La construction du débloqué préfixiel met en lumière des liens entre les ABD et les AFD. Nous étudions alors les liens pouvant exister avec l’AFD minimal du langage reconnu.
Tout d’abord, nous montrons que les langages droits d’un ABD émondé sont tous des résiduels du langage reconnu. Remarquons que l’argument employé pour prouver le Lemme 1.31, à savoir que tout état peut atteindre au plus un seul état pour tout mot, n’est pas suffisant pour étendre ce Lemme aux ABD :
Exemple 4.9. SoitAl’automate illustré en Figure 4.1. Le langage reconnu parAest{aba, abb}, et ses résiduels sont donc{aba, abb, bb},{ba, bb},{a, b},
{b},{ε}et∅. Or, nous avonsδA(i, a) ={2}alors que L(2) ={ba}n’est pas un résiduel de L(A).
Nous utilisons alors la construction du débloqué préfixiel et la Proposi-tion 4.7 pour déduire le résultat suivant :
Lemme 4.10. Soient A un ABD émondé et p un de ses états. AlorsLA(p)
est un résiduel deL(A) et pour tout (p, w, q)dans δt
A, LA(q) =w−1(LA(p)).
Un ABD émondé est donc un automate résiduel. Toutefois, tous les ré-siduels non vides ne sont pas nécessairement présents dans sa famille de langages droits. Donc deux automates à blocs déterministes, émondés et équivalents ne sont pas nécessairement L-équivalents. Nous pouvons ce-pendant définir une fonction Φ associant chaque état à un état de l’AFD minimal, similaire à celle de la Définition 1.43 mais non nécessairement sur-jective. À partir du Lemme 4.10 et de la Proposition 4.7, nous déduisons le lien structurel suivant avec l’AFD minimal :
Corollaire 4.11. Soient A un ABD émondé et M son AFD minimal. Si
(p, w, q) est dans δt
A, alors (ΦA(p), w,ΦA(q)) est dans δt M.
Nous nous interrogeons alors sur la nécessaire présence de certains rési-duels parmi les langages droits. C’est notamment le cas de ceux contenant le mot vide :
Lemme 4.12. Soient A un ABD émondé et M son AFD minimal. Alors tout état dans FM a un antécédent par ΦA dans FA.
Démonstration. SoientfM un état final de M etiM son état initial, tel que
(iM, w, fM) soit dans δt
M. Doncw est dans L(M)et dans L(A), et il existe un état final fA deA tel que(iA, w, fA)est dans δt
A aveciA l’état initial de
A. D’après le Corollaire 4.11, nous avonsfM = ΦA(fA). La fonctionΦest donc surjective lorsque sa définition est restreinte aux états finaux d’un ABD émondé. La réciproque du corollaire 4.11 est alors nécessairement vraie si q est un état final, ce qui interdit l’existence de certaines transitions :
Lemme 4.13. Soient M un AFD minimal, q un état de M et u un mot du langage droit de q. Alors, pour tout automate à blocs A déterministe, émondé et équivalent à M, et pour tout état p dans Φ−A1(q), il n’existe pas de transition sortant de p étiquetée par un bloc w tel que u est un préfixe propre de w.
Démonstration. Puisquepetqsont équivalents, alors il existe(p, u, f)dans
δt
A tel que f est un état final. Ce qui implique qu’il existe un préfixe non vide up de u étiquetant une transition sortant de p. Donc s’il existait une transition sortant depétiquetée par un blocwdontusoit un préfixe propre, alors up serait préfixe de w etA ne serait pas déterministe. En plus de cette restriction, l’ensemble des transitions se doit d’être fini. Donc si un état non final peut être effacé d’un chemin en allongeant la transition sortant de son prédécesseur dans ce chemin, un cycle non trivial entier ne peut être évité :
Lemme 4.14. SoientA un ABD émondé, M son AFD minimal et CM un cycle non trivial de M. Alors il existe un état dans CM avec un antécédent par ΦA dans QA, se trouvant lui-même dans un cycle non trivial.
Démonstration. Si iM appartient à CM, alors iA est un antécédent de CM
par ΦA. De même, s’il existe un état final dans CM, d’après le Lemme 4.12, alors cet état final a un antécédent par ΦA dans FA.
Supposons maintenant queCM ne contienne ni état initial ni état final. Alors il existe :
— un mot unon vide et une porte d’entrée cin deCM tel qu’il existe un chemin étiqueté par u allant de iM vers cin sans traverser d’état de
CM,
— un mot v non vide et une porte de sortie cout de CM tel qu’il existe un chemin étiqueté par v allant de cout vers un état final de M sans traverser aucun état de CM,
— un mot wi étiquetant un chemin interne à CM allant de cin vers cout, et un mot wo étiquetant un chemin interne à CM allant de cout vers
cin tel que wiwo ne soit pas vide. Ces éléments sont résumés en Figure 4.3.
iM cin cout fM
u6=ε w1
w2
v 6=ε CM
Figure4.3 – Étude structurelle du cycleCM dans la Proposition 4.14
Donc pour tout entier naturel n, le mot uw1(w2w1)nv appartient au langage reconnu par M et A. Soit up le plus long préfixe propre de u tel qu’il existe un état q de A accessible depuis iA par up, et us le suffixe non vide de u tel que u = upus. Donc pour tout entier naturel n, le mot
usw1(w2w1)nv appartient au langage droit de q dans A.
Supposons que pour tout entier natureln, il n’existe pas de transition deA
sortant deqet étiqueté paruswavecwun préfixe dew1(w2w1)n. Alors pour tout entier naturel n, il existerait une transition sortant de q étiqueté par
usw1(w2w1)nvnavecvnun préfixe non vide dev, et l’ensemble de transitions deA serait infini. Donc il existe une transition(q, usw, c) dans Atel que w
est un préfixe de w1(w2w1)n pour un entier naturel n quelconque. Ce qui, d’après le Corollaire 4.11, permet de conclure quecest un antécédent d’un état deCM par ΦA.
SoitS l’ensemble des antécédents deCM parΦA. Cet ensemble est donc non vide et en utilisant la même logique que précédemment, tout état deS
a au moins une transition sortante vers un autre état de S. Il y a donc au moins un état deS qui appartient à un cycle non trivial. Or, toute présence d’un cycle non trivial implique celle d’une orbite non triviale. D’après le Corollaire 4.11, si deux états d’un ABD émondé ap-partiennent à la même orbite, alors leurs équivalents dans l’AFD minimal appartiennent également à la même orbite. Nous étendons donc la Défini-tion 1.45 de la foncDéfini-tion Ω associant chaque orbite à une orbite de l’AFD minimal sur les automates à blocs déterministes. Cette fonction n’est pas né-cessairement surjective car les orbites triviales de l’AFD minimal composées d’un état non final n’ont pas nécessairement d’antécédent. Le Lemme 4.12 implique l’existence d’antécédents pour les orbites triviales composées d’un état final, et le Lemme précédent permet de conclure pour les orbites non triviales :
Corollaire 4.15. SoientA un ABD émondé etM son AFD minimal. Alors pour toute orbite non triviale OM deM, il existe une orbite non trivialeOA de A tel que OM = ΩA(OA).
Enfin, nous étendons la définition d’orbite maximale aux ABD, et le Lemme 1.46 est généralisé des AFD aux ABD :
Lemme 4.16. Soient A un ABD émondé, OA une orbite maximale de A et OM l’orbite de son AFD minimal M tel que OM = ΩA(OA). Alors :
— tout état final dans OM a un antécédent par ΦA dans OA,
— pour tout cycle non trivial CM inclus dans OM, il existe un état dans CM avec un antécédent par ΦA dans OA.
Démonstration. Le Lemme 4.13 permet de prouver la présence d’antécé-dents des états finaux de OM dans OA car cette dernière est maximale.
Quant aux états des cycles non triviaux, nous généralisons le Lemme 4.14 à tout état de M pouvant accéder à OM. Soit q un état dans OA. En considérant ΦA(q)comme l’état initial dans M et en émondant l’automate obtenu, nous obtenons l’AFD minimal du langage droit de qdans A. Ainsi, pour chaque cycle non trivial de OM, il existe un chemin allant deq vers un état équivalent à un état de ce cycle. Comme OA est maximale, alors ces
états sont dedans.