Propri´ et´ es g´ eom´ etriques

4.1.1 Cˆone simplicial

En premier lieu, nous modifions les notations du mod`ele de m´elange lin´eaire Eq. (2.15)

afin d’adopter plus ais´ement une approche g´eom´etrique (on reste tout de mˆeme dans une

approche spatiale des sources). Chaque spectre observ´e est repr´esent´e comme un ´el´ement

d’un _R

N

espace vectoriel. Le mod`ele de m´elange en consid´erant des sources spatiales s’´ecrit :

x

m

(n) =

L

X

`=1

a

`

(n) s

lm

∀n∈ {1, . . . , N}, (4.1)

o`u x

_m

est la m

^ieme`

colonne de X (i.e. le m

^ieme`

spectre observ´e), a

_`

la `

^i`eme

colonne de A

(i.e. le`

^ieme`

spectre ´el´ementaire) et s

lm

et le coefficient d’abondance associ´e. Pour la partie

th´eorique de ce chapitre, nous emploierons plutˆot le vocabulaire de la g´eom´etrie, i.e. nous

appellerons vecteurs les diff´erents spectres (observ´es ou ´el´ementaires). Ainsi chaque vecteur

observ´ex

m

est issu de la combinaison lin´eaire des ´el´ements de A :

x

_m

=As

_m

A∈_R

N×L

+

, s

_m

∈_R

L

+

, m∈ {1, . . . , M}, (4.2)

o`u le vecteurs

_m

est lam

^ieme`

colonne deS. Chaque vecteur observ´e est la combinaison lin´eaire

non n´egative des colonnes de A, elles-mˆemes non n´egatives. En supposant que Aest de rang

de colonne plein, l’ensemble de toutes les combinaisons lin´eaires non n´egatives des colonnes

de A :

C(A) ={c| c=Av, v ∈_R

L

+

}, (4.3)

forme un cˆone simplicial dans _R

N

+

(l’orthant positif de _R

N

). Les vecteurs colin´eaires aux

colonnes a

_`

deA, sont les ` arˆetes E

_`

du cˆone C(A) :

E

_`

={c| c=αa

_`

, α∈_R

₊

}. (4.4)

Ces d´efinitions ont d´ej`a ´et´e ´evoqu´ees dans l’´etat de l’art de la SAS portant sur les m´ethodes

g´eom´etriques (Section 1.4.5), en inversant les rˆoles (et donc les dimensions) des deux matrices

A et S.

Par d´efinition, l’ensemble des vecteurs observ´es x

m

donn´es par l’Eq. (4.2) est contenu

dans le cˆone C(A) engendr´e par les colonnes de A d´efini par l’Eq. (4.3).

Nous formulons alors l’hypoth`ese suivante : soit ˜x

_m

un vecteur observ´e n’ayant que la

source d’indice `0 ∈ {1, . . . , L} active (i.e. toutes les sources d’indices ` 6= `0 sont nulles).

L’expression d’une telle observation mono-source s’´ecrit alors :

˜

x

_m

=a

_`0

s

_`0m

, (4.5)

L’observation ˜x

m

est donc colin´eaire `a la `

ⁱ₀^eme`

colonne de A. On reconnaˆıt alors l’expression

d’une arˆete (Eq. (4.4)) du cˆone engendr´e par A.

Ainsi, si chaque source est pr´esente dans au moins un vecteur mono-source, on peut

identifier chaque colonne de A (`a un coefficient d’´echelle pr`es) en identifiant les arˆetes du

cˆone englobant l’ensemble des donn´ees.

Hypoth`ese 8 : Pour chaque source, il existe au moins un vecteur observ´e x

m

(i.e. une

colonne de X) pour lequel une unique source est active (i.e. la m

i`eme

colonne de S a une

unique valeur non nulle).

Si cette hypoth`ese est v´erifi´ee par les donn´ees, le cˆone engendr´e par les vecteurs observ´es

C(X) est confondu avec le cˆone C(A). Ainsi, identifier l’enveloppe convexe englobant les

observations X permet d’identifier les colonnes de la matrice de m´elange A. Cette situation

est sch´ematis´ee sur la Figure 4.1.

Figure 4.1 – Repr´esentation de donn´ees issues du m´elange de 3 sources en 3 dimensions.

L’ensemble des vecteurs observ´esx

_m

est contenu dans le cˆone rouge engendr´e par les colonnes

de A. Si les donn´ees contiennent un vecteur mono-source ˜x

m

pour chaque source (Hypoth`ese

8), alors le cˆone engendr´e par les donn´ees X est confondu avec le cˆone engendr´e par A.

L’identification des arˆetes du cˆoneC(A), est bas´ee sur la recherche successive des vecteurs

les plus ´eloign´es au sens angulaire. En premier lieu, le cˆone est d´efini `a partir des deux

observations formant le plus grand angle. A chaque it´eration, la dimension du cˆone estim´e

est incr´ement´ee de 1. L’identification d’une nouvelle arˆete du cˆone est bas´ee sur l’´etude

de l’angle form´e par les observations avec le cˆone existant, plus pr´ecis´ement de l’angle form´e

entre chaque observation et sa projection orthogonale sur le cˆone existant. Le vecteur observ´e

formant un angle maximum est retenu comme nouvelle arˆete du cˆone. Ce processus est r´ep´et´e

jusqu’`a ce que les L colonnes soient identifi´ees.

Avant de voir l’algorithme de MASS en d´etail, on v´erifie les propri´et´es des outils n´ecessaires

`

4.1.2 Crit`ere de s´eparation

L’objectif de ce paragraphe est de montrer que le crit`ere d’angle maximal permet bien

d’identifier les arˆetes du cˆone. Pour simplifier les ´ecritures suivantes, on normalise l’ensemble

des vecteurs observ´esx

_m

de mani`ere `a ce qu’ils soient de longueur unitaire. Cette

simplifica-tion sans incidence sur la m´ethode permet de d´efinir l’angle entre deux observations d’indices

m

₁

etm

₂

not´e :

ang(x

_m1

, x

_m2

) = cos

⁻¹

< x

_m1

, x

_m2

>

kx

_m1

kkx

_m2

k

= cos

⁻¹

(< x

_m1

, x

_m2

>), (4.6)

o`u < ., . > d´efinit le produit scalaire. De plus, le produit scalaire entre les deux vecteurs

observ´es (non n´egatifs et de norme unitaire), est compris dans l’intervalle [0,1]. La fonction

arccos ´etant monotone d´ecroissante sur cet intervalle, chercher les observations qui forment un

angle maximal est ´equivalent `a chercher les observations ayant un produit scalaire minimal.

Cette remarque permet d’all´eger davantage les notations et de travailler uniquement avec des

produits scalaires.

Nous d´etaillons dans la suite les deux cas que nous allons rencontrer dans l’algorithme de

MASS. Le premier cas est l’´etude de l’angle form´e par deux vecteurs observ´es et le second

est l’´etude de l’angle form´e par une observation et sa projection orthogonale sur les arˆetes

d´ej`a identifi´ees du cˆone.

4.1.2.1 Cas de deux vecteurs observ´es

Tout d’abord, montrons que parmi tous les vecteurs observ´es, les deux observations ayant

le plus petit produit scalaire (i.e le plus grand angle) sont mono-sources si l’Hypoth`ese 8

est v´erifi´ee. Soit x

_m1

= P

L

`=1

a

_`

s

_lm1

et x

_m2

= P

L

`=1

a

_`

s

_lm2

les deux vecteurs observ´es

´

etudi´es. Notons ˜x

m1

= a

p

s

pm1

et ˜x

m2

= a

q

s

qm2

deux vecteurs observ´es mono-sources avec

p, q ∈ {1, . . . , L} et p6=q.

1. Le produit scalaire entre deux observations mono-sources est d´efini suivant :

cos(˜x

_m1

,x˜

_m2

) = s

_pm1

s

_qm2

< a

_p

, a

_q

> . (4.7)

2. Le produit scalaire entre deux observations possiblement m´elang´ees est d´efini suivant :

cos(x

_m1

, x

_m2

) = <

L

X

i=1

a

_i

s

_im1

,

L

X

j=1

a

_j

s

_jm2

> =

L

X

i=1 L

X

j=1

< a

_i

s

_im1

, a

_j

s

_jm2

> (4.8)

= ^X

i,j∈{1,...,L} (i,j)6=(p,q)

< a

_i

s

_im1

, a

_j

s

_jm2

>+< a

_p

s

_pm1

, a

_q

s

_qm2

>

| {z }

= cos(˜xm₁,x˜m₂)

.

Or les vecteurs a

_i

et les coefficients s

_im`

sont non n´egatifs pour i ∈ {1, . . . , L}. On a

donc :

< a

_i

s

_im1

, a

_j

s

_jm2

>>0 ∀i, j ∈ {1, . . . , L}. (4.9)

On en d´eduit alors que cos(x

_m1

, x

_m2

)>cos(˜x

_m1

,x˜

_m2

), se qui entraˆıne :

Pour conclure sur ce premier cas, on constate que les deux vecteurs observ´es formant un

angle maximum sont n´ecessairement mono-sources si l’Hypoth`ese 8est v´erifi´ee. On en d´eduit

la propri´et´e suivante :

Propri´et´e 5 : Si x

p

etx

q

sont deux vecteurs observ´es v´erifiant la relation :

< x

_p

, x

_q

>= min

i,j

< x

_i

, x

_j

> ∀i, j ∈ {1, . . . , M}, (4.11)

alors x

_p

etx

_q

sont tous deux mono-sources.

4.1.2.2 Cas d’un vecteur observ´e et de sa projection

Nous avons ´evoqu´e pr´ec´edemment que les arˆetes du cˆone C(A) (i.e. les colonnes de A)

sont identifi´ees it´erativement. Notons ˜A la matrice form´ee par les colonnes estim´ees `a un

instant donn´e de l’algorithme. On constate que C( ˜A) est un sous cˆone de C(A). La seconde

d´emonstration n´ecessaire `a notre m´ethode est de garantir que l’observation formant un angle

maximal avec sa projection sur le sous-espace engendr´e par les colonnes de ˜Aest mono-source

si l’Hypoth`ese 8 est v´erifi´ee (et bien ´evidement s’il reste des arˆetes non identifi´ees).

Soit ˜A = [ˆa

₁

, . . . ,ˆa

_p

] la matrice des p arˆetes d´ej`a identifi´ees, p ∈ {2, . . . , L −1}. Soit

Π = ˜A( ˜A

T

_A)˜

−1

_A˜

T

la matrice de projection orthogonale sur le sous-espace engendr´e par ˜A.

On note m

_`

l’indice de l’observation ´etudi´ee. Si l’observation d’indice m

_`

est mono-source,

on la note ˆx

_m`

=a

_q

s

_qm`

.

1. L’angle entre une observation mono-source et sa projection sur le sous-espace engendr´e

par ˜A v´erifie :

cos(˜x

_m`

,Π˜x

_m`

) =< a

_q

s

_qm`

, Πa

_q

s

_qm`

> . (4.12)

2. L’angle entre une observation possiblement m´elang´ee et sa projection le sous-espace

engendr´e par ˜A v´erifie :

cos(x

m_`

,Πx

m_`

) = <

L

X

i=1

a

i

s

im_`

,

L

X

j=1

Πa

j

s

jm_`

> =

L

X

i=1 L

X

j=1

< a

i

s

im_`

, Πa

j

s

jm_`

>

(4.13)

= ^X

i,j∈{1,...,L} (i,j)6=(q,q)

< a

_i

s

_im`

, Πa

_j

s

_jm`

>+< a

_q

s

_qm`

, Πa

_q

s

_qm`

>

| {z }

= cos(˜x_{m`</sub>,Π˜x<sub>m`})

.

Puisque les vecteurs a

_j

et les coefficients s

_jm`

sont non n´egatifs, on admet ici que le

vecteur projet´e Πa

_j

s

_jm`

est dans l’orthant positif. On a donc :

< a

_i

s

_im`

, Πa

_j

s

_jm`

>>0 ∀i, j ∈ {1, . . . , L}. (4.14)

On en d´eduit alors que cos(x

_m`

,Πx

_m`

)>cos(˜x

_m`

,Π˜x

_m`

), se qui entraˆıne :

Pour conclure sur ce second cas, on constate que l’observation formant un angle maximal

avec sa projection sur le sous-espace associ´e au cˆone C( ˜A) d´ej`a identifi´e est n´ecessairement

mono-source si l’Hypoth`ese 8est v´erifi´ee. On en d´eduit la propri´et´e suivante :

Propri´et´e 6 : Si le vecteur observ´e x

q

v´erifie la relation :

< x

q

,Πx

q

>= min

i

< x

i

,Πx

i

> ∀i∈ {1, . . . , M}. (4.16)

alors x

_q

est mono-source.

Nous avons donc montr´e que le crit`ere d’angle maximal permet la s´eparabilit´e des sources

si les sources sont accessibles, au sens de l’Hypoth`ese 8. Dans la section suivante, nous

d´etaillons l’algorithme complet de MASS bas´e sur l’´etude des angles form´es par les

observa-tions.

Dans le document Méthodes de séparation aveugle de sources et application à l'imagerie hyperspectrale en astrophysique (Page 123-127)