Propriétes apparentes et effectives

    T = G_i.x_i ∀ x  ∂V G_i =< ∇T >= _V¹´ V ∇T dV (1.27)

où Gi est un tenseur d’ordre 1 constant indépendant de x.

Le vecteur flux macroscopique est alors obtenu par la moyenne des flux locaux dans tout le volume V : Q_i =< q_i >= ¹ V ˆ V q_i.dV (1.28)

Conditions aux limites du flux de chaleur homogène sur le contour (U HF ) Dans ce cas on applique sur le volume extérieur ∂V du volume V un flux de chaleur Q_i correspondant à la moyenne des flux locaux qi dans le volume par :

     q_i.n = Q_i.x_i ∀ x_i ∂V Q_i =< q_i >= _V¹ ´ q_idV V (1.29)

Le vecteur gradient de température macroscopique Gi est alors obtenu par la moyenne des gradients locaux gi : G_i =< g_i >=< ∇T >= ¹ V ˆ V ∇T.dV (1.30)

Conditions aux limites Périodiques (P BC) Dans ce cas, la température prend la forme :

     T = G_i.x_i+ t ∀ x_i ∂V Gi =< ∇T >= _V¹´ V ∇T dV (1.31)

où la flectuation t de la température est périodique.

1.3.5.3 Propriétes apparentes et effectives Elasticité linéaire

A partir des conditions aux limites décrites précédemment, les déformations et les contraintes locales vérifient les relations :

E_ij =< ε_ij > (1.32) et

Σ_ij =< σ_ij > (1.33)

Par conséquent, les tenseurs Aijkl et Bijkl présentent les propriétés suivantes :

N X ph=1 P_ph(A_ijkl)_ph= I_ijkl (1.34) et N X ph=1 Pph(Bijkl)ph= Iijkl (1.35)

où Iijkl est le tenseur unité d’ordre 4.

La relation constitutive pour le matériau hétérogène est donnée par :

< σ_ij >= C_ijkl^app< ε_kl> (1.36) D’après les équations 1.1, 1.7 et 1.13 on a :

N X ph=1 P_ph< σ_ij >_ph= C_ijkl^app < ε_kl > ⇔ N X ph=1

Pph(cijkl)ph< εkl >ph= C_ijkl^appEkl

⇔

N

X

ph=1

Pph(cijmn)ph(Amnkl)phEkl= C_ijkl^appEkl

⇒ C_ijkl^app = N X ph=1 P_ph(c_ijmn)_ph(A_mnkl)_ph (1.37) où Capp ijmnet Sapp

ijkl sont respectivement les tenseurs apparents d’élasticité et de souplesse pour un volume V .

On obtient ainsi le tenseur de rigidité équivalent Capp

ijklexprimé en fonction des tenseurs de rigidité (Cijkl)_ph et des tenseurs de localisation (Amnkl)_phde la déformation dans chaque phase « ph ».

Dans le cas particulier d’un milieu hétérogène constitué de N phases de type inclusions noyées dans une matrice dominante, et grâce à l’égalité sur la moyenne des tenseurs de localisation 1.34 et 1.35, les tenseurs apparents d’élasticité et de souplesse, peuvent êtres écrits, en notant m l’indice de la phase constituant la matrice par :

C_ijkl^app= (C_ijkl)_m+

N

X

ph=1

P_ph((C_ijmn)_ph− (C_ijmn)_m)(A_mnkl)_ph (1.38) et

S_ijkl^app = (S_ijkl)_m+

N

X

ph=1

P_ph((S_ijmn)_ph− (S_ijmn)_m)(B_mnkl)_ph (1.39)

Il a été observé pratiquement que les résultats apparents diffèrent d’une condition aux limites à l’autre, mais convergent avec l’augmentation de la taille du V.E en se rap-prochant de la taille du V.E.R ([Kanit et al., 2003] ; [Qi, 2006] ; [Kari et al., 2007]). Cette convergence est plus ou moins lente selon le cas étudié. Ainsi, il est démontré que les condi-tions homogènes KUBC et SUBC fournissent un encadrement du comportement apparent [Huet, 1991] exprimé par :

S_ijkl^app−1

Σ ≤ C_ijkl^{ef f} ≤ C_ijkl^app

E (1.40)

et que les conditions aux limites périodiques (CLP ) donnent une meilleure estimation des propriétés apparentes par rapport aux conditions homogènes - KUBC, SUBC ([Hazanov and Huet, 1994] ; [Kanit et al., 2003]) donnée par :

S_ijkl^app−1

Σ ≤ S_ijkl^app−1

Σper ≤ C_ijkl^{ef f} ≤ C_ijkl^app

Eper ≤ C_ijkl^app

E (1.41)

Lorsque le V.E.R est suffsamment grand (voir figure 1.2), les propriétés apparentes du matériau hétérogène ne dépendent plus du type de conditions aux limites et coincident avec les propriétés effectives [Sab, 1992].

S_ijkl^app−1

Σ = S_ijkl^app−1

Σper = C_ijkl^{ef f} = C_ijkl^app

Eper = C_ijkl^app

Figure 1.2: Illustration de la convergence de la propriété Z pour les différentes conditions aux limites

Pour les propriétés isotropiques effectives il y a des cas spéciaux des conditions aux limites KUBC, SUBC et P BC pour lesquelles on choisit les valeurs de Eij et Σij.

Propriétés élastiques :

Pour la détermination du module de compressibilité kapp sur le volume V et pour résoudre les problèmes micromécaniques KUBC, le tenseur des déformations macrosco-piques Ek

ij suivant est appliqué :

E_ij^k =    1 3 0 0 0 ¹₃ 0 0 0 ¹₃    (1.43)

et pour la détermination du module de cisaillement µapp sur le volume V , le tenseur des déformations macroscopiques Eµ

ij suivant est appliqué :

E_ij^µ =    0 ¹₂ 0 1 2 0 0 0 0 0    (1.44)

Le module de compressibilité kapp et le module de cisaillement µapp peuvent être defini comme :

k^app=< σ_ij > E_ij^k = ¹

3^{trace < σij >} (1.45)

Pour le cas de la condition aux limites SUBC, on prend : E_ij^k =    1 0 0 0 1 0 0 0 1    (1.47) et E_ij^µ =    0 1 0 1 0 0 0 0 0    (1.48)

dans ce cas le module de compressibilité kappet le module de cisaillement µapppeuvent être définis comme suit :

1

kapp = E_ij^k < ε_ij >= trace < ε_ij > (1.49) 1

µapp = E_ij^µ < ε_ij >= 2 < ε₁₂> (1.50) Conductivité thermique

En thermique, par analogie avec l’élasticité et à partir des conditions aux limites décrites précédement, le flux de chaleur et le gardient de température locaux vérifient les relations :

G_i =< g_i >=< ∇T > (1.51) et

Q_i =< q_i > (1.52)

La relation constitutive pour le matériau hétérogène est donnée par :

< qi >= −λ^app_ij < gi > (1.53) D’après les équations 1.4, 1.11 et 1.16, on aura :

N

X

ph=1

⇔ N X ph=1 P_ph(λ_ij)_ph< g_i >_ph= λ^app_ij G_i ⇔ N X ph=1 Pph(λin)ph(anj)phGj = λ^app_ij Gj ⇒ λ^app_ij = N X ph=1 P_ph(λ_in)_ph(a_nj)_ph (1.54) On obtient le tenseur de la conductivité thermique équivalente λapp

ij qui s’exprime en fonc-tion des conductivités thermiques (λij)_ph et des tenseurs de localisation (aij)_ph de chaque phase.

Dans le cas particulier d’un milieu hétérogène constitué de n phases en inclusions noyées dans une matrice dominante, les tenseurs apparents de conductivité et de resistivité thermique, peuvent être écrits, en notant m l’indice de la phase constituant la matrice par :

λ^app_ij = (λ_ij)_m+ N X ph=1 P_ph((λ_ij)_ph− (λ_ij)_m)(a_mn)_ph (1.55) et ρ^app_ij = (ρ_ij)_m+ N X ph=1 P_ph((ρ_ijmn)_ph− (ρ_ijmn)_m)(b_mnkl)_ph (1.56) et ceci pour les problèmes UGT et UHF respectivement.

Selon la condition aux limites imposée, le tenseur de conductivité apparent peut être défini par :

λ^app_ij

G =< λ_im.a_mj > (1.57)

et

λ^app−1_ijQ =< ρim.bmj > (1.58) Là encore, sur un volume hétérogène V , en faisant un calcul pour chaque condition aux limites, on peut encadrer la conductivité thermique effective par les conductivités apparentes associées à chaque condition aux limites.

ρ^app−1_ij

Q ≤ ρ^app−1_ij

Qper ≤ λ^{ef f}_ij ≤ λ^app_ij

Gper ≤ λ^app_ij

Les conductivités apparentes sont égales à la conductivité effective lorsque le volume V est assez grand. ρ^app−1_ij Q = ρ^app−1_ij Qper = λ^{ef f}_ij = λ^app_ij Gper = λ^app_ij G (1.60)

Pour le cas des propriétés effectives isotropes, les gradient de température et de flux de température sont donnés par :

G_i = (111)^T (1.61)

et

Q_i = (111)^T (1.62)

Ainsi la conductivités thermiques apparentes peuvent être déterminées par :

λ^app= ¹

3^{trace < qi >} (1.63)

λ^app−1= ¹

3^{trace < ∇T >} (1.64)