Estimations analytiques des propriétés thermiques

(µi−µ_m) + ^2(km+2.µm).Pm 5µm(.km+⁴₃.µm) (1.119) µ^HS+= µ_i. + ^Pm 1 (µm−µi) + ^2(ki+2.µi).Pi 5.µi(ki+⁴₃.µi) (1.120)

et pour le cas 2 dimensions, les deux modules sont exprimés par : – le module de compressiblité : k^HS−= k_m. + ₁ ^Pi (ki−km) + ^3.Pm (3.km+4.µm) (1.121) k^HS+= k_i. + ₁ ^Pm (km−k_i)+ ^3.Pi (3.ki+4.µi) (1.122) – le module de cisaillement : µ^HS− = µ_m. + ^Pi 1 (µi−µm) + ^6(Km+2.µm).Pm 5µm(3.km+4.µm) (1.123) µ^HS+= µ_i. + ^Pm 1 (µm−µ_i)+ ^6(Ki+2.µi).Pi 5.µi(3.ki+4.µi) (1.124)

A noter que pour une distribution isotrope d’inclusions sphériques dures diluées dans une matrice molle, la borne inférieure de Hashin et Shtrikman est équivalente à l’estimation de Mori-Tanaka [Mori and Tanaka, 1973].

1.5 Estimations analytiques des propriétés thermiques

De nombreux modèles analytiques permettent la détermination de la conductivité thermique effective λef f en fonction des conductivités thermiques des constituants et de leurs fractions volumiques.

Dans le cas d’un matériau biphasé de type matrice inclusion, de conductivites ther-miques λ1et λph de la matrice et de l’inclusion respectivement, les modèles les plus cou-rament utilisés sont présentés dans ce qui suit.

1.5.1 Modèles analytiques de changement d’échelles

1.5.1.1 Problème de l’inclusion d’Eshelby

Par analogie à l’élasticité, la solution du problème d’inhomogénéité d’Eshelby consti-tue une platforme pour la construction des différents schémas d’estimation de la conducti-vité thermique effective.

1.5.1.2 Schéma des distributions diluées :

Dans ce cas, la fraction volumique est considérée faible et les interactions entre les différentes hétérogénéités (phases) ne sont pas prises en compte. En conséquence, le tenseur de concentration moyen de chaque phase ph est donné par :

a_ph =< [I + (λ_ph− λ₁).H_ph]⁻¹ > (1.125) où Hi est le tenseur de HILL.

L’estimation des vecteurs de la conductivité thermique homogène sera exprimée par :

λ^dl = λ₁+ N X ph=2 P_ph(λ_ph− λ₁).a_ph (1.126) 1.5.1.3 Modèle auto-cohérent

Dans cette méthode, pour tenir compte de l’interaction entre les constituants du milieu hétérogène, on suppose que le milieu entourant chaque inclusion est un milieu infini possédant les caractéristiques du matériau homogénéisé recherché.

En supposant que le milieu équivalent soit soumis au gradient thermique homogène au contour, on obtient :

< ∇T >_ph= a^AC_ph .E (1.127) avec

a^AC_ph =<I + (λ_ph− λ^AC).H_ph^AC−1 > (1.128) l’estimation des vecteurs de la conductivité thermique homogène est exprimée par :

λ^AC = λ₁ + N X ph=2 P_ph(λ_ph− λ₁) .a^AC_ph (1.129) 1.5.1.4 Schéma de Mori-Tanaka

Pour tenir compte de l’interaction des inclusions, le schéma de Mori-Tanaka [Mori and Tanaka, 1973] est utilisé. Le principe de ce schéma est de considérer l’inhomogénéité ellipsoidale immergée dans la matrice soumise à un gradient thermique fictif G0.

La solution du problème de l’inhomogénéité permet d’ecrire :

< ∇T >_m= G⁰ (1.130)

< ∇T >_ph= a_phG⁰ (1.131)

et en prenant en compte la valeur moyenne < ∇T >= G, on obtient la relation entre G0

et G G⁰ = a^{M T}_int G (1.132) avec : a^{M T}_int = " 1 − N X ph=2 Pph ! .I + N X ph=2 Pph.aph #−1 (1.133)

Des équations 1.131 et 1.132, on obtient le tenseur de localisation de la phase ph comme :

a^{M T}_ph = a_ph.a^{M T}_int (1.134) où : aM T

ph est le tenseur de localisation de Mori-Tanaka a_ph est tenseur de localisation de chaque phase

aM T

int est le tenseur de localisation de Mori-Tanaka Intermédiaire.

L’estimation des vecteurs de la conductivité thermique homogène est exprimée par :

λ^{M T} = λ₁+ N X ph=2 .P_ph(λ_ph− λ₁) .a_ph " 1 − N X ph=2 P_ph ! .I + N X ph=2 P_ph.a_ph #−1 (1.135)

1.5.2 Estimations théoriques

Les estimations les plus utlisées dans la littérature, dans le domaine de la conductivité thermique, sont explicitement présentées dans ce qui suit :

1.5.2.1 Estimation de Maxwell -Garnett

J.C Maxwell [Maxwell Garnett, 1904] a donné une approximation de la conducti-vité thermique effective d’une seule inclusion sphérique intégrée dans une matrice in-finie. Sur la base de ce résultat, JC Maxwell-Garnett a proposé une extension de d-dimension à i inclusions sphériques de conductivité λi et de fraction volumique P dans

une matrice infinie de conductivité λm, en supposant aucune interaction entre les inclu-sions [Maxwell Garnett, 1904].

Ainsi, par superposition de la contribution de chaque inclusion, il en resulte : λM G− λ_m

λM G+ (d − 1)λ_m ^{= P}

i

V( ^λi− λ_m

λ_i+ (d − 1)λ_m⁾ (1.136) qui peut être écrite comme suit pour d = 3

λ^{M G} = λ_m^{λi(1 + 2Pi) − λm(2Pi}− 2)

λ_m(2 + P_i) + λ_i(1 − P_i) (1.137) et pour d = 2

λ^{M G} = λ_m^{(λi+ λm) + Pi(λi}− λ_m)

(λm+ λi) − Pi(λi− λm) (1.138) En effet, les équations 1.136 et 1.137 coïncident avec les limites optimales Hashin-Shtrikman qui sont introduites dans la section 1.5.3.3. Comme l’estimation de Maxwell-Garnett ne tient pas compte de l’interaction entre les particules, sa validité est limitée à de petites fractions volumiques.

1.5.2.2 Modèle auto-cohérent de Bruggeman

Bruggeman a proposé dans [Bruggeman, 1935] un modèle auto-cohérent destiné à déterminer la conductivité effective λHC sur un support constitué de n particules sphériques de différentes conductivités λj et de j volume fractions volumiques Pj :

N

X

ph=1

P_ph ^λph− λAC

λph+ (d − 1)λAC = 0 (1.139)

Dans le cas d’un matériau biphasé à d dimensions, la solution de l’équation 1.139 sera :

λ^AC = ^{α +}pα2+ 4(d − 1)λ1λ2

2(d − 1) (1.140)

avec

α = λ1(d.P1 − 1) + λ2(d.P2− 1) (1.141) L’équation auto-cohérente a été étendue au cas à d dimensions d’une distribution d’inclusions sphériques de conductivités λi et de fractions volumiques Pi diluées dans une matrice de conductivité λm :

P_i(λ_i− λAC)

d.λAC +^{(1 − Pi)(λm}− λAC)

λ_m+ (d − 1)λAC = 0 (1.142)

Comme toutes les phases sont traitées de manière identique dans cette estimation auto-cohérente, son utilisation pour les composites fortement contrastés n’est pas recom-mandée.

Pour le cas d’un matériau biphasé à deux dimensions, le modèle auto-cohérent est solution de l’équation :

λ_m− λAC

λm+ 2λACP_m+ ^λi− λAC

λi+ 2λACP_i = 0 (1.143)

1.5.3 Encadrements analytiques des propriétés thermiques

Comme pour le cas des propriétés élastiques, les bornes théoriques peuvent être dé-finies pour la conductivité thermique sur la base des principes variationnels et sur les informations statistiques sur la morphologie du matériau. Nous allons examiner les maté-riaux à n phases, bien que chaque borne sera citée explicitement pour les matématé-riaux à deux phases.

1.5.3.1 Bornes d’ordre 0

Si on considère que λ1 est la conductivité la moins conductrice et λ2 la conductivité la plus conductrice d’un matériau composite, les bornes d’ordre 0 correspondent aux pro-priétés de chacune des phases. Le tenseur de conductivité homogénéisé est alors délimité par les conductivités de la phase la plus conductrice λ2 et la phase la moins conductrice λ1comme suit :

λ₁ ≤ λH ≤ λ₂ (1.144)

Ces bornes ne prennent pas la fraction volumique en compte. En fait, ils sont d’un intérêt limité, car ils ne donnent aucune estimation utile des propriétés homogénéisées.

1.5.3.2 Bornes d’ordre 1

Si les informations concernant la fraction volumique sont disponibles, leur utilisa-tion permet l’obtenutilisa-tion des bornes de Wiener [Wiener, 1912]. Elles correspondent respec-tivement à la moyenne géomètrique et arithmétique des conductivités λj des phases j, pondérées par les fractions volumiques Pj tel que :

λ_{W iener+}= N X ph=1 P_{P h}λ_ph (1.145) 1 λ_{W iener−} ⁼ N X ph=1 1 P_phλ_ph Les expressions d’un matériau biphasé sont données par :

λ_{W iener+}= P₁λ₁+ P₂λ₂ (1.146)

λ_{W iener−} = ^λ1λ2

P₁λ₂+ P₂λ₁ (1.147)

La propriété effective est alors comprise entre :

λW iener−≤ λ^H ≤ λW iener+ (1.148)

1.5.3.3 Bornes d’ordre 2

Hashin et shtrikman [Hashin and Shtrikman, 1962] proposent un encadrement du second ordre plus performant des propriétés d’un matériau multiphasé. Pour un matériau isotrope à d dimensions et constitué de N phases isotropes où λph sont les conductivités thermiques et si la conductivité la plus basse est notée λ1 et la plus haute par λN alors les expressions de la borne superieure λHS+ et la borne inférieure λHS−sont données par :

λ^HS−= ( N X ph=2 P_ph(α₁+ λ_ph)⁻¹)⁻¹− α₁ (1.149) λ^HS+= ( N X ph=1 Pph(αN + λph)⁻¹)⁻¹− αn (1.150) avec α1et αN données par :

α1 = P1λ1+ Pphλph− ^{P1Pph(λph− λ1)} 2 λ_phP₁+ λ₁P_ph+ (d − 1)λ₁ (1.151) α_N = P_phλ_ph+ P_Nλ_N − ^{PphPN(λN − λph)} 2 λ_NP_ph+ λ_phP_N + (d − 1)λ_ph (1.152) où Pph est la fraction volumique de la phase ph.

la conductivité thermique effective est alors bornée par :

λ^HS−≤ λH ≤ λHS+ (1.153)

Pour un matériau bipasé à 3 dimensions les expressions des bornes sont données par :

λ^HS− = λ₁+ ₁ ^P2 λ2−λ1 + ^P1 3λ1 (1.154) λ^HS− = λ₂+ ₁ ^P1 λ1−λ₂ + ^P2 3λ2 (1.155) Dans le cas 2 dimensions, il suffit de remplacer le 3 dans les expresssions précédentes par un 2 pour obtenir : λ^HS− = λ₁+ ₁ ^P2 λ2−λ₁ + ^P1 2λ1 (1.156) λ^HS− = λ₂+ ₁ ^P1 λ1−λ₂ + ^P2 2λ2 (1.157)