Dans la modulation d’amplitude, partant d’une porteuse c(t) = Accos(2πfct + φc), on a rendu l’amplitude Ac fonction linéaire du signal modulantm(t). Dans le cas de la modulation angulaire, on introduit une telle dépendance pour l’argument de la fonction cosinus. Cela est moins évident qu’il n’y paraît à première vue. Quel paramètre doit devenir une fonction linéaire du signal modulant ? On peut en effet choisir de prendre l’argument de la fonction cosinus ou seulement la fréquence de la porteuse. Dans le premier cas, il s’agit de modulation de phase, tandis que dans le second cas on parlerait plutôt demodulation de fréquence.
Dans les deux cas, l’argument de la fonction cosinus n’est plus une fonction linéaire du temps. Mais dans la mesure où l’on définirait la phase comme l’argument de la fonction cosinus, une modulation de fréquence s’accompagnera nécessairement d’une modulation de phase. Comme on le devine, les concepts de modulation de phase et de fréquence sont strictement indissociables. C’est pourquoi on utilisera le terme général demodulation angulaire.
5.3.1 Principes et définitions
Dans la modulation angulaire, le signal modulé prend la forme
s(t) = Accos φi(t) (5.29)
oùφi(t), appeléephase instantanéedu signal modulé, est une fonction du signal modulant. En l’absence de modulation, on aurait évidemmentφi(t) = 2πfct + φcoùφcest la phase au temps
t = 0. Remarquons que la modulation angulaire n’affecte pas l’amplitude la porteuse.
Définition 31 L’amplitude de la déviation instantanée de phase
β = max |4φi(t)| (5.31)
est appeléeindice de modulation.
Elle joue un rôle important, comme nous le verrons ultérieurement. La déviation instantanée de phase peut être interprétée comme une variation de la fréquence.
Définition 32 Par définition, la quantité
fi(t) =
1 2π
dφi(t)
dt (5.32)
est lafréquence instantanée.
Bien entendu, en l’absence de modulation angulaire, on retrouve la fréquence de la porteusefc. Ce n’est pas tant la fréquence qui importe mais la différence entre la fréquence instantanée et la fréquence porteuse. Tout comme pour la phase, on définit ladéviation instantanée de fréquence. Définition 33 La déviation instantanée de fréquence4fi(t)est l’écart entre la fréquence de la
porteuse et la fréquence instantanée
4fi(t) = fi(t) − fc (5.33)
Définition 34 Le maximum de la déviation instantanée de fréquence4fi(t)fournit l’excursion
de fréquence4fdéfinie par
4f = max |4fi(t)| (5.34)
Des définitions précises des divers types de modulation angulaire seront données plus loin. On peut déjà dire que la modulation angulaire consiste à faire varier, selon une loi linéaire bien précise, une des quantités4φi(t)ou4fi(t). Comme suite des définitions qui précèdent, il appa- raît que l’on ne peut faire varier l’une sans l’autre ; une modulation de phase entraîne donc une modulation de fréquence et inversement.
Dans le jargon technique, on utilise aussi le terme de taux de modulation : il s’agit de la quantité 4f/4fmax, où4fmax est la valeur maximale de l’excursion de fréquence autori- sée par les règlements régissant le partage des fréquences, par exemple par le Règlement des radiocommunications. Ainsi, en radiodiffusion sonore à modulation de fréquence, on impose
4fmax= 75 [kHz].
À condition de faire varier un paramètre de la phase comme une fonction linéaire du signal modulant, on obtient une modulation appelée modulation angulaire. Dans cette modulation, le signal modulant m(t) est généralement un signal alternatif, tel qu’un signal sonore, oscillant
entre−1et+1. Pour l’instant, il s’agira d’un signal continu, auquel cas on parle demodulation
angulaire analogiquede typeF3.
Parmi toutes les possibilités de modulation angulaire, on distingue la modulation de phase pure et la modulation de fréquence pure.
Modulation de phase pure
Définition 35 Lamodulation dephase (Phase Modulation, PM) consiste à faire varier la phase
φi(t)en fonction du signal modulant3m(t), à savoir (on prendφc= 0)
φi(t) = 2πfct + kpm(t) (5.35)
Le terme2πfctreprésente la phase de la porteuse en l’absence de modulation. La présence d’une tension modulante affecte cette phase en fonction d’un coefficientkp qui représente la sensibilité du modulateur ; elle s’exprime en radians par volt. Le signal modulé vaut donc
s(t) = Accos(2πfct + kpm(t)) (5.36)
La fréquence instantanée de la cosinusoïde est la dérivée de la phase divisée par2π fi(t) = 1 2π dφi(t) dt = fc+ kp 2π dm(t) dt (5.37)
Il s’ensuit que la modulation de phase revient à modifier la fréquence de la porteuse. La déviation de fréquence instantanée vaut
4fi(t) =
kp
2π dm(t)
dt (5.38)
Modulation de fréquence pure
Définition 36 Par définition de la modulation de fréquence (Frequency Modulation, FM), la
déviation instantanéefi(t)est proportionnelle au signal modulant
fi(t) = fc+ kfm(t) (5.39)
La fréquence résultante est donc liée, via la sensibilité du modulateurkf exprimée en[Hz/V ], au signal modulant. La phase du signal modulé se calcule par l’intégrale de la fréquence instantanée (on prendφc= 0)
φi(t) = 2πfct + 2πkf
Z t 0
m(t0)dt0 (5.40)
Dès lors le signal modulé vaut
s(t) = Accos(2πfct + 2πkf
Z t 0
m(t0)dt0) (5.41)
Les relations5.37et5.40mettent bien en évidence qu’une modulation de phase entraîne une modulation de fréquence, et vice versa. Plus précisément, on peut affirmer que la modulation de phase se réduit à une modulation de fréquence par le signal modulant préalablement dérivé. Inversement, une modulation de fréquence est une modulation de phase par l’intégrale du signal modulant. Ces schémas sont représentés à la figure5.10.
Accos(2πfct) Accos(2πfct) m(t) m(t) Modulateur PM Onde FM Onde PM Modulateur FM Dérivateur Intégrateur
FIG. 5.10 – Liens entre modulation de phase et modulation de fréquence.
Illustration des techniques de modulation
En conséquence de la modulation de la phase, les passages par0de la fonction ne sont plus
équidistants ; par contre, l’enveloppe reste constante. La figure5.11 montre un signal modulant original et les signaux modulés respectivement en amplitude, en phase et en fréquence.
5.3.2 Bande passante requise
La bande passante d’une modulation FM à grand indice est théoriquement infinie. Il apparaît néanmoins que la puissance est principalement véhiculée par la porteuse et quelques harmo- niques autour de cette fréquence.
Estimation empirique
On peut alors estimer la bande passante au moyen de la formule empirique suivante Proposition 37 [Règle de CARSON] La bande passante requise est
B ' 2 (4f + fm) = 24f 1 + 1 β β > 100 (5.42)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 −0.5 0 0.5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 −10 0 10 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 −10 0 10 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 −10 0 10
Pour une modulation à faible indice (par exempleβ < 0, 5), la bande passante est approxi-
mativement
B ' 2fm β < 0, 5 (5.43)
Pour des valeurs d’indice β intermédiaires (0, 5 ≤ β ≤ 100), la règle de CARSON sous-
estime la largeur de bande. On prend alors la valeur de larègle modifiéesuivante
B ' 2 (24f + fm) = 24f 2 + 1 β 0, 5 ≤ β ≤ 100 (5.44)
Exemple. La déviation maximale de fréquence en radio FM est limitée à 4f = 75 [kHz].
Comme le signal composite d’une émission audio stéréo s’étend, jusqu’à fm = 60 [kHz], on obtient une bande passante de l’ordre de270 [kHz]par la formule de CARSON.
5.3.3 Résumé des principaux résultats des modulations d’onde continue
Le tableau 5.12 reprend l’expression analytique de certains signaux modulés ainsi que leur spectre respectif.