Chapitre 5 – M´ ethode de SAS bas´ ee sur l’intersection de sous-espaces
5.2 La m´ ethode SIBIS
La m´ethode SIBIS permet de d´ecomposer les signaux observ´es m´elang´es en un ensemble
deLsignaux sources et de coefficients de m´elange associ´es. La m´ethode proc`ede en diff´erentes
´
etapes :
— D´etection des paires de zones satisfaisant la contrainte d’intersection mono-source
(Hypoth`ese 9),
— Estimation de la matrice de m´elange A,
— Reconstruction de la matrice des sources S.
Figure 5.2 – G´eom´etrie de l’exemple simple. Les sous-espaces Z
1et Z
2associ´es aux zones
Z
1et Z
2s’intersectent en un sous-espace de dimension 1 contenant a
2.
5.2.1 Identification des paires de zones IMS
L’objectif de cette ´etape est de segmenter le domaine d’analyse en r´egions homog`enes,
puis d’identifier toutes les paires de zones dont l’intersection est mono-source. Une r´egion
ho-mog`ene est d´efinie selon deux caract´eristiques : les pixels appartenant `a cette r´egion poss`edent
les mˆemes sources actives et deux r´egions homog`enes voisines n’ont pas les mˆemes sources
actives.
5.2.1.1 Segmentation
La segmentation est bas´ee sur l’algorithme de “Split and Merge”, bien connu en traitement
des images [61], adapt´e aux donn´ees hyperspectrales. L’algorithme de segmentation proc`ede
en deux ´etapes distinctes.
En premier lieu, le domaine d’analyse est divis´e en petites zones Z (typiquement 5×5
pixels). Le domaine d’analyse est explor´e en utilisant des zones adjacentes ou recouvrantes.
Pour chaque zone, on estime la dimension du sous-espace associ´e (i.e. le nombre de sources
actives dans la zone) en utilisant la m´ethode d´ecrite dans la Section 1.3.1. On notera que
cette ´etape diff`ere de l’algorithme “Split and Merge” original. Dans notre cas, le domaine
d’analyse est enti`erement divis´e au lieu de proc´eder par dichotomie `a l’aide d’un crit`ere de
d´ecision.
La seconde ´etape consiste `a regrouper les zones voisines Z si leur union est homog`ene.
Dans ce but, on compare chaque zone avec tous ses voisins. Si deux zones voisines ont les
mˆemes sources actives, elles sont fusionn´ees. Ensuite, on ´etudie les nouveaux voisins de la
zone ainsi mise `a jour. Ce processus est it´er´e jusqu’`a ce qu’il ne reste plus de fusion possible.
Le crit`ere de fusion est bas´e sur le nombre de sources actives dans chaque zone op´erande Z
1et Z
2(i.e. sur la dimension de Z
1etZ
2). Si :
alors l’union des zones Z
1etZ
2est homog`ene, elles sont donc fusionn´ees. Au final, on obtient
un domaine d’analyse segment´e en K zones homog`enes.
5.2.1.2 Intersections mono-sources
La recherche des paires de zones partageant une unique source est ´egalement bas´ee sur
la dimension des sous-espaces associ´es `a chaque zone. On souhaite trouver toutes les paires
de sous-espaces dont l’intersection est mono-dimensionnelle. Pour chacune des
2!(KK−!2)!paires
possibles, on estime la dimension de l’intersection avec la relation de Grassmann Eq. (5.4).
On identifie toutes les paires de zones satisfaisant la relation :
dim(Z
p∩ Z
q) =dim(Z
p) +dim(Z
q)−dim(Z
p+Z
q) = 1, (5.7)
avec 1 6p < q6K.
5.2.2 Estimation de la matrice de m´elange
L’identification des colonnes de la matrice de m´elangeA est r´ealis´ee en estimant toute les
intersections mono-dimensionnelles. Soit Z
pet Z
qune paire de zones dont l’intersection est
mono-dimensionnelle etZ
petZ
qles deux sous-espaces associ´es. Les zonesZ
petZ
qpartagent
la source d’indice k ∈[1, L].
Avant d’estimer l’intersection, il est n´ecessaire d’obtenir une base de Z
pet une base de
Z
q. Notons d
pet d
qles dimensions respectives de ces sous-espaces. N’importe quelle base
´
etant adapt´ee, on choisit simplement les bases orthogonales (bases propres) fournies par la
d´ecomposition en valeurs singuli`eres (SVD pour Singular Value Decomposition en anglais)
des matrices X(Z
p) etX(Z
q). On note que les bases des quatre sous-espaces fondamentaux
associ´es `a une matrice peuvent ˆetre identifi´ees par SVD [60]. On a :
X(Z
p) = U
pΣ
pV
pT,
X(Z
q) =U
qΣ
qV
qT. (5.8)
Une base orthogonale deZ
p(resp.Z
q) est donn´ee par les d
p(resp.d
q) premi`eres colonnes de
U
p(resp. U
q). Nous obtenons ainsi deux bases dont les vecteurs colonnes p
ietq
jforment les
matrices P et Q. Ces deux bases sont respectivement associ´ees `aZ
pet Z
qselon :
Z
p= span(p
i), ∀i∈[1, d
p]
Z
q= span(q
j), ∀j ∈[1, d
q]. (5.9)
Soit v un ´el´ement de l’intersection Z
p∩ Z
q, alors v ∈ Z
petv ∈ Z
q. Doncv peut ˆetre exprim´e
dans les deux bases :
v =α
1p
1+α
2p
2+· · ·+α
dpp
dp(5.10)
v =β
1q
1+β
2q
2+· · ·+β
dqq
dq, (5.11)
avec α
i, β
j∈R. On en d´eduit alors :
Soit la matrice M = [p
1. . . p
dp−q
1· · · −q
dq] et le vecteur θ = [α
1. . . α
dpβ
1. . . β
dq]
T.
L’´Equation (5.12) peut s’´ecrire sous la forme matricielle suivante :
M θ= 0. (5.13)
Nous reconnaissons alors la d´efinition de ker(M), le noyau de l’application lin´eaire associ´ee
`
a la matrice M. La r´esolution de ce syst`eme lin´eaire permet donc au travers de (5.10) ou
(5.11) d’obtenir une base de l’intersection Z
p∩ Z
q.
De plus, le th´eor`eme du rang [60] pour une matriceM (n×d) avec d=d
p+d
qdonne la
relation :
rg(M) +dim(ker(M)) =d, (5.14)
o`u rg(M) est le rang de colonne de M. La matrice M ´etant compos´ee de l’union des deux
bases P etQ, on a rk(M) =dim(Z
p+Z
q). Le nombre de colonnes d correspond `a la somme
des dimensions des deux sous-espace Z
petZ
q, i.e. d=dim(Z
p) +dim(Z
q). Selon Eq. (5.7)
et Eq. (5.14), on a :
dim(ker(M)) = 1. (5.15)
On en conclut alors que l’´equation (5.13) poss`ede une unique solution (en dehors de la
solution triviale θ = 0), et cette solution nous donne pr´ecis´ement les param`etres de la base
de l’intersection. L’intersectionZ
p∩Z
q´etant mono-dimensionnelle par construction, identifier
une base du noyau de l’application lin´eaire associ´ee `a la matriceM permet d’obtenir de fa¸con
certaine une base de l’intersection.
Comme nous l’avons mentionn´e pr´ec´edemment, la SVD fournit une base des sous-espaces
fondamentaux associ´es `a la matrice M = U
mΣ
mV
Tm
. Dans notre cas, ker(M) ´etant
mono-dimensionnelle, une base du noyau est donn´ee par la derni`ere colonne deV
m(not´ev
d). Donc
θ = v
d, ce qui permet d’obtenir v selon l’´Equation (5.10) ou (5.11). Le vecteur v est alors
utilis´e comme base de l’intersection :
Z
p∩ Z
q={v | v =βa
k, β ∈R}, (5.16)
o`u k ∈ [1, L] est l’indice de la source partag´ee par Z
pet Z
q. Cette intersection donne une
estimation de la colonne deA associ´ee `a la source partag´ee parZ
petZ
q. Cette ´etape
d’iden-tification des intersections est r´ep´et´ee pour chaque paire de zones retenues dans l’´etape
pr´ec´edente. Ainsi, nous obtenons en ensemble de colonnes potentielles de A. Les colonnes
sont g´en´eralement estim´ees de nombreuses fois `a cause de leur possible pr´esence dans de
nom-breuses intersections. Pour compenser cette sur-repr´esentation, nous appliquons une ´etape
de classification (algorithme du K-means [131]) dans le but de regrouper en Lclasses les
esti-mations correspondant `a la mˆeme colonne de la matrice de m´elange. La moyenne de chaque
classe est utilis´ee pour former une colonne de la matrice ˆA (l’estimation de A). Notons que
les colonnes de ˆA sont obtenues dans un ordre arbitraire et `a un facteur d’´echelle pr`es.
5.2.3 Reconstruction des sources
L’´etape finale de la m´ethode consiste `a estimer lesLsources spatiales `a partir des spectres
´
el´ementaires et des observations, sous la contrainte de non n´egativit´e. Cette proc´edure est
identique `a celle utilis´ee dans les chapitres 3 et 4. Le lecteur peut se reporter `a la Section
3.2.1.3 illustrant l’utilisation de l’algorithme NNLS [88] dans notre contexte.
En pratique, l’algorithme de SIBIS se r´esume donc `a :
Entr´ees : X l’ensemble des bandes spectrales observ´ees, L le nombre de sources.
Sorties : A les spectres ´el´ementaires, S les cartes sources.
1. Segmentation du cube de donn´ees en r´egions homog`enes :
— Parcours de tout l’espace spatial du cube et estimation pour chaque zone Z du
nombre de sources actives en utilisant la m´ethode d´ecrite dans la Section 1.3.1.
— Fusion des r´egions connexes ayant les mˆemes sources actives suivant le crit`ere Eq.
(5.6).
2. D´etection des paires de zones ayant une unique source en commun (paires IMS) suivant
la relation Eq. (5.7).
3. Estimation de la colonne de la matrice de m´elange associ´ee `a chaque paire IMS :
— R´esolution du syst`eme Eq. (5.13) avec la SVD.
— Le param`etre θ ainsi obtenu permet de d´efinir une base de l’intersection des deux
zones avec la relation (5.10) ou (5.11).
4. Classification des colonnes potentielles pr´ec´edemment obtenues en L ensembles. Le
centre de chaque cluster donne une estimation de chaque colonne deA.
5. Reconstruction des sources par NNLS avec Eq. (3.6).
Dans le document
Méthodes de séparation aveugle de sources et application à l'imagerie hyperspectrale en astrophysique
(Page 158-162)