9.3 Transmission par ligne
9.3.2 Propriétés électriques du cuivre
En régime statique, les lignes constituées de cuivre possèdent des propriétés électriques qui, au niveau macroscopique, s’expriment principalement par une résistance, un effet capacitif et un effet inductif.
Résistance
Un fil de cuivre de sectionAprésente une résistance au courant de valeur
R = ρl
A (9.7)
oùρetldésignent respectivement la résistivité du conducteur et la longueur du fil (cf. figure9.2).
Ce paramètre, différent pour tout fil, a une influence directe sur l’atténuation de l’onde transpor- tée. l L l r h
FIG. 9.2 – Résistance d’un conducteur.
Mais ce n’est pas le seul paramètre important car il faut également tenir compte des effets capacitifs et inductifs d’une paire de fils.
Capacité
On peut montrer que, pour les structures de la figure9.3, les capacités valent respectivement
C = 2π log(r2/r1) (9.8) C = π log(s/r) (9.9) Inductance
Quant à la valeur de l’inductance, elle s’obtient en tirant profit de la propriété générale sui- vante
LC = (9.10)
Dans ce qui suit, la ligne est considérée comme idéale, c’est-à-dire comme ayant les mêmes propriétés électriques sur toute sa longueur.
r
r
r2
r1
Coaxe Paire de fils Fil au-dessus d’un plan
s
s
FIG. 9.3 – Section de différentes lignes.
9.3.3 Propagation
La propagation d’un onde électromagnétique le long d’une ligne de transmission prend la forme d’une onde électromagnétique transverse (TEM, Transverse Electromagnetic Mode). L’onde se propage d’abord dans le diélectrique qui sépare les deux conducteurs d’une ligne de transmission. La figure9.4montre les formes des champs dans une série de structures électriques à deux conducteurs.
Lignes de champ magnétique Lignes de champ électrique
bifilaire 2 plans
coaxe
FIG. 9.4 – Configuration du champ électromagnétique en mode TEM pour quelques types de
lignes.
9.3.4 Modèle électrique
Ldz Rdz
Gdz Cdz
FIG. 9.5 – Segment de ligne infinitésimal.
Paramètres primaires
R,L,CetGsont appelésparamètres primairesde la ligne avec :
– R = résistance linéique élémentaire, représentant la résistance de la ligne par unité de
longueur[Ω/m]. Elle dépend en particulier de la section et de la nature du conducteur,
– L= inductance linéique[H/m], modélisant la présence de champ électrique inter et intra-
structures conductrices,
– C= capacité linéique[F/m], caractérisant la capacité du diélectrique constituant la ligne,
– G= admittance linéique[Ω−1/m], représentant les pertes diélectriques et les défauts d’iso- lation de la ligne. Elle dépend de la nature des isolants.
Équations des télégraphistes
En mettant bout à bout des segments de ligne infinitésimaux et sur base du schéma de la fi- gure9.6, on obtient aisément le système d’équations suivantes, diteséquations des télégraphistes,
∂V ∂z = RI + L ∂I ∂t (9.11) ∂I ∂z = GV + C ∂V ∂t (9.12) V (z) I(z + dz) = I(z) − dI Générateur I(z) Ldz Rdz Gdz Cdz V (z + dz) = V (z) − dV Charge
La solution du système s’écrit sous la forme d’une équation aux dérivées partielles du second ordre ∂2V ∂z2 = RGV + (RC + LG) ∂V ∂t + LC ∂V2 ∂t2 (9.13)
Cas particulier 1 : ligne sans perte
Dans le cas d’une ligne sans perte (R = G = 0), ∂2V
∂z2 = LC
∂V2
∂t2 (9.14)
ce qui correspond à une équation d’ondes bien connue dont une combinaison linéaire de signaux sinusoïdaux
V (z, t) = (A cos kz + B sin kz)(C cos 2πf t + D sin 2πf t) (9.15)
Cas particulier 2 : régime permanent
En régime permanent,V (z, t) = V (z)ejωt. La solution est de la forme
∂2V
∂z2 = (R + jLω)(G + jCω)V (z) = γ
2V (z) (9.16)
En prenantγ = α + jβ, on obtient
V (z) = Vie−γz + Vreγz (9.17)
L’onde est donc une onde atténuée parα. On voit tout de suite que l’atténuation croît avec la
longueur de la ligne.
Ce facteur d’atténuation ne signifie pas que toute transmission soit impossible mais bien que le signal est atténué dès qu’il y a des pertes dans le conducteur. L’analyse en détail de la question montre que l’atténuation dépend de la fréquence. En fait, elle augmente avec la fréquence. Il est dès lors plus intéressant d’utiliser les basses fréquences pour la transmission. Néanmoins, rien n’empêche d’utiliser les zones d’atténuation plus importantes. C’est le mode de fonctionnement des modems à haut débit ADSL dont le spectre d’utilisation est montré à la figure9.7.
Paramètres secondaires
Les paramètres primaires ne modélisent la ligne que d’une manière grossière. On leur préfère souvent les paramètres ditssecondairessuivants pour déterminer les propriétés du support :
– impédance caractéristiqueZc
C’est une donnée complexe qui représente l’impédance d’entrée d’une ligne qui serait connectée à sa sortie sur une impédance égale àZc. En pratique, on doit absolument tenir
compte de la valeur de l’impédance lors du raccordement de lignes ou d’équipements à un réseau. En effet, si deux lignes n’ont pas la même impédance, le droit du raccord
Téléphone : 0 − 4kHz
en remontée : 25 − 100kHz
en descente : 100kHz − 1MHz
f
FIG. 9.7 – Spectre d’un signal ADSL.
– coefficient de propagationγ (cf. supra)
Par définition :γ = α + jβoù
– α= affaiblissement linéique en Néper/mètre[N p/m]2
– β= déphasage linéique (en[rad/m])
αreprésente les pertes subies par le signal électrique lors de la propagation le long de la ligne. Il
se mesure en injectant un signal à l’une des extrémités de la ligne et en mesurant le signal reçu à l’autre extrémité. β est lié à la longueur d’onde λ et à la vitesse de propagation v de l’onde
électromagnétique dans le support par
β = 2π
λ =
2πf
v (9.18)
Relations entre les paramètres primaires et secondaires
Les paramètres primaires et secondaires sont liés par les relations suivantes
Zc =
s
R + j2πf L
G + j2πf C (9.19)
γ = p(R + j2πf L)(G + j2πf C) (9.20)
Ces équations sont générales et valables sur tout type de ligne. Toutefois, certaines simplifica- tions sont possibles en considérant un caractère plutôt inductif ou pas de ligne, une fréquence d’utilisation élevée ou non. D’autre part, on peut raisonnablement admettre que l’admittance linéique est négligeable, autrement dit G = 0, en raison de la présence d’un isolant entre les
conducteurs.
Après étude des variations des paramètres secondaires en fonction de la fréquence pour une ligne à caractère inductif ou en haute fréquence (2πf L R), ou pour l’utilisation en fréquences
vocales (2πf L R), on constate que :
– si 2πf L R, Zc est complexe et varie proportionnellement à1/√f, α etβ à√f, ceci provoquant des distorsions d’amplitude et de phase.
– si 2πf L R, Zc est réelle et indépendante def, β croît linéairement avecf ce qui se traduit par l’absence de distorsion de phase.αest indépendant defs’il n’existe pas d’effet
de peau (densité de courant uniforme dans toute la section du conducteur). Dans le cas contraire, une distorsion d’amplitude apparaît etαest proportionnel à√f(ce qui est le cas
des lignes en hautes fréquences). Diaphonie
Lorsque deux lignes sont spatialement proches, il peut exister une influence parasite entre les signaux d’information qui sont véhiculés sur chaque voie. Cette perturbation est appelée diaphonie. Z Z Paradiaphonie Z du signal Puissance Z Z Z Z Z du signal Puissance Télédiaphonie
FIG. 9.8 – Paradiaphonie (NEXT) et télédiaphonie (FEXT).
Selon que la ligne perturbatrice provoque un parasite vers l’une ou l’autre des extrémités de la ligne parasitée, on parle deparadiaphonie(NEXT en anglais) ou detélédiaphonie (FEXT en anglais) (figure9.8).
L’affaiblissement paradiaphoniqueest en particulier une grandeur importante dans la pratique pour caractériser un câble de transmission : il permet d’évaluer, à l’entrée d’une ligne perturbée, la perte de signal provoquée par la ligne perturbatrice voisine. Il dépend de la distance entre les lignes d’un même câble, des combinaisons des pas de torsades (pour les paires torsadées) et de la technique de construction du câble.