Le syst`eme diff´erentiel ´etudi´e dans l’approximation de la pompe constante est un syst`eme d’´equations tr`es g´en´eral fr´equemment rencontr´e en physique et d´esign´e sous le nom de syst`eme de Zakharov-Shabat [115] :
∂ ∂z Zs Z⋆ c = iδ −iq iq∗ −iδ Zs Z⋆ c (3.1)
Dans le cas particulier de l’amplification param´etrique, il faut rajouter au syst`eme pr´ec´edent les conditions initiales suivantes :
Zs = Zs(0)
Zc⋆ = 0 (3.2)
En optique, le syst`eme d’´equation (3.1) se retrouve dans des probl`emes aussi vari´es que les d´epˆots de couches minces [37], l’optique guid´ee [111], les fibres de Bragg [100][30] mais aussi les guides d’ondes coupl´es [70][74], l’effet Brillouin ou l’effet Kerr [115]. Plus g´en´eralement, ce syst`eme d´ecrit les m´ecanismes d’´echange d’´energie entre deux ondes (co- propagatives ou contra-propagatives) plac´ees dans un milieu r´esonnant non absorbant (δ repr´esente l’´ecart `a la r´esonance) et coupl´ees par un coefficient q.
En optique, ce syst`eme d’´equations est le plus souvent connu sous le nom de mod`ele des modes coupl´es et des ouvrages entiers sont consacr´es `a son ´etude. En optique en particulier, l’ouvrage de Yariv [112] fait r´ef´erence en la mati`ere. Une ´etude math´ematique des propri´et´es des solutions du syst`eme ZS particuli`erement int´eressante a ´et´e r´ecemment publi´ee par Sacks [93]. L’auteur y ´etablit une classification des probl`emes du type modes coupl´es en fonction des conditions limites et du signe relatif de q dans les deux termes antidiagonaux de la matrice des poids de (3.1).
Les solutions de ce syst`eme diff´erentiel poss`edent des propri´et´es tr`es g´en´erales et parti- culi`erement instructives. L’objet de ce chapitre est de montrer qu’en vertu de ces propri´e- t´es, la bande de gain complexe d’un amplificateur param´etrique est une fonction causale et qu’en cons´equence la phase et l’amplitude de la bande de gain sont li´ees par une trans- formation de Hilbert et une loi du type Kramers-K¨onig.
Afin de simplifier les notations et de traiter le probl`eme le plus g´en´eral possible, nous allons d´esigner sous le nom de syst`eme ZS le syst`eme suivant o`u le coefficient de couplage q est une fonction complexe variant avec la distance de propagation z.
∂ ∂z u(z, δ) v(z, δ) = iδ −iq(z) iq(z)∗ −iδ u(z, δ) v(z, δ) (3.3)
La correspondance avec le probl`eme du m´elange `a trois ondes est alors la suivante :
u ⇐⇒ Zs u ⇐⇒ Zc⋆ (3.4)
q ⇐⇒ −q δ ⇐⇒ ∆k/2 (3.5)
Les fonctions recherch´ees u et v sont, `a priori, des fonctions `a valeurs complexes d´ependant de deux variables : la distance de propagation z ∈ R et le d´esaccord de phase ou ´ecart `a la r´esonance δ ∈ R.
Il est utile de remarquer que ce syst`eme est formellement identique au syst`eme (1.11) en supposant connues les variations de l’amplitude de pompe up(z). Ce syst`eme permet
´egalement de supposer que le coefficient non lin´eaire du cristal varie au cours de la pro- pagation. Le mod`ele pr´esent´e s’applique donc `a la fois au r´egime de saturation et au cas des mat´eriaux retourn´es p´eriodiquement.
3.1.1
Relations de Manley-Rowe dans le plan complexe et rela-
tion de causalit´e
Fil directeur
L’objet de cette partie est de d´emontrer, par une m´ethode sugg´er´ee par Sacks [93] que :
– le prolongement de la fonction u(L, δ) dans le plan complexe est analytique dans le demi-plan inf´erieur si v(0, δ) = 0
– u(L, δ) ∼ exp(iδL) lorsque δ → ∞
Les cons´equences de ces deux points seront d´etaill´ees dans la partie suivante.
D´emonstration
Supposons que le syst`eme ZS s’applique `a une r´egion de l’espace comprise entre 0 et L. Il est possible de prolonger les fonctions u(z, δ), v(z, δ) et q(z) au del`a de cette r´egion et d’´etendre δ au plan complexe. Nous supposons donc u(z, δ) et v(z, δ) d´efinies pour tout z r´eel et pour tout δ complexe. La fonction q est prolong´ee par q(x) = 0 pour z < 0 et z > L.
Relation de Manley-Rowe dans le plan complexe
La quantit´e ν(z, δ) d´efinie pour tout z r´eel et tout δ complexe
ν(z, δ) = |u(z, δ)|2− |v(z, δ)|2 (3.6) poss`ede une d´eriv´ee dont l’expression est la suivante :
∂ν
∂z = i(δ − δ
∗)³
Pour δ r´eel, on obtient :
∂ν ∂z = 0 et ν est conserv´ee au cours de la propagation :
ν(z, δ) = ν(0, δ)
ce qui signifie :
|u(z, δ)|2− |v(z, δ)|2 = |u(0, δ)|2− |v(0, δ)|2
Ce qui correspond exactement `a la troisi`eme relation de Manley-Rowe. L’interpr´etation non lin´eaire de cette relation est que les variations de flux de photons signal et compl´e- mentaires doivent ˆetre ´egales au cours de l’interaction non lin´eaire.
u(L, δ) n’admet pas de z´ero pour Im(δ) < 0 si v(0, δ) = 0
Si l’on consid`ere maintenant l’int´egrale de (3.7) sur l’intervalle z ∈] − ∞, ∞[ nous obtenons l’´egalit´e : −2Im(δ) Z +∞ −∞ ³ |u(z, δ)|2 + |v(z, δ)|2´dz = ν(+∞) − ν(−∞) (3.8)
Or, `a partir du syst`eme (3.3) prolong´e pour tout z, il est facile de prouver que pour z > L les fonction u et v varient, en module, comme :
|u(z, δ)| = |u(L, δ)| exp(−Im(δ)z) |v(z, δ)| = |v(L, δ)| exp(+Im(δ)z) et pour z < 0 comme :
|u(z, δ)| = |u(0, δ)| exp(−Im(δ)z) |v(z, δ)| = |v(0, δ)| exp(+Im(δ)z)
En cons´equence, si on a simultan´ement u(L, δ) = 0 et v(0, L) = 0 pour un certain δ de partie imaginaire strictement n´egative alors u(z, δ) et u(z, δ) sont identiquement nulles ou d´ecroissent exponentiellement vers z´ero pour z < 0 et z > L. Ceci a pour cons´equence que ν(z, δ) tend vers 0 pour lorque z tend vers −∞ et +∞ et que ν(−∞, δ) = ν(+∞, δ). Ceci est en contradiction avec (3.8) puisque, pour u(z, δ) et v(z, δ) non identiquement nulles, l’´equation (3.8) implique ν(−∞, δ) > ν(+∞, δ). Ce raisonnement d´emontre donc que u(L, δ) ne peut admettre de z´ero dans le demi-plan inf´erieur Im(δ) < 0 si v(0, δ) = 0.
u(L, δ) tend vers exp(iδL) lorsque δ → ∞
Lorsque |δ| → ∞ alors les solutions sont domin´ees par le terme de d´ephasage et l’on peut n´egliger l’effet du couplage et consid´erer que q → 0. Les solutions du syst`eme (3.3)
sont alors telles que u(L, δ) ∼ exp(iδL).
3.1.2
Causalit´e et gain param´etrique
Dans le cas pr´ecis de l’amplification param´etrique, l’intensit´e de l’onde compl´ementaire est nulle `a l’entr´ee du cristal. Ceci correspond `a la condition initiale Zc = 0 ou encore `a
v(0, δ) = 0.
Comme d´emontr´e dans la partie pr´ec´edente, on a donc les r´esultats :
– u(L, δ) est analytique dans le demi-plan inf´erieur ;
– u(L, δ) ∼ exp(iδL) lorsque δ → ∞.
Des deux derniers points on d´eduit que la fonction
F (δ) = ln [u(L, δ) exp(−iδL)]
est ´egalement analytique dans le demi-plan inf´erieur du plan complexe Im(δ) < 0 et tend vers 0 lorsque |δ| → ∞. Il d´ecoule alors des propri´et´es classiques des fonctions analytiques que F (δ) est une fonction causale ou encore de phase minimum. En particulier,sur l’axe r´eel, les parties r´eelle et imaginaire de F (δ) sont reli´ees par une transform´ee de Hilbert :
F (δ) = 1 iπ Z +∞ −∞ F (δ′) δ − δ′dδ ′ (3.9)
En revenant `a la fonction u(L, δ), on a donc :
ln [u(L, δ) exp(−iδL)] = 1 iπ Z +∞ −∞ ln [u(L, δ′) exp(−iδ′L)] δ − δ′ dδ ′ (3.10)
En d´ecomposant u(L, δ) exp(−iδL) en module et argument, on obtient une ´equation reliant la phase au module de u. Comme il se trouve que u(L, δ) exp(+iδL) est pr´ecis´ement pro- portionnel au gain complexe g(δ) = Zs(L)/Zs(0) de l’amplificateur param´etrique, l’´equa-
tion (3.9) conduit donc `a la relation cl´e suivante permettant de calculer la phase non lin´eaire associ´ee `a une bande de gain param´etrique donn´ee :
arg(g(δ)) = 2δL − π1 Z +∞ −∞ ln |g(δ′)| δ − δ′ dδ ′ (3.11)
En conclusion, ind´ependamment des valeurs de la fonction de couplage q(z), le gain param´etrique complexe v´erifie n´ecessairement les conditions suivantes :
– |g| ≥ 1 (Manley-Rowe)
– |g| → 1 lorsque |δ| → ∞ (bande de gain finie)
– arg(g) = 2δL − iH[ln(g)] (condition de phase minimum)
Remarque : l’int´egrale de Hilbert porte sur l’ensemble des δ, or, δ ´etant proportionnel au d´esaccord de phase ∆k qui d´epend lui-mˆeme de la fr´equence optique, toutes les valeurs
de g(δ) ne sont pas n´ecessairement exp´erimentalement accessibles. En particulier, pour un amplificateur d´eg´en´er´e en fr´equence en type I, le d´esaccord de phase pr´esente un extremum local en fonction de la fr´equence optique et le signe de ∆k demeure constant sur toute la bande de gain. Il ne semble donc pas possible d’appliquer les formules pr´ec´edentes telles quelles dans tous les cas, `a moins d’examiner les modifications `a apporter aux formules ´etablies.