de valeur ν_M,i(t),

— une machinerie moléculaire Ei catalysant le processus et pour laquelle on définit : — une concentration intracellulaire Ei(t),

— une efficacité k_i(t) du processus Σ_i,

— un coefficient d’encombrement volumique ℓEi,

— un flux de production de la machinerie Ei, noté νEi(t).

On regroupe les valeurs des flux ν_M,i(t) dans un vecteur ν_M(t), et dans un vecteur ν_E(t) pour les flux de production νEi(t). On pose aussi E(t) le vecteur des concentrations Ei(t).

Les concentrations intracellulaires sont en mmol.g−1

CDW et les concentrations extracel-lulaires sont en mmol.L−1. Les flux sont exprimés en mmol.g−1

CDW.h−1. Les efficacités sont en h−1. Les coefficients d’encombrement n’ont pas d’unité mais représentent le vo-lume d’une machinerie Ei en nombre d’acides aminés équivalents.

Processus de traduction. S’il n’est pas compris dans la représentation R, il est né-cessaire d’ajouter un processus de traduction, Σ_R, qui regroupe les sous-processus de production de machineries moléculaires. Ce processus produit tous les flux du vecteur νE(t). On associe à ce processus une machinerie moléculaire ER représentant toutes les machineries impliqués dans la production des protéines (ribosomes, facteurs de traduc-tion, ...). Sa concentration est notée ER(t), son efficacité est kR, son encombrement est noté ℓER. ERest produite par elle-même avec un flux νER(t). ER(t) est ajoutée au vecteur E(t) et son flux de production νER est ajouté au vecteur ν_E(t).

On introduit une nouvelle matrice de stœchiométrie, ΩE, qui a autant de colonnes qu’il y a de Ei (y compris ER, donc n_Σ+ 1) et autant de lignes qu’il y a de métabolites internes i.e. nMint. Le coefficient ΩE,i,j est le nombre de Mint,i nécessaire à la production d’un Ej. Ces coefficients sont négatifs pour les cofacteurs produits lors de la synthèse de Ej.

4.1. Éléments de généralisation 137

Bilan de matière. De là, on écrit les bilans de matières pour les métabolites et les machines moléculaires qui catalysent les processus de la manière suivante :

  

˙

Mint(t) = ΩintνM(t) + ΩEνE(t) − µ(t)Mint(t) ˙

E(t) = νE(t) − µ(t)E(t) ˙

Mext(t) = ΩextνM(t)X(t)

(4.1.1) avec µ(t) le taux spécifique de croissance et X(t) la concentration de biomasse dans le milieu extérieur.

La relation suivante lie ces deux quantités : ˙

X(t) = µ(t)X(t) (4.1.2)

µ(t) est exprimé en h−1, l’unité de X(t) est le gCDW.L−1.

Contraintes d’efficacité des processus. Les efficacités et les concentrations des machineries limitent les flux qui passent à travers les processus de la manière suivante :

νM(t) ≤ k(t) ◦ E\ER(t) (4.1.3)

où ◦ est le produit terme à terme de Hadamard, le vecteur k(t) regroupe les efficaci-tés ki(t) des processus Σi, excepté ER et où E\ER est le vecteur des concentrations des machineries Ei privé de ER.

Pour le processus ΣR et la machinerie ER, on pose : X

E

νEi ≤ kR(t)ER(t) (4.1.4)

où la somme porte bien sur tous les éléments de E, y compris ER, puisqu’ils sont tous produits par ΣR, par définition.

Les efficacités des processus peuvent éventuellement être formulées sous la forme de fonctions des concentrations des métabolites :



k(t) = k(M (t))

k_R(t) = k_R(M (t)) (4.1.5)

C’est ce qui a été fait dans le chapitre 2 lorsque l’on a formulé les efficacités des processus comme des fonctions des concentrations S(t) et G(t).

Contraintes de régulation de composés internes. On complète les contraintes de conception en contraignant certaines concentrations intracellulaires à être constantes au cours du temps. Pour ce faire, comme on l’a fait pour le composé B au chapitre 2, on contraint la dérivée de certaines concentrations à être nulle.

Soit Mc l’ensemble des composés dont la concentration intracellulaire est connue pour être constante. Soient Mc(t) le vecteur de ces concentrations, Mc,0 les concentrations no-minales des composés internes constants. La contrainte de régulation de la concentration des composés Mc s’écrit :

˙

Mc(t) = ΩcνM(t) − ΩE,cνE(t) − µ(t)Mc,0 = 0 (4.1.6) avec Ωc (respectivement ΩE,c) la sous-matrice de Ω (respectivement, de ΩE) correspon-dant aux éléments de Mc parmi M.

Taux de croissance. Pour le taux de croissance, on reprend l’assertion selon laquelle la densité intracellulaire est constante au cours du temps [49, 50]. Avec les coefficients d’encombrement ℓEi, et D0 la densité intracellulaire supposée connue, on a :

D0 = ℓ^⊤_EE(t) (4.1.7)

avec ℓE le vecteur qui regroupe les coefficients d’encombrement ℓEi ordonnés comme le vecteur E(t).

En dérivant cette relation par rapport au temps, on obtient : 0 = ℓ^⊤_EE(t)^˙ et avec (4.1.1), 0 = ℓ^⊤_E(νE(t) − µ(t)E(t)) ou encore, ℓ^⊤_Eν_E(t) = µ(t) ℓ^⊤_EE(t) | {z } =D0, (4.1.7) c’est-à-dire, µ(t) = ¹ D0 ℓ^⊤_EνE(t) (4.1.8)

On a là un équivalent direct de la formule (2.1.13) qui avait été trouvée au chapitre 2. On constate que les coefficients ℓE jouent le même rôle que les coefficients 1

α_Ei du chapitre 2. En effet, nous avions rapproché les coefficients 1

α_Ei des coût des Ei en ressources. Il en est de même pour ℓEi.

Contraintes d’expression rationnelle des gènes. Comme avancé au chapitre pré-cédent, une manière de prendre en compte la régulation de l’expression des gènes par le taux de croissance, c’est-à-dire le fait que certains gènes sont constitutifs, est de contraindre les flux de production des machineries moléculaires à suivre une relation de la forme :

ν_Ei(t) = ν_Ei(µ(t)) (4.1.9)

Jusqu’alors, nous avions pris νEi sous forme polynomiale :

νEi(t) = a^µ_Eiµ(t)³+ b^µ_Eiµ(t)² + c^µ_Eiµ(t) (4.1.10) On note Eµ l’ensemble des machineries moléculaires qui sont constitutives.

4.1. Éléments de généralisation 139

Matriciellement, avec T une matrice rectangulaire convenablement choisie ne compre-nant que des 0 et un seul et unique 1 sur chaque ligne, et aµ

E (respectivement, bµ E, cµ E) le vecteur des aµ Ei (respectivement, bµ Ei, cµ Ei), la contrainte (4.1.10) s’écrit : T νE(t) = µ(t)³a^µ_E + µ(t)²b^µ_E+ µ(t)c^µ_E (4.1.11) Remarque sur les processus réversibles. Certains processus sont réversibles. Ceci signifie que la même machinerie peut transformer le substrat en produit et le produit en substrat. Pour inclure ce cas dans la modélisation actuelle sans compliquer davantage le modèle, on peut procéder comme suit.

Soit Σ un processus réversible. On note ν le flux de ce processus, éventuellement négatif. On a le schéma réactionnel suivant : S −→ P.^ν

Avec k l’efficacité du processus et E la concentration de la machinerie E qui catalyse le flux, on doit satisfaire à tout instant :



ν(t) ≤ k(t)E(t) −ν(t) ≤ k(t)E(t)

On introduit ν+ et ν− deux flux positifs tels que : S −⇀_↽−^ν+

ν− P. Ces deux flux sont catalysés par la même machinerie E. Aussi, la somme de ces flux doit être inférieure à k(t)E(t).

On doit donc respecter la relation suivante :

ν⁺(t) + ν⁻(t) ≤ k(t)E(t) qui est une extension naturelle de la relation (4.1.3).

Par simplicité d’écriture, on considère dans la suite que tous les flux sont positifs, à cette variation près.

Schéma de construction d’un modèle dRBA. La figure 4.1 présente une hiérarchie entre les variables à définir pour poser le problème de conception rationnelle de souche. Modèle dRBA. La modélisation du réseau R selon la méthode dRBA est donnée par les équations (4.1.1), (4.1.2), (4.1.3), (4.1.4), (4.1.5), (4.1.6), (4.1.8), (4.1.11). En résumé,

       ˙

Mint(t) = ΩintνM(t) + ΩEνE(t) − µ(t)Mint(t) ˙ E(t) = νE(t) − µ(t)E(t) ˙ Mext(t) = ΩextνM(t)X(t) ˙ X(t) = µ(t)X(t) (4.1.12)

R Composés M Mint Mc Mc,0 Mint(t) Mext Mext(t) Stœchiométrie Ω Ωint Ωext Processus Σ νM(t) E E(t) νE(t) a^µ_E b^µ_E c^µ_E ℓE(t) kE(t) kE(M ) ΩE

Figure4.1 – Relations entre les variables utilisées dans le modèle.

sous contraintes,                            νM(t) ≤ k(t) ◦ E\ER(t) P E ν_Ei ≤ kR(t)E_R(t) ki(t) = ki(M (t)) 0 = ΩcνM(t) − ΩE,cνE(t) − µ(t)Mc,0 µ(t) = 1 D0ℓ⊤ Eν_E(t) T ν_E(t) = µ(t)3a^µ_E + µ(t)2b^µ_E + µ(t)c^µ_E νE(t), νM(t) ≥ 0

Mint(t), E(t), Mext(t), X(t) ≥ 0

(4.1.13)

Comme présenté au chapitre 2, on peut réécrire formellement ce système de la manière suivante : ˙x(t) = F (x(t))ν(t) sous contraintes,            Aν(t) ≤ b(x(t)) Lν(t) = 0 C_aµ E,b^µ_E,c^µ_E(ν(t)) = 0 ν(t) ≥ 0 x(t) ≥ 0 (4.1.14) avec _   ν(t) = νE(t)⊤ νM(t)⊤
⊤ x(t) = M⊤ int(t) E⊤(t) M⊤ ext(t) X(t)
^⊤ et avec C_aµ E,b^µ_E,c^µ_E(ν(t)) = T νE(t) − (_D¹₀ℓ⊤ EνE(t))3a^µ_E− (_D¹₀ℓ⊤ EνE(t))2b^µ_E− (_D¹₀ℓ⊤ EνE(t))c^µ_E, la contrainte d’expression rationnelle des gènes.

Les contraintes sur la limitation des flux sont regroupées dans Aν ≤ b(x(t)), les contraintes sur l’équilibre des concentrations intracellulaires Mcse retrouvent dans Lν(t) = 0. La définition du taux de croissance, µ(t) = 1

D0ℓ⊤

EνE(t), peut se substituer aux occur-rences de µ(t) et n’a donc pas lieu d’apparaitre dans la définition du problème.

4.1. Éléments de généralisation 141