1.3 Conclusion du chapitre
2.1.3 Dynamiques & contraintes
On cherche à caractériser l’évolution des concentrations des différents composés en présence.
Concernant les composés G et P, on exprimera leur concentration en quantité de matière par unité de volume du milieu de culture. L’unité de concentration est la mil-limole par litre de réacteur (mmol.L−1). Les composés intracellulaires, S, B et les Ei, seront eux caractérisés par leur quantité de matière ramenée par unité de masse sèche de cellules. Ceci est justifié par le fait que les mesures sur les espèces intracellulaires sont habituellement faites de cette manière. L’unité de concentration des espèces intracellu-laire est alors : mol.g−1
CDW (mole par gramme de matière sèche, gram of Cell Dry Weight, en anglais). Dans le but de ne pas introduire de coefficient de conversion, la biomasse, notée X (comme classiquement dans la littérature relative à la conduite du procédé), sera caractérisée par sa concentration en masse sèche par unité de volume du milieu de culture, c’est à dire en gramme de masse sèche par litre de réacteur.
2.1. Modèle agrégé 61
Dans la suite, nous noterons G (respectivement P , S, B, EB, EP, ER et ET) la concentration de l’espèce G (respectivement P, S, B, EB, EP, ER et ET).
2.1.3.1 Dynamiques de S et de G
En considérant le bilan de matière des différents processus pris en considération dans la description, l’équation différentielle régissant l’évolution de la concentration S de S est donnée par :
˙
S(t) = αTνT(t) − νB(t) − νP(t) − νET(t) − νEB(t) − νEP(t) − νER(t) − µ(t)S(t) (2.1.2) Le terme −µ(t)S(t) prend en compte l’augmentation du volume de biomasse avec le temps, avec µ(t) le taux spécifique de croissance, défini plus spécifiquement en section 2.1.4. C’est ce que l’on appelle le terme de dilution.
νT(t) est le flux positif de matière qui passe à travers le processus ΣT, c’est-à-dire la quantité de G importée et transformée en S à l’instant t, par unité de biomasse et de temps. On le retrouve également dans la dynamique de la concentration en G dans le milieu extracellulaire :
˙
G(t) = −νT(t)X(t) (2.1.3)
Ce flux d’import est contraint par la capacité maximale du processus ΣT, qui vaut la concentration de la protéine ET multipliée par son efficacité, kT, du processus ΣT. Ceci mène à une première contrainte :
νT(t) ≤ kTET(t) = vm,TG(t)
G(t) + KT + KSS(t)ET(t) (2.1.4) avec ET la concentration en protéines catalysant le processus ΣT. L’efficacité kT du processus ΣT suit une cinétique du premier ordre par rapport à la concentration en G, c’est-à-dire qu’elle est hyperbolique par rapport à la concentration G (asymptote linéaire en G = 0 et asymptote horizontale en G → +∞). Les paramètres vm,T, KT et KS sont tous positifs. vm,T est l’efficacité maximale du processus ΣT. KS introduit une inhibition par le produit du processus, i.e. S. Ainsi, l’efficacité diminue lorsque la concentration en S augmente.
2.1.3.2 Synthèse des macrocomposants B par ΣB
L’équation différentielle associée à la production de macrocomposants B est donnée par :
˙
B(t) = αBνB(t) − µ(t)B(t) (2.1.5)
avec νB le flux positif de matière qui passe à travers le processus ΣB, et −µ(t)B(t) le terme de dilution.
La concentration des différents composés inclus dans B, c’est-à-dire l’ADN, les ARN, les composés de la membrane et de la paroi, est périodique en fonction du cycle cellulaire. Ainsi, si l’on raisonne sur un individu et sur un cycle cellulaire, il faudrait imposer une contrainte de périodicité à la concentration B. Cependant, comme nous nous plaçons à l’échelle de la population et sur une période de temps bien plus grande qu’un cycle cellulaire, nous pouvons considérer que la concentration de B peut être assimilée à sa
valeur moyenne sur le cycle cellulaire et supposée constante. Cette valeur moyenne est supposée la même dans toutes les conditions de croissance, comme indiquée dans [65].
Ceci donne directement à partir de (2.1.5) la contrainte d’égalité entre production et dilution de B :
νB(t) = B0 αB
µ(t) (2.1.6)
où B0 est la concentration nominale en B.
De plus, la capacité du processus ΣBest limitée, ce qui mène à une deuxième contrainte d’inégalité :
νB(t) ≤ kBEB(t) = vm,BS(t) S(t) + KB
EB(t) (2.1.7)
avec EB la concentration en protéines catalysant le processus ΣBet l’efficacité du proces-sus ΣB, kB, qui suit une relation de Michaelis-Menten (justifiée par la suite) de coefficients vm,B et KB par rapport au substrat de la réaction, S.
Dans le même esprit que (2.1.4), on pourrait introduire une inhibition par le produit du processus, en l’occurrence B. Étant donné que la concentration en B est supposée constante, ceci modifie la constante KB mais pas le modèle utilisé.
2.1.3.3 Synthèse de P par ΣP
D’une manière équivalente, l’équation différentielle associée à la production de P est donnée par :
˙
P (t) = αPνP(t)X(t) (2.1.8)
où le flux de production de P par unité de milieu de culture est le produit entre la production de P par unité de volume cellulaire (αPνP) et la concentration de cellule par unité de milieu de culture (X).
Comme pour les autres processus, le flux νP est limité par l’efficacité du processus ΣP
comme suit :
νP(t) ≤ kPEP(t) = vm,PS(t) S(t) + KP
EP(t) (2.1.9)
avec EP la concentration en protéines catalysant ΣP et kP l’efficacité de ΣP, qui suit une relation de Michaelis-Menten (justifiée par la suite) par rapport au substrat S.
2.1.3.4 Synthèse des protéines par ΣR
Enfin, toutes les protéines Ei, i ∈ {T,B,P,R} impliquées dans les processus cellulaires sont produites par ΣR, ce qui conduit aux équations différentielles suivantes :
˙
Ei(t) = αEiνEi(t) − µ(t)Ei(t), i ∈ {T,B,P,R} (2.1.10) où 1
αEi est le coût nécessaire pour construire la protéine Ei à partir de S.
Une des conséquences de cette formulation est que l’on considère que la dilution est prépondérante et même la seule manière de faire diminuer la concentration d’une protéine. Les protéines étant des structures très stables dont la constante de temps de dégradation est de l’ordre de plusieurs dizaines d’heures [2], on négligera donc dans cette modélisation la dégradation active des protéines par les protéases.
2.1. Modèle agrégé 63
La contrainte de capacité du processus ΣR s’exprime cette fois sur la somme des flux qui passent à travers, c’est-à-dire la somme des flux νEi :
X
P,B,R,T
νEi(t) ≤ kRER(t) = vm,RS(t)
S(t) + KRER(t) (2.1.11)
avec ER la concentration de la protéine qui catalyse le procédé ΣR et l’efficacité kR de ΣR qui suit une relation de Michaelis-Menten par rapport à la concentration de S. 2.1.3.5 Justification biologique des efficacités
Le fait que l’efficacité de ΣRsoit croissante avec la concentration de S et bornée permet de rendre compte du fait que les ribosomes sont plus efficaces en milieux riches qu’en milieux pauvres, comme indiqué dans [57] et [13] ; et par ailleurs que les concentrations des métabolites sont globalement plus élevées en milieu riche qu’en milieu pauvre [7].
L’argument est légèrement différent pour les efficacités kB et kP qui sont aussi crois-santes en S et bornées. Ceci fait écho au fait que les processus ΣBet ΣP sont des processus catalytiques et que leurs efficacités suivent des cinétiques enzymatiques usuelles (en l’oc-currence de type Michaelis-Menten par rapport au substrat de la réaction enzymatique). La formulation de Michaelis-Menten provient quant à elle de la formulation des réactions enzymatiques comme étant une succession de deux réactions dont une est irréversible. En notant E la protéine qui catalyse une réaction de transformation d’un composé S en un composé P, on peut introduire un composé CES qui est le complexe que forme la protéine avec S. On peut alors détailler la réaction S → P comme suit :
E + S−−⇀↽−−v1
v−1 CES
v2
−→ E + P
où la première réaction est réversible (le complexe peut se désagréger) mais où la seconde ne l’est pas (la protéine E ne peut transformer P en CES). Dès lors, en prenant pour les vitesses de réaction v1 = k1[E][S], v−1 = k−1[CES], v2 = k2[E][P], où la notation entre crochets signifie la concentration, et en supposant que l’espèce CES est à l’équilibre, on peut montrer que la vitesse de la réaction S → P lorsque la concentration en P est nulle, est donnée par v = k2[S]
[S] + k2+k−1
k1
[E]. C’est la formulation de Michaelis-Menten. Dès lors que la concentration en P n’est pas nulle, la vitesse diminue.
Pour le processus ΣT on prend une efficacité proche de celle de Michaelis-Menten en son substrat G avec un terme d’inhibition sur le produit du processus S (voir équation (2.1.4)). Ce raffinement permet notamment de prendre explicitement en compte le fait que l’augmentation de la concentration S rende plus difficile l’import de matière dans l’enceinte de la cellule.