II. 6. 2. Emploi
III.7.6. Propriétés à chaud
III.7.6 Propriétés à chaud :
Les propriétés mécaniques à chaud des alliages d'aluminium diminuent lorsque la température augmente. La nature de l'alliage, la durée du maintien à chaud et la température de maintien sont les paramètres les plus sensibles.
Figure III.13: Les propriétés mécaniques à chaud des alliages d'aluminium en fonction de
température
A partir des deux figures on constate :
- les alliages de la série 7000 ne conservent leurs propriétés élevées que jusqu'à 100-110°C, au-delà la chute est très rapide.
- les alliages de la série 2000 présentent le meilleur comportement à chaud dans le domaine des températures comprises entre 100 et 250°C
- les alliages de la série 5000 à l'état recuit ont des caractéristiques relativement stables. A basse température, grâce à leur structure cristalline CFC, stable à toutes températures, les alliages d'aluminium, ne présentent pas de phénomène de fragilisation.. …….[9]
BIBLIOGRAPHIE :
[1] Christel AUGUSTIN « prévision des cinétique de propagation des défauts de corrosion
affectant les structures en alliage d‟aluminium 2024 » Thèse de doctorat université de Toulouse 2008
[2] ALLOY 2024 « SHEET AND PLATE, EXCELLENT FATIGUE
PROPERTIES–CONSISTENT PERFORMANCE », ALCOA MILL PRODUCTS, INC. P.O. BOX 8025 • BETTENDORF, IOWA 52722 • (800) 523-9596 • www.millproducts-alcoa.com
[3] Frédéric Bron, « déchirure ductile des tôles minces en alliages d‟aluminium 2024 pour
application aéronautique », Thèse de doctoratde l‟école des mines de paris, France, 2004
[4] B. LANGRAND, "Fragilisation des assemblages rivetés - Validation de modèles éléments
finis post-rivetage.", Note technique ONERA-Lille, n°98/01, Février 1998
[5] E. F. BRUHN, "Analysis and design of flight vehicle structures.", Jacobs
Publishing, Inc. Juin 1973.
[6] J. LEMAITRE et J. L. CHABOCHE, "Mécanique des matériaux solides",
Bordas, Paris, 1985.
[7] Bertrand LANGRAND, THÈSE obtenir le diplôme de DOCTORAT « Contribution à la
caractéristique numérique et expérimental d‟assemblages structuraux rivetés sous sollicitation dynamique », l'Université de Valenciennes et du Hainaut Cambrésis, septembre 1998.
[8] Thèse de doctorat : AUGUSTIN Christel « prévision des cinétiques de propagation des
défauts affectent les structures en alliages d‟aluminium 2024 », université de Toulouse 2008, l'Université de Valenciennes et du Hainaut Cambrésis.
[9] Coure de technologie Lycée Raymond LOEWY, BTS ACI « Aluminium et Alliages
d‟aluminium » [page 19-21]
ETUDE ANALYTIQUE
Model probabiliste de fiabilité :
Il existe différents types de joints utilisés dans des structures telles que les joints soudés, rivetés et boulonné. Lors de l'utilisation riveté et boulonné joints, il est inévitable de percer un trou, ce qui conduit au stress et à la concentration de contrainte. La concentration de contrainte ou de la souche rend les composants terrés plus enclins à l'initiation des fissures de fatigue et la propagation sous charges de service cycliques lorsque les parties sera remplacé après la durée de vie ou en cours d'entretien.. Par conséquent, afin de remédier à cet inconvénient, diverses Des études ont été menées suggérant de nouvelles techniques pour améliorer la résistance à la fatigue de ces joints.
Dans ce chapitre, un calcul analytique montrant l‟influence des coefficients de frottement sur les couples de serrage. Par suite, nous a introduit le coefficient du couple de serrage.
Chapitre 4
Sommaire
IV.1 Analyse technique de serrage………..... 85
IV.2 Éprouvettes utilisées ………... 86
IV.3 Etat de l‟art sur les nouvelles techniques contre la fatigue des joints boulonné….. 87
IV.4 Elément d‟assemblage ………... 88
IV.5 Influence des paramètres ………...
IV.5.1.Le vissage standard ……….. 92 92
III.6 Propriétés générales ………..
IV.6.1.Variation de couple en fonction de coefficient t ……… IV.6.2.Variation de couple en fonction de diamètre moyen sous tête……… IV.6.3.Calcul de coefficient de couple ……….
93 93 94 95 BIBLIOGRAPHIE ……….. 96
Etude Analytique
Model probabiliste de fiabilité VI. Introduction
Dans l‟analyse de la fiabilité des structures, les paramètres influents sont considérés comme des variables aléatoires et, à partir d‟une équation physique de défaillance dont les variables sont probabilisées, on calcule la probabilité de défaillance. Les applications industrielles sont nombreuses : optimisation de la maintenance et des inspections, calcul de durée de vie résiduelle, etc.
De façon générale, le contrôle de l‟un des états limites ultimes d‟une structure s‟effectue en comparant une sollicitation S à une résistance R. S et R sont des variables globales représentatives respectivement de l‟ensemble des sollicitations agissant sur la structure et des variables caractérisant la résistance de celle-ci pour un état limite ultime donné. Le contrôle s‟effectue alors avec une condition limite du type Sd ≤Rd, ou l‟indice (d) indique qu‟il s‟agit de valeurs de dimensionnement correspondant à une certaine situation de risque de ruine. Dans le cas où Sd> Rd, la ruine, du moins théoriquement, se produit. Pour traiter le problème de manière probabiliste, la condition limite s‟exprime de manière légèrement différente, en utilisant la notion de fonction de ruine ou fonction d‟état limite [ ]:
g(z) = R–S II.1
Où le vecteur (z) constitue l‟ensemble des variables aléatoires de base caractérisant les sollicitations et la résistance d‟un élément de structure. La fonction (g) sépare l‟espace (z) en deux régions, la région de sécurité et celle de ruine (figure 1) :
g(z) > 0 en sécurité, g(z) < 0 ruine,
g(z) = 0 point appartenant à la courbe séparant les deux régions (surface de ruine).
Figure II-1 : Illustration de la probabilité de ruine d‟un élément de structure
Le calculer de la probabilité qu‟une réalisation de l‟ensemble (z) des variables de base tombe à l‟intérieur de la région de ruine se fait par étude statistique de fiabilité. La démarche peut se résumer en trois étapes:
1. Analyse de type mécanique permettant d‟identifier la fonction d‟état limite caractéristique du problème à étudier. Cette analyse est généralement déterministe.
2. Choix de l‟ensemble (z) des variables aléatoires de base et description probabiliste de celles-ci. Cette phase est souvent fondée sur le traitement de données statistiques ou de résultats d‟essais. 3. Calcul de l‟intégrale correspondant à la probabilité de ruine soit de manière exacte, soit - et
c‟est le cas général - par le calcul de l‟indice de fiabilité β en utilisant: Des techniques d‟intégration numérique,
Des techniques de simulation (par exemple Monte-Carlo), Des méthodes d‟approximation.
L‟indice de fiabilité β constitue une mesure du degré de sécurité de l‟élément de structure. Pour un type de structure, un état limite ultime, ainsi qu‟en faisant certaines hypothèses sur le domaine de ruine, il est possible de donner des valeurs minimales pour β. Dans le domaine des structures, les facteurs partiels de sécurité, par exemple, correspondent pour la plupart à une valeur de β de 3.8
2- Fonction d’état limite combinant fatigue et rupture fragile
De nombreuses études ont été menées sur la modélisation probabiliste du phénomène de fatigue. La plupart concernent l‟aéronautique, la construction navale et offshore. Dans le domaine des ouvrages d‟art, plusieurs études ont étés effectuées aux États-Unis ainsi qu‟en Europe, la plus récente apparue étant celle effectuée par Crémona et Lukic au LCPC.
Pour les modèles d‟endommagement, ce sont souvent la loi de Miner ou des modèles simplifiés issus de la loi de Paris qui sont utilisés. Ces modèles ne permettent pas de connaître la taille de la fissure à un nombre de cycles ou un instant donné.
Les autres modèles, plus complexes, permettent non seulement de connaître la taille de fissure à tout moment mais également d‟intégrer les résultats des inspections effectuées sur l‟ouvrage afin de réévaluer le niveau de sécurité de chaque élément de structure. Ils permettent par conséquent d‟établir une stratégie de maintenance et d‟inspection, bien qu‟il soit difficile de prendre en compte de manière réaliste des phénomènes tels que la redondance, redistribution des sollicitations, etc.
En ce qui concerne la taille de fissure finale, les modèles existants utilisent soit une taille conventionnelle, par exemple un pourcentage de l‟épaisseur de la tôle fissurée, soit la taille de fissure correspondant à la valeur de ténacité minimale exigée par les normes.
Or, nous remarquons que tous les modèles considèrent que la ténacité ne varie pas avec la température ou, en considérant le problème d‟une autre manière, que l‟ouvrage est toujours soumis à une température constante et basse. Cela est évidement faux, car la ténacité augmente avec la température et que, sur chaque ouvrage, la température varie fréquemment.
Pour la propagation en fatigue, on parle du modèle exposé par Crémona et Batista dans la référence. En résumé, disons qu‟il s‟agit d‟un modèle mécanique de croissance d‟une fissure de Paris à seuil avec un traitement statistique de l‟influence du seuil de propagation.
La relation obtenue en intégrant l‟équation pour la propagation cycle par cycle est la suivante:
1
Où
a0 est la profondeur initiale de la fissure ou sa demi-largeur selon la situation,
at est la profondeur de la fissure au temps t,
n(t) désigne le nombre de cycles au temps t,
est une fonction qui tient compte de la proportion croissante des cycles endommageant dans le spectre lorsque la profondeur de fissure croit,
C,m sont respectivement la constante et l‟exposant de la loi de paris,
est la fonction de correction de la forme,
est la fonction de correction pour la concentration locale des contraintes due à la géométrie du joint et l‟endroit de fissure,
est l‟étendue de contrainte nominale i (en une section éloignée de la position de la fissure),
représente le moment du premier ordre de .
Des solutions pour Ff ainsi que pour Mk sont données dans la littérature. Quelques solutions pour Ff
de contrainte suivent une loi de distribution de Rayleigh, on obtient:
2
3 Où
désigne l‟écart-type du processus d‟étendue de contrainte,
est une fonction qui tient compte du seuil de non propagation, ∆Ks,
et sont respectivement les fonctions Gamma et Gamma incomplète. Pour une géométrie et un chargement donné, nous sommes maintenant en mesure d‟évaluer la profondeur de fissure at correspondant à un certain nombre de cycles n(t) en utilisant l‟équation implicite (1). Il nous reste à évaluer la probabilité de rupture pour la profondeur de fissure at.
2-1- La probabilité de rupture pour la profondeur de fissure at.
Pour la rupture, nous allons utiliser le modèle proposé par Milne, Ainscourt, Dowling et Stewart, aussi connu sous le nom de méthode R6. Cette méthode permet de tenir compte des deux modes de ruptures, locale (fragile ou ductile) ou par plastification globale, possibles. Cette méthode fournit ce qui est appelé un diagramme de rupture "Fracture Assessment Diagram", et qui peut être interprété comme une fonction d‟état limite de rupture, voir figure 2.
Figure II-2 : Diagramme de ruine selon la méthode R6.
Bien que cette fonction soit en réalité dépendante à la fois du matériau et de la géométrie, Hensen a proposé d‟utiliser, pour les aciers qui possèdent un palier d‟écoulement plastique (c‟est le cas des aciers courants), les expressions suivantes:
4
5
- Lr représente le rapport de la charge appliquée à la section brute sur la résistance plastique de la
section fissurée ou nette (
res
r
charge totale appliquée sans σ L =
charge de plastification ); Lr peut donc être supérieur à l‟unité. Pour une plaque d‟épaisseur T, de largeur W, avec fissure semi-elliptique, on obtient:
- Kr est le rapport du facteur d‟intensité de contrainte élastique appliqué, KI à la ténacité du matériau, Kmat(K K K r app mat ).
Kapp : facteur d‟intensité de contrainte dû aux contraintes appliquée (avec les contraintes résiduelles
res)
Kmat : valeur critique du facteur d‟intensité de contrainte dans le matériau, par exemple KIc ou Kc
L‟expression pour KI est la suivante:
7
La valeur de σmax dépend à la fois des charges permanentes ainsi que des charges variables agissant sur l‟élément, c‟est à dire σmax = σperm + σvar.
La valeur des contraintes résiduelles ou auto-équilibrées, σrés, est généralement prise comme égale à la limite élastique dans les assemblages soudés et nulle dans le cas de joints boulonnés ou rivetés. Ff et Mk sont les fonctions de correction. La fonction Ff fait référence à la solution pour la situation la plus simple, c‟est-à-dire une fissure traversant dans une plaque de dimension infinie en traction. La fonction Mk donne la correction correspondant à la concentration locale des contraintes due à la géométrie du joint et à l‟endroit de fissuration. Diverses solutions pour Ff ainsi que pour Mk existent dans la littérature; les solutions que allons utiliser dans notre modèle sont décrites ci-dessous.
Pour le facteur de correction de forme, il est difficile sinon impossible de quantifier l‟erreur commise entre les cas de conditions de bord réelles et celles utilisées dans les modèles d‟éléments finis. En d‟autres termes, dans un joint soudé qui se fissure, il est impossible de connaître - tous les cas ne peuvent être modélisés - l‟influence de la flexion secondaire sur la propagation de la fissure. Par conséquent, seules les solutions pour les deux cas extrêmes sont données ci-dessous :
- Flexion secondaire empêchée ou négligeable:
8
(2c) la longueur de la fissure et (a) sa profondeur
- Flexion secondaire libre (solution de Newman & Raju pour le point de profondeur maximale) :
9 T épaisseur fictive (the specimen thickness)
Avec :
, ,
Notons que si la longueur de la fissure 2c et sa profondeur (a) sont importantes par rapport aux dimensions de la plaque, il faut ajouter aux expressions pour Ff une correction pour dimensions finies. Cette correction a la forme suivante:
10
Pour le facteur de concentration, plusieurs études ont montré que l‟expression suivante donnait de bons résultats [77]:
11
détail.
3- Modèles probabilistes pour les variables de base
Afin de choisir les variables de base, ainsi que les lois de distribution de ces variables, nous avons tout d‟abord fait une synthèse des modèles existants dans notre domaine d‟application.
Rappelons ici qu‟il n‟existe actuellement que des modèles de fatigue, aucun ne combinant fatigue et rupture de manière adéquate. Dans ces modèles, les lois de distribution - et leurs paramètres - pour les variables ont étés choisies sur la base soit d‟études antérieures dans le même ou d‟autres domaines, soit de traitement de données statistiques, ou encore de comparaisons avec des résultats d‟essais.
4- Calcul de l’indice de fiabilité
L‟évaluation de l‟intégrale correspondant à la probabilité de ruine est une tâche souvent difficile, sauf pour le cas particulier de fonctions d‟état limite linéaires, et souvent des méthodes de résolution numériques sont donc utilisées. Une méthode d‟approximation éprouvée est la suivante:
• La première étape pour résoudre numériquement notre problème consiste à approximer les queues de distribution des variables non-normales par des lois normales, voir transformation de
Rackwitz & Fiessler dans.
• La seconde étape est la redéfinition du problème en termes de variables aléatoires, Ui, normales centrées réduites indépendantes qui définissent un U-espace de dimension n, par une transformée dite de Rosenblatt. Ceci permet de rendre le problème invariant par rapport à la formulation de la fonction d‟état limite.
Le point de la nouvelle surface de ruine le plus proche de l‟origine est dénommé point de fonctionnement, car c‟est le point correspondant à la marge de sécurité minimale.
La distance du point de fonctionnement à l‟origine caractérise la fiabilité d‟un élément par rapport à la rupture, il est nommé indice β ou indice d’Hasofer-Lind.
• La troisième étape consiste en un algorithme de calcul qui permet de trouver le point de fonctionnement. Ceci est effectué souvent en utilisant une méthode d‟approximation dénommée FORM (First-Order-Reliability-Method).
Dans cette méthode, la surface de ruine est approximée par l‟hyperplan tangent au point de fonctionnement.
Si l‟on désire, en plus de l‟indice β, avoir une idée de la probabilité de ruine, on se servira de l‟expression suivante:
12
Où
- υ(-β) est la fonction de répartition d‟une variable aléatoire normale centrée réduite.
Basé sur cette méthode de résolution, un programme dénommé FIAB, qui permet de calculer l‟indice de fiabilité selon la méthode FORM a été développé. Il est capable d‟évaluer β pour tous les cas d‟une fonction d‟état limite unique et monotone, comme par exemple celui d‟une fonction d‟état limite de fatigue sous amplitude constante, ou variable.
Ensuite, les méthodes d‟analyse statistique Bayesiennes sont utilisées afin de mettre à jour la valeur de la probabilité de ruine. Une telle approche a déjà été introduite dans plusieurs études, par exemple.
5- Description des variables aléatoires de calcul 5-1- Introduction
Le but de ce paragraphe est d‟identifier les valeurs les plus adéquates des paramètres de la loi choisie pour chacune des variables de base.
Pour deux variables : température minimale en service et contrainte maximale, il est nécessaire de connaître statistiquement les valeurs extrêmes qu‟atteindront chacune de ces variables. Or, pour toute variable aléatoire décrite par une loi de distribution, loi dite initiale, les valeurs extrêmes correspondent également à une variable aléatoire. La loi de distribution décrivant les valeurs extrêmes peut être
déterminée en utilisant la théorie des valeurs extrêmes.
II-5-2 - Profondeur initiale de la fissure a0
Comme la profondeur initiale du défaut est nécessairement positive, il est courant de choisir une loi log normale ou exponentielle pour décrire cette variable. Mais les valeurs de a0 dépendent du type de détail et du mode opératoire de soudage.
Toutefois, il semble raisonnable de considérer la même distribution pour tous les types de joints soudés, i.e. joints bout-à-bout, attaches transversales ou longitudinales.
Des travaux existants, les informations suivantes peuvent être tirées :
• Les distributions utilisées, parfois sans justifications, dans les études de fiabilité.
• Afin de déterminer la distribution des défauts initiaux, des calculs de mécanique de la rupture "en arrière" peuvent être effectués, ceci en partant de résultats d‟essais exprimés en termes d‟étendue de contrainte et nombre de cycles à la rupture.
Les résultats montrent que a0 doit suivre soit une loi log-normale, soit une loi de Weibull. Cette approche est séduisante car elle permet d‟affranchir d‟hypothèses sur le nombre de cycles nécessaire à l‟amorçage d‟une fissure(dimensions défaut initial fictives), par contre elle ne permet pas d‟isoler l‟influence du défaut initial de celui d‟autres variables (paramètres C et m principalement).
• D‟autre part, pour expliquer la dispersion des résultats de fatigue, des calculs avec différentes tailles ou forme du défaut initial ainsi que des simulations de Monte-Carlo ont été faits .La variable a0 est généralement compris entre 0.1 et 0.5 mm.
5-3 - Forme de la fissure a/c
Dans le cas de joints soudés, on peut sans risque de se tromper dire que la forme d‟une fissure est comprise entre 0 et 1. Pour les attaches soudées, plusieurs gammes de valeurs pour la forme de la fissure ainsi que des formules ont été proposées. Malheureusement, la forme est non seulement fonction du type de détail soudé, mais également de la géométrie locale, de la profondeur de la fissure (a/c = f(a)), des phénomènes de coalescence et de l‟étendue de contrainte appliquée (type et valeur). En toute rigueur il faudrait considérer tous ces paramètres, mais les données sont nettement insuffisantes. La simplicité est alors préférée et des lois de distribution pour a/c en fonction uniquement du type de détail sont choisies.
5-4- Facteur d’incertitude sur la détermination des forces et contraintes de fatigue
Cette variable regroupe les incertitudes sur le modèle, c‟est à dire les incertitudes de calcul sur le chargement ainsi que sur l‟évaluation des contraintes dans la pièce. Comme première hypothèse, il est admis que ce facteur ne concerne que le modèle de fatigue car c‟est sur la détermination des charges réelles de fatigue qu‟il y a les plus grandes en incertitudes (par rapport aux valeurs réelles des charges permanentes et du chargement maximale).
5-5- Facteurs d’incertitude sur les coefficients v, w deMk
Les coefficients v et w sont adimensionnels et sont fonction de la géométrie de chaque type de détail. Pour évaluer la dispersion sur ces paramètres, des échantillons statistiquement homogènes de mesures de la géométrie de joints soudés sont pris en considération dont deux sont sélectionnées qui concernent les types d‟attaches les plus courantes, c‟est à dire transversales et longitudinales non-chargées. v et w suivaient des lois normales et ainsi il y avait une forte corrélation entre ces deux variables.
5-6 - Constante et exposant de la loi de PARIS C et m
Deux théories différentes existent pour qualifier les paramètres de la loi de Paris :