4.4 La famille des langages blocs déterministes
4.4.1 Expressions rationnelles à blocs et déterminisme
Une expression rationnelle à blocs sur un alphabetΣest une expression rationnelle dans laquelle les symboles alphabétiques sont remplacés par des blocs surΣ. De manière analogue aux automates à blocs, si tous les blocs de
E sont de longueur inférieure ou égale àk, alorsE est k-blocs. Pour pouvoir distinguer les blocs comme éléments syntaxiques d’une expression à blocs, ces derniers sont écrits entre crochets, sauf pour les blocs d’une lettre.
En tant qu’éléments syntaxiques, les blocs peuvent être traités comme les symboles d’un nouvel alphabet, constituant ainsi des positions. Ceci permet de construire l’automate (à blocs) des positions d’une expression à blocs, de la même manière que précédemment, en indiçant les blocs.
i
[ab]1 [aa]2
ab aa
ab aa
Figure4.10 – L’automate des positions de [ab]∗(ε+ [aa])
Dans le cas des expressions rationnelles à blocs, les fonctions First, Last, Follow et Followlast ne peuvent pas être définies par rapport au langage dénoté comme en Section 1.4.1 pour les expressions rationnelles à lettres. Néanmoins, elles se calculent de la même façon par les Tables données en Section 2.1 et 2.2.
Nous pouvons alors étendre naturellement la notion d’expression ration-nelle déterministe aux expressions rationration-nelles à blocs par rapport au dé-terminisme de leurs automates des positions. Un langage rationnel est alors dit k-blocs déterministe s’il peut être dénoté par une expression rationnelle
k-blocs et déterministe, et blocs déterministe s’il est k-blocs déterministe pour un certain k. Nous dirons également qu’un langage est strictement k-blocs déterministe s’il est k-blocs déterministe sans être (k − 1)-blocs déterministe.
Par ailleurs, un automate 1-blocs déterministe étant un AFD, la famille des langages1-blocs déterministes est la même que celle des langages déter-ministes. Cette dernière est même strictement incluse dans celle des blocs déterministes :
Exemple 4.22. Nous avons vu dans la preuve du Théorème 3.57 que le langage dénoté par (ab)∗(ε +aa), dont l’AFD minimal est représenté en Figure 3.10 (page 76), n’est pas déterministe. Toutefois, ce langage peut être dénoté par l’expression2-blocs[ab]∗(ε+ [aa])dont l’automate des positions, représenté en Figure 4.10, est bien déterministe.
Remarquons que la propriété de forme normale étoilée ne dépend que de la notion de position au sein d’une expression rationnelle linéarisée, et que cette dernière reste inchangée, peut importe la taille des blocs. Les fonctions
•,◦ et⊙décrites en Section 2.2 sont donc applicables aux expressions ration-nelles à blocs. Et à l’instar du déterminisme d’une expression rationnelle, le
déterminisme d’une expression à blocs est équivalent à l’existence d’une pro-priété structurelle sur l’automate des positions. Nous pouvons alors étendre le Lemme 3.22 :
Lemme 4.23. Tout langage k-blocs déterministe peut être dénoté par une expression rationnelle k-blocs, déterministe, émondée et en forme normale étoilée.
Nous souhaitons montrer que cette famille, comme celle des langages déterministes, contient pour chacun de ses membres l’ensemble de leurs résiduels. Nous étendons donc l’opération de dérivation aux expressions rationnelles à blocs, qui s’opère de la même façon que pour les expressions rationnelles à lettres. Seul change le cas de base où l’on dérive une expression contenant un unique bloc. Soientaetbdeux lettres, etv un mot. Nous avons alors da([bv]) = [v] si a=b, et ∅ sinon.
Il nous faut également donner une caractérisation des expressions ration-nelles à blocs étendant celle donnée au Lemme 3.23. Pour plus de lisibilité, nous introduisons l’opérateur ∩p d’intersection préfixielle entre deux lan-gagesL1 etL2 tel queL1∩pL2 =L1∩Pref(L2)∪L2∩Pref(L1), représentant donc l’ensemble des mots d’un des deux langages qui sont également préfixes d’un mot de l’autre. Cet opérateur présente les propriétés suivantes :
1. il est commutatif et idempotent mais pas associatif : {a} ∩p({ab} ∩p
{ac})6= ({a} ∩p {ab})∩p{ac},
2. pour tout trois langages L1, L2 et L3, si L1 est inclus dans L2, alors
L1∩pL3 est inclus dans L2∩pL3,
3. pour tout deux langagesL1 etL2,a−1(L1∩pL2) = a−1(L1)∩pa−1(L2). Nous étendons alors le Lemme 3.23 de la façon suivante :
Lemme 4.24. Soit E une expression rationnelle à blocs en forme normale étoilée.
— Si E est égale à ∅, ε ou un bloc b, alorsE est déterministe ;
— SiE =F+G, alorsE est déterministe si et seulement siF et Gsont déterministes et First(F)∩pFirst(G) = ∅;
— Si E =F G, alors E est déterministe si et seulement si F et G sont déterministes, Followlast(F) ∩p First(G) =∅, et si Null(F) est véri-fiée alors First(F) ∩p First(G) =∅;
— SiE =F∗, alors E est déterministe si et seulement siF est détermi-niste et Followlast(F) ∩p First(F) =∅.
Théorème 4.25. SoitE une expression rationnelle à blocs sur un alphabet
Σ. Si E est déterministe et en forme normale étoilée, alors pour toute lettre a de Σ, da(E) est déterministe.
Démonstration. Tout d’abord, les remarques émises au début de la preuve du Théorème 3.26 restent valables pour les expressions à blocs. De plus, si la lettre a fait partie des blocs de First(E), puisque E est déterministe, alors il n’existe pas de blocs de First(E) ayant a pour préfixe propre, et nous retrouvons les calculs de dérivation simplifiés présentés au Lemme 3.25. Dans ce cas de figure, il suffit d’appliquer la preuve du Théorème 3.26 en remplaçant l’intersection par l’intersection préfixielle, pour arriver à la conclusion queda(E) est déterministe.
Considérons maintenant que a ne fait pas partie des blocs de First(E). Remarquons que dans ce cas,Null(da(E))n’est pas vérifiée et First(da(E))
est égal à a−1(First(E)).
Si E vaut ∅, ε ou un bloc b, alors da(E) est déterministe.
Si E = F +G, alors da(E) est égal à da(F) + da(G). Par hypothèse d’induction, da(F) et da(G) sont déterministes. De plus, a n’appartient
ni à First(F) ni à First(G). Donc First(da(F)) ∩p First(da(G)) est égal
à a−1(First(F))∩p a−1(First(G)) qui, d’après la propriété 3 de l’intersec-tion préfixielle, vauta−1(First(F)∩pFirst(G)). CommeE est déterministe,
First(F)∩pFirst(G)est vide et da(E) est déterministe.
Si E = F ·G, alors da(E) vaut da(E) = da(F)·G+ da(G) si Null(F)
est vérifiée, et da(F)·G sinon. Puisque E est déterministe, alors G l’est aussi, et par hypothèse d’induction, da(F) et da(G) le sont également. De plus, Followlast(F) ∩p First(G) étant vide, alors il en est de même pour
Followlast(da(F)) ∩p First(G).
Supposons alors que Null(F) ne soit pas vérifiée. Alors a n’appartient pas àFirst(F). Donc Null(da(F)) n’est pas vérifiée et da(E) est déterministe. Supposons maintenant que Null(F) soit vérifiée. Alors a n’appartient ni à
da(F)ni à da(G). DoncNull(da(F))n’est pas vérifiée etFirst(da(F)·G)∩p First(da(G)) est égal à First(da(F)) ∩p First(da(G)). Par la même logique que pour le cas E = F +G, nous en déduisons que First(da(F)· G) ∩p
First(da(G)) vaut a−1(First(F)∩pFirst(G)) qui est vide, et que da(E) est déterministe.
Enfin, si E = F∗, alors da(E) = da(F)· F∗. Par hypothèse d’induc-tion,da(F)est déterministe. De plus, comme an’appartient pas àFirst(E)
qui est égal à First(F), alors Null(da(F)) n’est pas vérifiée. Comme E est en forme normale étoilée, alors Followlast(F) ∩ First(F∗) est vide. Donc
Pour terminer, remarquons que la dérivation n’augmente pas la taille des blocs, et donc que la dérivée d’une expression k-blocs est également k -blocs. Le Lemme 3.27 s’appliquant également aux expressions rationnelles à blocs, nous pouvons conclure que :
Théorème 4.26. Si un langage est k-blocs déterministe, alors tous ses résiduels le sont.