3.5 Propriétés thermiques apparentes et effectives
3.5.3 Conductivité thermique effective vs morphologie des inclusions
3.5.3.1 Expression reliant la conductivité thermique des matériaux
D’après la littérature, les modèles théoriques actuelles proposent des estimations de la conductivité thermique effective sans la prise en compte de l’effet de la morphologie des pores et comme l’effet de la forme, pour les milieux poreux, a été prouvé par cette étude, on se propose dans cette section, d’établir une relation simple liant la conductivité thermique effective de ce type de matériaux à la morphologie des pores.
Pour cela, plusieurs tests de fittage sont effectués sur tous les points obtenus par simu-lation, avec différentes fonctions numériques, afin d’obtenir une meilleure représentativité des résultats. La fonction qui a répondu au mieux à ces tests est :
λef f = A. ln(r) + B (3.16)
Les valeurs des paramètres A et B obtenues par fittage de la formule proposée Eq. 3.16 et des résultats de simulation sont présentées dans le Tableau 3.3.
λm = 30 λm = 100 λm = 150 λm = 300 P% A B λM ax A B λM ax A B λM ax A B λM ax 10 1.54 24.74 24.5 3.69 81.64 81.82 5.59 122.54 122.73 11.38 245.01 245.46 20 2.55 19.4 20.0 8.55 66.55 66.68 12.84 99.82 100.01 25.71 199.60 200.01 30 3.05 16.4 16.17 9.58 54.00 53.86 14.37 81.03 80.78 28.75 162.07 161.55 40 2.31 11.84 12.87 7.85 40.86 42.87 11.78 61.28 64.30 23.6 122.54 128.56 50 2.35 9.75 10.02 7.06 31.52 33.15 10.63 47.26 50.02 21.05 94.3 100.02 Tableau 3.3: Paramètres de fittage pour les différentes conductivités thermiques de la
ma-trice comparés au modèle de Maxwell
Le premier point important concerne la valeur du deuxième paramètre de fittage B qui coïncide avec la valeur du modèle de Maxwell, de sorte que la formule proposée (P F ) peut être réécrite comme suit :
λef f = λM axl+ A ln(r) (3.17) où λM axl est la conductivité thermique effective du modèle de Maxwell exprimée par :
Figure 3.16: Résultats numériques (points) et les modéles continus proposés (fittage) pour les différents cas étudiés.
λM axl = λ22 λ1 λ2 − P2(λ1 λ2 − 1) 2 + P2(λ1 λ2 − 1) (3.18)
La formule 3.17 ainsi proposée peut être considérée comme un ajustement du modèle de Maxwell qui prend en compte l’effet de la morphologie des pores sur la conductivité thermique effective des milieux poreux.
Il est très clair, d’après les résultats du tableau 3.3, que le paramètre A varie en fonction de la fraction volumique P et de la conductivité thermique de la matrice. On commence, à travers la figure 3.16, par représenter la variation du paramètre A en fonction de la fraction volumique P .
Pour l’évaluation du paramètre A, un second fittage est nécessaire. Le fittage est exécuté sur les points numériques représentés dans la figure 3.16 pour déterminer la rela-tion entre le paramètre en quesrela-tion et la fracrela-tion volumique P. La formule ainsi proposée n’assure plus l’obtention des bornes zéro. Pour remedier à ce problème, deux points extrêmes (P = 0%, A = 0) et (P = 100%, A = 0) sont ajoutés aux résultats de la simula-tion, figure.3.16. Ainsi, la fonction fittage qui donne une meilleure représentativité de ces résultats est :
A = aP3+ bP2+ cP (3.19)
λm [W/m.K] 30 100 150 300
a 22 69 104 214
b -42 -133 -199 -405
c 20 63 94 191
Tableau 3.4: Paramèters de fittage a, b, et c pour différentes conductivités thermiques λm
de la matrice.
Selon ces résultats, il paraît clairement que :
b ≈ −2a (3.20)
et
c ≈ a (3.21)
Cependant, l’équation 3.19 peut être réécrite :
A = aP (P2− 2P + 1) (3.22)
D’après les résultats du tableau 3.4, la relation entre le paramètre de fittage ”a” et la conductivité thermique de la matrice λm peut être écrite :
a ≈ 0.7λm (3.23)
D’après les équations 3.22 et 3.23 on peut ecrire :
A = 0.7λmP (P2− 2P + 1) (3.24)
sous une forme simplifiée
A = 0.7λmP (1 − P )2 (3.25)
l’expression finale est exprimée en fonction de la propriété de la matrice, de la fraction volumique de l’inclusion et de la fraction volumique de la matrice.
La comparaison entre la formule proposée (P F ), les bornes analytiques et les résultats de simulation pour les différents cas étudiés est illustrée dans les figures 3.17, 3.18, 3.19 et 3.20.
Figure 3.17: Résultats numériques en fonction de la fraction volumique P comparés à la formule proposée et les modèles théoriques pour le cas de la matrice λm = 30[W/m.K]
Figure 3.18: Résultats numériques en fonction de la fraction volumique P comparés à la formule proposée et les modèles théoriques pour le cas de la matrice λm = 100[W/m.K]
Figure 3.19: Résultats numériques en fonction de la fraction volumique P comparés à la formule proposée et les modèles théoriques pour le cas de la matrice λm = 150[W/m.K]
Figure 3.20: Résultats numériques en fonction de la fraction volumique P comparés à la formule proposée et les modèles théoriques pour le cas de la matrice λm = 300[W/m.K]
Dans ces figures, les courbes des résultats de simulation et l’expression analytique proposée sont très proches, presque superposées. Il apparaît également un bon accord entre les deux pour différentes fractions volumiques et différents rapports de forme des inclusions.
3.6 Synthèse
La méthode d’homogénéisation numérique a été utilisée dans ce chapitre pour estimer la conductivité thermique effective de deux milieux biphasés bidimensionnels. Le premier milieu est poreux tandis que le deuxième est un milieu composite à inclusions dures. Le point important de cette étude était de faire l’investigation de l’effet de la morphologie des pores ou des inclusions sur la conductivité thermique effective. Pour cette fin, cinq formes distinctes d’inclusions/pores ont été considérées.
On a commencé par la détermination du volume élémentaire représentatif determi-niste V ERd en utilisant l’approche statistique suggérée par [Kanit et al., 2003] par l’ap-plication des deux conditions aux limites UGT et P BC pour trois fractions volumiques P = 10%, P = 30% et P = 50%.
Les résultats numériques des propriétés apparentes ont été validés par une comparaison avec différents modèles théoriques. Ces résultats ont montré que le V ERd, dans le cas de la conductivité thermique, peut être représenté par de faibles volumes.
Les résultats ont montré que, pour le milieu poreux, la conductivité thermique ef-fective dépend fortement de la morphologie des pores, et le modèle de Maxwell ne peut présenter une bonne estimation sauf pour le cas des pores circulaires. Pour le cas des com-posites, on remarque que les résultats numériques et le modèle de Maxwell sont presque superposés, ainsi, ce Modèle peut assurer une très bonne estimation de cette propriété.
Enfin, une expression analytique, sur la base du modèle Maxwell et des résultats nu-mériques obtenus, a été proposée. Cette expression peut être considéré comme une amélio-ration du modèle de Maxwell qui permet l’estimation de la conductivité thermique effective des milieux poreux tout en prenant en compte l’effet de la morphologie des pores.
Validation du modèle proposé
Une confrontation permanente entre théorie et expérience est une condition nécessaire à l’expression de la créativité. (Pierre. Joliot)
4.1 Introduction
Le but principal de cette partie est la validation du modèle proposé dans le chapitre précédent, et ce, par sa confrontation aux résultats expérimentaux publiés dans la littéra-ture, spécialment ceux de Nakajima [Nakajima., 2013], [Nakajima, 2010]. Pour cette fin, on commence par une description détaillée des matériaux sujet de ses travaux antériaures, a savoir, leur forme, leur méthode de fabrication et leurs domaines d’application. On termi-nera cette partie par une présentation des différents résultats expérimentaux obtenus par Nakajima [Nakajima, 2010] afin de les comparer à notre modèle.
4.2 Matériaux lotus [Nakajima., 2013]
Dans ces dernières décénnies, un nouveau type de matériaux poreux à pores longs et cylindriques orientés dans une direction a été fabriqué par la solidification unidirec-tionnelle d’hydrogène, d’azote ou d’oxygène sous pression. Cette technique a été étudiée par plusieurs auteurs, à citer, [Imabayashi et al., 1983], [Svensson and Fredriksson, 1980] et [Knacke et al., 1979]. [Bioko et al., 1991] a fabriqué des pores cylindriques plus longs en adoptant une technique de solidification unidirectionnelle sous une pression élevée d’hy-drogène.
Hyun [Hyun et al., 1999] et Nakajima [Nakajima et al., 2001] ont également produit des métaux poreux tels que le fer, le cuivre, le magnésium, le nickel dans une atmosphère d’hydrogène ou d’azote sous haute pression et de l’argent poreux dans de l’oxygène à haute
pression par la méthode de Czochralski et le procédé de solidification unidirectionnelle. Durant la solidification, le gaz est rejeté du métal solide à l’interface solide-liquide en formant de longs pores qui s’alignent parallèlement à la direction de solidification.
Figure 4.1: Des exemples de micrographies optiques du cuivre poreux de type-lotus à deux fractions volumiques 44.9 % et 36.6%. [Nakajima., 2013]
La technique de transformation utilisée est très intéressante, car elle permet le contrôle de la taille et la direction des pores, ainsi que la porosité globale.
« Gasar » est la nomination utilisée par [Shapovalov, 1994], un acronyme ukrainien qui signifie, métaux composites renforcés de gaz.
Par conséquent, un terme considéré comme étant le plus approprié pour le nom des ces métaux poreux est utilisé par le groupe Nakajima qui appelait ses matériaux " métaux poreux de type « lotus » ", du fait que la morphologie du matériau qui ressemble à celle de la racine du lotus.
Ainsi, ces lotus et gasar métaux présentant des caractéristiques uniques sont consi-dérés comme une nouvelle catégorie de matériaux d’ingénierie.
4.3
Cuivre Lotus comme dissipateur de chaleur [Nakajima., 2013]Au cours de ces dernières années, sous la tendance de la miniaturisation et de la capacité croissante, les taux de dissipation de chaleur dans les appareils électriques et les diodes laser ont augmenté d’une façon très importante (de l’ordre de 100 W/cm2) et pour les dispositifs électroniques à haute fréquence, jusqu’à plus de 1000 W/cm2. Lorsque le flux de chaleur augmente, la température augmente, et un flux de chaleur de 100W/cm2 est aussi élevé qu’un flux de chaleur équivalent d’explosion nucléaire à 2000°K.
L’enjeu est que ces dispositifs de puissance doivent être maintenus au niveau de la température normale malgré le grand flux thermique. Par conséquent, de nouveaux dissi-pateurs de chaleur avec des performances de transfert à haute température sont nécessaires pour refroidir ces dispositifs.
Parmi les différents types de dissipateurs de chaleur, les dissipateurs de chaleur poreux qui utilisent des micros canaux d’un diamètre de canal de plusieurs dizaines de microns sont censés avoir une excellente performance de refroidissement car une capacité de transfert de chaleur plus élevée est obtenue avec des diamètres de canaux plus petits.
Ces dissipateurs de chaleur poreux, de type mousse figure 4.2, ont montré une chute de pression du fluide de refroidissement sous haute pression, car l’écoulement du fluide de refroidissement est freiné par la disposition aléatoire des pores.
C’est pour cette raison que les matériaux lotus avec des pores unidirectionnels sont préférables en raison d’une faible chute de pression du fluide de refroidissement circulant à travers les pores.
Les métaux lotus ont une configuration anisotrope des pores. Cette anisotropie donne un comportement anisotrope aux différents domaines, à citer, l’absorption acoustique, la conductivité électrique et thermique, la magnétisation, et même la corrosion.
Figure 4.3: Cuivre type-lotus.[Nakajima, 2010]
Ces métaux lotus ont les caractéristiques principales suivantes : – Les pores sont droits.
– La taille des pores et de la porosité est contrôlable.
– Des métaux poreux peuvent être produits avec des pores de l’ordre d’une centaine de microns de diamètre.
L’un des métaux utilisé comme dissipateur de chaleur, vu sa grande conductivité thermique, est le cuivre lotus. Actuellement, deux types de dissipateurs de chaleur existent : les ailettes à rainures conventionnelles et les dissipateurs de chaleur de type cuivre lotus. En général, les ailettes à rainure sont composées de plusieurs panneaux verticaux connectés à une base. Leur configuration et leurs caractéristiques sont représentées par la figure 4.4 :
– Dissipateurs de chaleur classiques :
La figure 4.4 illustre une configuration de dissipateurs de chaleur utilisant des ailettes conventionnelles.
-a-
-b-Figure 4.4: Configuration des ailettes à rainures conventionnelles. -a- Refroidissement à l’air -b- Refroidissement à l’eau. [Nakajima., 2013]
– Dissipateurs de chaleur de type cuivre lotus :
La figure 4.5 montre une configuration du dissipateurs de chaleur utilisant trois ailettes en cuivre lotus.
-a-
-b-Figure 4.5: Dissipateurs de chaleur de type cuivre lotus. -a- Refroidissement à l’air -b-Refroidissement à l’eau. [Nakajima., 2013]
4.4 Simulation numérique de la conductivité thermique
effective du cuivre lotus
L’utilisation efficace d’un matériau lotus comme dissipateur de chaleur nécessite la connaissance de sa conductivité thermique effective, par laquelle l’effet des pores direc-tionnels sur le flux de chaleur est considéré. L’objectif principal de cette section est la détermination de de la conductivité thermique effective du cuivre lotus, l’un des matériaux les plus utilisés dans les dissipateurs de chaleur vu sa conductivité thermique élevée.
Dans cette simulation, les propriétés thermiques suivantes sont utilsées : la conducti-vité thermique du cuivre pur est de 335[W/m.K] et celle des pores est de 0.026[W/m.K].
4.4.1 Structure du cuivre lotus et hypothèses de calcul
La représentation du cuivre lotus est l’étape la plus importante pour l’estimation efficace de sa conductivité thermique effective, du faite qu’elle permet la mise en evidence de tous les paramètres influencant cette propriété.
Dans le cas d’un composite à pores unidirectionnels, les hypothèses les plus souvent rencontrées, dans la littérature, sont :
– La section des fibres est circulaire.
– Le profil de température est indépendant de la direction parallèle aux fibres, ce qui traduit l’hypothèse de l’absence de gradient de température dans cette direction, ainsi, le problème peut se réduire à un problème 2D.
– La matrice est homogène et isotrope.
– Le composite est considéré isotrope transverse, ainsi il est possible de mettre en évidence deux conductivités thermiques effectives distinctes : la conductivité thermique effec-tive λ⊥ perpendiculaire à la direction des pores et la conductivité thermique effective λ= parallèle à la direction des pores ; figure 4.6.
Figure 4.6: Illustration des conductivités thermiques effectives perpendiculaires et paral-leles aux pores
Dans cette étude on s’intéresse essentiellement à la conductivité thermique effective λ⊥ perpendiculaire à la direction des pores pour une eventuelle comparaison du modèle proposé aux résultats expérimentaux présentés par [Nakajima, 2010].
En examinant la figure 4.7, on constate que les matériaux type lotus présentent des pores de différents diamètres et de différentes formes. Par consequent, pour une évaluation précise de la conductivité thermique effective des ces matériaux, trois effets importants sont à considérer : l’effet de la taille des pores, l’effet de la forme des pores et l’effet de la fraction volumique.
L’effet de forme et l’effet de la fraction volumique sont prises en compte par notre modèle. Pour une eventuelle comparaison de notre modèle avec les résultats experimentaux, une étude de l’effet de la taille des pores sur cette propriété est nécessaire, ce qui constituera l’essentiel de la section suivante.
Figure 4.7: Vue en coupe d’un matériau lotus. [Nakajima., 2013]
4.4.2 Effet de la taille des pores sur la conductivité thermique
effective
Pour mettre en évidence l’effet de la taille des pores sur la conductivité thermique effective, on commence par traiter le cas de microstructures à deux popultions de pores de tailles différentes pour essayer de la généraliser à N populations. trois fractions volumiques sont à envisager : 10%, 30% et 50%.
Pour chaque fraction volumique, les microstructures sont générées en faisant varier les fractions volumiques P1 et P2 de la population 1 et de la population 2 respectivement. Les qautres microstructures sont obtenues en faisant diminuer la fraction volumique de la
pre-mière population allant de P1=P jusqu’à P1=0 tout en augmentant la fraction volumique de la deuxième population allant de P2=0 jusqu’à P2=P. Les figures 4.8 à 4.10 présentent une illustration des microstructures obtenues pour les trois fractions volumiques étudiées.
-a-
-b--c-
-d-Figure 4.8: Microstructure à deux populations : -a- P1 = P = 10% et P2 = 0%; -b-P1 = 6.0% et P2 = 4%. ; -c- P1 = 4% et P2 = 6% et -d- P1 = 0% et P2 = P = 10%
-a-
-b--c-
-d-Figure 4.9: Microstructure à deux populations : -a- P1 = P = 30% et P2 = 0%; -b-P1 = 20% et P2 = 10%; -c- P1 = 10% et P2 = 20%et -d- P1 = 0% et P2 = P = 30%
-a-
-b--c-
-d-Figure 4.10: Microstructure à deux populations : -a- P1 = P = 50% et P2 = 0%; -b-P1 = 30% et P2 = 20%; -c- P1 = 20% et P2 = 30%et -d- P1 = 0% et P2 = P = 50%
4.4.3 Présentation des résultats
Nous commencons à présenter dans la figure 4.11 la distribution locale de la conduc-tivité thermique dans un V ERd à deux populations de pores.
Figure 4.11: Distribution locale de la conductivité thermique dans un VER à deux popu-lations de pores.
Tous les résultats obtenus pour les différentes fractions volumiques sont résumés dans les tableaux 4.1 à 4.3.
Fraction volumique P1 Fraction volumique P2 Simulation
10% 00% 273.13
06% 04% 273.02
04% 06% 273.12
00% 10% 273.58
Tableau 4.1: Valeurs de conductivité thermique pour une fraction volumique totale de P = P1+P2 = 10%
Fraction volumique P1 Fraction volumique P2 Simulation
30% 00% 177.55
20% 10% 175.46
10% 20% 176.09
00% 30% 177.97
Table 4.2: Valeurs de conductivité thermique pour une fraction volumique totale de P = P1+P2 = 30%
Fraction volumique P1 Fraction volumique P2 Simulation
50% 00% 103.86
30% 20% 100.81
20% 30% 101.27
00% 50% 103.22
Table 4.3: Valeurs de conductivité thermique pour une fraction volumique totale de P = P1+P2 = 50%
La figure 4.12 résume tous les résultats obtenus pour les différentes fractions volumiques étudiées. 0 50 100 150 200 250 300 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 λ eff [W/m.K] P2 P = P1+P2 = 10% P = P1+P2 = 30% P = P1+P2 = 50%
Figure 4.12: Conductivité thermique effective en fonction de la fraction volumique P2. On remarque clairement, d’après la figure 4.12, que la conductivité thermique équi-valente reste constantes pour les différentes combinaisons étudiées et ce pour toutes les fractions volumiques considérées. Donc, on peut conclure que l’effet de la taille des pores est absent par conséquent, on peut généraliser ce résultat à n populations de pores de mêmes
taille, tel que : si une microstructure présente n pores, tous de tailles différentes mais de même forme, sa conductivité thermique effective est égale à celle d’une microstructure à une population de pores de même forme, figure 4.13.
-a-
-b-Figure 4.13: Morphologies équivalentes : -a- Microstructure à n populations. -b- Micro-structure à une population
4.4.4 Confrontation du modèle proposé aux résultats
experimen-taux
Cette section est consacrée à la confrontation du modèle proposé aux résultats expéri-mentaux du cuivre lotus obtenus par [Nakajima, 2010]. En comparant les résultats obtenus expérimentalement avec les résultats obtenus par notre modèle, une erreur maximum de ±10% est observée, figure (4.14 -a-). Le même résultat a été observé par [Nakajima, 2010] en comparant toujours ses mêmes résultats experimentaux à un modèle simple basé sur la modification d’un modèle théorique en annulant la conductivité thermique des pores, figure ( 4.14 -b-). 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 λ eff [W/m.K] P
Resultats experimentaux [Nakajima,2010] Modele Propose r=1.0
-a-
-b-Figure 4.14: -a- Comparaison du modèle proposé aux résultats expérimentaux établis par [Nakajima, 2010], -b- Résultats expérimentaux et modèle établis par [Nakajima, 2010]
Toujours en considérant des pores circulaires (r=1 ), notre modèle se réduit au modèle de Maxwell et se superpose au modèle proposé par [Nakajima, 2010]. Ces deux cas sont limités aux pores de forme circulaire, ce qui ne reflète pas la réalité des matériaux lotus qui ne présentent pas une seule forme mais des pores avec différentes tailles et différentes formes, figure 4.7.
D’après les résultats de cette étude, la déformation des pores entraine une diminution de la propriété effective ce qui explique les fluctuations des points expérimetaux sous le modèle qui sont dus essentiellement au fait que les pores ne sont pas toujours circulaires. Pour une meilleure illustration de l’effet de la forme des pore, nous présentons dans la figure 4.15 le modèle proposé avec 3 rapports de forme différent r = 1 (pores circulaires), r = 0.8 et r = 0.5. 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 λ eff [W/m.K] P
Resultats experimentaux [Nakajima,2010] Modele Propose r=1.0 Modele Propose r=0.8 Modele Propose r=0.5
Figure 4.15: Comparaison des résultats expérimentaux [Nakajima, 2010] au modèle pro-posé pour trois rapports de forme : r = 1, r = 0.8 et r = 1.0.
Malgré que le modèle proposé présente, jusqu’ici, une meilleure estimation de la conductivité thermique des matériaux lotus, en prenant en compte qu’une forme des pores à la fois, une étude plus poussée permettant sa généralisation afin de prendre en compte n popultations de pores à n formes différentes est souhaitée pour une estimation plus précise.
4.5 Synthese
Dans ce chapitre, une confrontation du modèle proposé dans le chapitre 3 à des résul-tats expérimentaux tirés de la littérature a été réalisée. Pour cette fin et vu la particularité
de la microstructure des matériaux lotus, présentant des pores cylindriques de différentes tailles, une investigation de l’effet de la taille des pores sur la conductivité thermique effec-tive a été réalisée. Les résultats obtenus ont monté l’absence de l’effet de taille des pores sur la propriété effective.
Par contre l’effet de la forme des pores est confirmée ,d’une part, par les résultats numériques obtenus et ,d’autre part, par les différentes fluctuations des résultats expé-rimentaux publiés par [Nakajima, 2010]. en les comparant au modèle proposé pour trois rapports de formes différents, l’effet de la forme des pores sur cette propriété effective.
Pour une meilleure estimation et vu que les pores sont de différentes tailles et de différentes formes (différents rapports de formes ) une étude plus approfondie qui tiendra en compte, dans un premier lieu, l’effet de deux populations de formes différentes, pour l’élargir ensuite à l’effet de n populations de formes différentes sur la conductivité thermique effective.
Les applications des matériaux composites concernent à peu près toutes les activités humaines : transports (avions, trains, automobiles, bateaux, aérospatiale), sport, électricité et électronique, médicale, bâtiment... Les composites que nous avons étudiés ici sont plus particulièrement les composites poreux dont les caractéristiques mécaniques et physiques sont plus intéressantes que celles des matériaux dits standards.
Cette thèse avait pour objectif principal l’étude de l’influence de la morphologie des inclusions/pores sur les propriétés élastiques (coefficient de compressibilité k et coefficient de cisaillement µ) et thermiques (conductivité thermique λ) des matériaux composites à deux phases de type matrice-inclusion en utilisant l’homogénéisation numérique.
Dans un premier temps, nous avons commencé par définir le volume élémentaire