2.2 Acceptance spectrale d’un accord de phase de type I
2.2.1 D´esaccord de phase transverse et longitudinal
Avant d’aborder la question de l’acceptance spectrale d’un amplificateur param´etrique optique, il est n´ecessaire d’examiner la question du d´esaccord de phase en g´eom´etrie non colin´eaire. Jusqu’`a pr´esent, le d´esaccord de phase consid´er´e, ∆k a toujours ´et´e une grandeur scalaire. Or, en g´eom´etrie non colin´eaire, le d´esaccord de phase est de nature
vectorielle :
∆k = kp− ks− kc
Il est bien sˆur tentant d’assimiler le d´esaccord de phase scalaire au module du d´esaccord de phase vectoriel puisque le premier est une mesure du second. Il en va pourtant tout autrement d’un point de vue th´eorique ainsi que je vais le montrer par deux raisonnements diff´erents mais compl´ementaires.
Ondes paraxiales
Si l’on consid`ere trois ondes planes en interaction non colin´eaire mais paraxiale (angle faible) le long d’un axe z, dans un volume de mat´eriau non lin´eaire, il est licite d’´ecrire que le champ ´electrique en un point M (rM) pour une onde donn´ee, disons l’onde signal,
est proportionnel `a la somme des champs rayonn´es `a la fr´equence du signal par tous les points P (r) et propag´es jusqu’en M. Un tel formalisme revient `a chercher le propagateur de Green associ´e au probl`eme du m´elange `a trois ondes, chose faite par Shen dans son ouvrage de r´ef´erence [95], Shen d´emontre que l’hypoth`ese de l’enveloppe lentement variable est ´equivalente `a n´egliger les contributions rayonn´ees en arri`ere. On peut donc restreindre le volume d’int´egration aux points P tels que z < zM. En supposant que l’axe z correspond
`a l’axe de propagation de l’onde pompe et que les directions de propagation des ondes signal et compl´ementaire forment des petits angles αs et αc avec l’axe z, on peut ´ecrire
les champs ´electriques sous la forme :
Ej(r, t) = Aj(z/ cos αj)
e
i(k.r−ωjt) j=s,c,po`u kj d´esigne le projet´e du vecteur d’onde le long de l’axe z. L’amplitude signal au point
r est alors donn´e par :
As(z/ cos αs) − As(0) ∝ Z V
e
−iksrA p(z′)e
ikpr ′ Ac(z′/ cos αc⋆)e
−ikcr ′ dr′ (2.2) En raisonnant sur un volume V de profondeur l suffisamment faible pour que les amplitudes des champs puissent ˆetre consid´er´ees comme constantes (l ≪ lN L), on a donc,au premier ordre :
As(z/ cos αs) − As(0) ∝ Ap(z)Ac(z/ cos α⋆c) Z V
e
i(kp−ks−kc)r′dr′ (2.3) soit : dAs dz ∝ Ap(z)A ⋆ c(z/ cos αc)e
i∆kk.z Z Se
i∆k⊥.r′dr′ (2.4)∝ Ap(z)A⋆c(z/ cos αc)δ (∆k⊥)
e
i∆kk.z (2.5)r´eserve que cette ´ecriture soit possible4, l’interaction param´etrique n’est possible que si
le terme int´egral ne s’annule pas, c’est-`a-dire que si le d´esaccord de phase transverse (au sens de z) est nul5 :
∆k × z = 0
On retrouve alors l’´equation diff´erentielle de propagation trouv´ee plus haut : dAs
dz ∝ Ap(z)A
⋆
c(z)
e
i∆kzo`u le d´esaccord de phase scalaire correspond `a la projection du vecteur d´esaccord de phase suivant l’axe de propagation moyen z.
Relations de passage `a l’interface air-cristal en g´eom´etrie non colin´eaire Comme pour r´esoudre tout probl`eme diff´erentiel, les conditions initiales doivent ˆetre pr´ecis´ees. Dans le cas du probl`eme qui nous int´eresse (trois ondes planes coupl´ees par une non lin´earit´e quadratique), les ´equations de Maxwell imposent que la composante trans- verse du champ ´electrique (du vecteur d´eplacement pour ˆetre exact) total soit conserv´ee `a la travers´ee de l’interface air/cristal. Dans le cristal non lin´eaire, le vecteur d´eplacement est la somme du champ ´electrique incident, de la polarisation lin´eaire du milieu et de la polarisation non lin´eaire. Il est bien connu que la polarisation lin´eaire est responsable du bien connu ph´enom`ene de r´efraction dans les milieux isotropes (loi de Snell-Descartes) et de double r´efraction dans les milieux bir´efringents (loi de Descartes g´en´eralis´ee). Les effets li´es `a la polarisation non lin´eaires sont, en revanche, moins bien connus.
Ces effets ont ´et´e n´eanmoins ´etudi´es d´es 1962 par Bloembergen et Pershan [12] puis par Armstrong et ses collaborateurs [3]. Dans le cas particulier o`u seules deux ondes sont pr´esentes `a l’interface air/cristal, ce qui est le cas de l’amplification param´etrique optique, on montre que la troisi`eme onde est g´en´er´ee de telle mani`ere que le vecteur d´esaccord de phase soit orthogonal `a l’interface. Une d´erivation d´etaill´ee de ce r´esultat ´etendue `a la g´eom´etrie non colin´eaire et aux cristaux biaxes peut ˆetre trouv´ee dans la th`ese d’Igor Jovanovic [62].
Une interpr´etation physique simple de ce r´esultat est le suivant : comme le probl`eme consid´er´e est invariant par translation suivant les axes orthogonaux `a z, l’impulsion trans- verse totale doit ˆetre conserv´ee `a la travers´ee de l’interface, ce qui s’´ecrit :
Ptot⊥ = ~Φpkp,⊥+ ~Φpks,⊥ = ~Φ′pkp,⊥′ + ~Φ′sks,⊥′ + ~Φ′ck′c,⊥
4. Pour des ondes non paraxiales ou pour des conditions initiales brisant la g´eom´etrie du probl`eme (par exemple, une interface vide/cristal oblique), cette ´ecriture n’est pas possible puisqu’on ne peut plus assimiler une surface d´efinie par z = cte comme un plan de phase, mˆeme approch´e.
5. Cette condition est rigoureuse en ondes planes seulement. D´es que l’on limite l’extension transverse de l’onde, la distribution de Dirac devient un sinus cardinal et un petit d´esaccord de phase transverse peut ˆetre tol´er´e. Cependant, comme montr´e dans l’annexe A, cette tol´erance est quasiment nulle pour des faisceaux de dimensions millim´etriques.
∆k
k
sk
pk
p-k
sk
p’k
s’k
p’-k
s’k
c’χ
(2)cristal
vide
∆k
k
sk
pk
p-k
sk
p’k
s’k
p’-k
s’k
c’χ
(2)cristal
vide
Fig. 2.10 – Ondes `a l’interface entre le vide (l’air) et le cristal non lin´eaire. L’interface est perpendiculaire au plan de la page. Les ondes r´efl´echies ont ´et´e omises sur le sch´ema.
o`u les flux de photons progressant vers les z positifs sont repr´esent´es par le symbole Φ. Comme la relation de Descartes impose, ind´ependamment, que l’impulsion transverse des ondes pompe et signal soit conserv´ee (ks,⊥ = ks,⊥′ et kp,⊥ = k′p,⊥), la relation pr´ec´edente
conduit, en n´egligeant les ondes r´efl´echies6, `a :
(Φ′p− Φp)kp,⊥′ + (Φ′s− Φs)ks,⊥′ + Φ′ckc,⊥′ = 0
D’o`u, en utilisant la conservation des flux de photons (relations de Manley-Rowe) :
k′s,⊥+ k′c,⊥− kp,⊥′ = 0
ce qui est le r´esultat recherch´e. Pour des ondes paraxiales dont la direction moyenne de propagation est orthogonale `a la face d’entr´ee du cristal on retrouve donc le mˆeme r´esultat que pr´ec´edemment.
Conclusion
En g´eom´etrie non colin´eaire, le d´esaccord de phase `a consid´erer est le d´esaccord de phase longitudinal, au sens de la direction moyenne de propagation pour des ondes pa- raxiales, si l’on raisonne sans conditions initiales (pour la g´en´eration param´etrique par exemple), ou encore au sens de la normale `a la face d’entr´ee du cristal. Le d´esaccord de phase transverse est, lui, toujours nul. A l’accord de phase exact, le vecteur d´esaccord de phase est donc identiquement nul.