Quelques codes courants

8.6.1 Code de H

Les codes de HAMMING constituent un sous-ensemble des codes en blocs pour lesquels (n, k)valent

(n, k) = (2m_{− 1, 2}m_{− 1 − m)} (8.37)

pourm = 2, 3, . . .Ces codes ont une distance minimale de3. En conséquence, ils permettent la

correction d’une erreur simple ou la détection de toute combinaison d’au plus deux erreurs. SKLAR [21, page 298] montre que la probabilité d’erreur s’écrit

PB ' p − p(1 − p)n−1 (8.38)

oùpest la probabilité d’erreur du canal.

Il est utile de relier cette relation au taux d’erreur de détection classique. Prenons le cas d’une démodulation BPSK cohérente. Le taux d’erreur due à un bruit additif gaussien dans le canal est

Pe= 1 2 r Ec N0 ! (8.39)

Ecreprésente l’énergie par symbole (binaire) du message source. On relie aisément l’énergie par bit réellement transmisEb àEc

Eb =

n

kEc (8.40)

Ce qui, dans le cas d’un code de HAMMING, conduit à déterminer la probabilité d’erreur par bit

dans l’expression8.39. Cette relation est utile si l’on veut comparer les performances d’un code comprenant ou non un précodage de redondance car elle permet de normaliser l’énergie par bit lors du tracé des courbes d’erreur. C’est ainsi qu’on calcule l’expression des courbes d’erreur correspondantes à différents couples de précodage.

Le code a pour effet de modifier l’inclinaison de la courbe de probabilité d’erreur. Au-delà d’une certaine valeur du rapport énergie par bit à puissance de bruit (Eb/N0), il est préférable. Au droit du point d’intersection d’une courbe de précodage avec la courbe sans précodage, un accroissement d’undB signifie une différence de taux de probabilités d’erreur qui peut atteindre

plusieurs ordres de grandeur.

Mais que l’on ne s’y trompe pas, l’utilisation d’un précodage n’a pas que des avantages. En effet, un taux de redondance de1/2 entraîne le doublement de bande passante. Or, près de 0 [dB], l’absence de précodage garantit encore la meilleure performance. Utiliser un précodage

dans cette plage conduirait à accroître la bande de fréquences tout en diminuant les performances.

8.6.2 Code de G

étendu

Un des codes les plus utiles est le code binaire(24, 12), appelécode de GOLAYétendu, formé

en ajoutant un bit de parité couvrant la totalité d’un code(23, 12). L’ajout de ce bit fait basculer

le distance minimale de7à8. De plus, le taux de codage d’un demi est facilement réalisable.

Le taux d’erreur est significativement plus faible que celui d’un code de HAMMING.

8.6.3 Code BCH

Les codes de BOSE-CHADHURI-HOCQUENGHEM (BCH) constituent une généralisation des

codes de HAMMING. Il s’agit de codes cycliques permettant, entre autres, la correction d’erreurs

multiples.

8.6.4 Autres codes

Pour être complet, mentionnons encore l’existence d’autres codes :

– Codes de REED-SOLOMON. Ces codes font partie des codes BCH non binaires ; ils sont

antérieurs à la généralisation effectuée lors de la découverte des codes BCH.

– Turbo-codes. Il s’agit de codes, relativement récents, ayant des propriétés remarquables pour des canaux particulièrement bruités, là où les codes plus anciens ne conviennent pas. Ces codes combinent des bits de parité horizontaux avec des bits de parité verticaux.

Chapitre 9

Supports de transmission

9.1 Introduction

La transmission peut se réaliser sur différents supports (câble coaxial, paire torsadée, fibre optique, . . . ) ou dans l’air. Si les lois de MAXWELL régissent l’ensemble des phénomènes de

propagation électromagnétiques, les propriétés des matériaux influencent considérablement les performances, rendant les supports non interchangeables à bien des égards.

La figure 9.1 montre les performances que l’on peut espérer avec les différents supports de transmission physiques. Très clairement, c’est l’utilisation de la fibre monomode qui représente le meilleur choix actuel.

1 1 10 100 1000 10 100 1000 10000 Fibre monomode

Fibre à gradient d’indice Câble

Paire torsadée

Taux de transmission [Mb/s] Distance maximale [km]

9.2 Propagation

9.2.1 Équations de M

La propagation des ondes électromagnétiques est régie par les équations de MAXWELL. Ces

équations établissent un lien entre les sources de rayonnement et les champs électromagnétiques. On peut les écrire sous plusieurs formes : les formes locale ou intégrale, d’une part, décrites le domaine temporel ou fréquentiel, d’autre part.

Ces équations constituent l’outil de base de tous ceux qui ont à appliquer ou développer l’électricité : génération et transmission de puissance, composants électroniques, radio, hyperfré- quences, radar, fibres optiques, etc. Dans le domaine temporel et sous forme locale, les équations

de MAXWELL s’écrivent [18] ∇ ×−→E _{= −}∂ − →_B ∂t (9.1) ∇ ×−→H = −→J + ∂ − →_D ∂t (9.2) ∇.−→D = ρ (9.3) ∇.−→B = 0 (9.4)

À l’exception de la densité de chargeρ, toutes les grandeurs sont des champs deR3, variables

dans le temps. Le champ électrique−→E [V /m]est généré par la variation temporelle de l’induction

magnétique, parfois appelé champ magnétique,−→B [tesla]ou[V s/m2_]. Quant au champ magné- tique −→H [A/m], il peut résulter de la présence d’une densité de courant −→J [C/m2_] ou d’une variation de la densité de flux électrique−→D.

Vitesse de propagation des ondes

La lumière est un exemple familier de propagation électromagnétique. Les ondes radio consti- tuent une autre classe d’ondes électromagnétiques, mais elles diffèrent de la lumière par leur fréquence qui est plus petite de plusieurs ordres de grandeur.

Une onde se propage dans le vide à la vitesse de_{3 × 10}8_[m/s]. Dans l’air, l’onde se propage moins vite et nettement moins vite le long d’une ligne de transmission.

9.2.2 Limitations

Quatre phénomènes affectent le débit associé à une onde électromagnétique :

Atténuation L’atténuation est un phénomène équivalent à une perte d’énergie du signal se pro- pageant. On l’exprime généralement en[dB]par kilomètre.

Distorsion Un canal qui fournit en sortie la version du signal original ainsi que des versions atténuées décalées dans le temps, introduit un effet de distorsion d’amplitude et de phase.

Dispersion La dispersion est le phénomène à l’origine d’un étalement de l’onde, ce qui dans le cas de communications numériques, se répercute par une confusion entre symboles suc- cessifs.

Bruit Il est totalement impossible d’éviter un bruit dans un système de communications. En fait, les équipements génèrent eux-mêmes un bruit. À cela vient se rajouter le bruit du canal. Aujourd’hui, on préfère utiliser des techniques de transmission numériques pour contrer les effets d’un bruit additif de canal. On peut ainsi espérer un taux d’erreur de l’ordre de

10−12pour une transmission sur fibre optique et₁₀−7 sur une paire de cuivre.

En pratique, le taux d’erreur par bitPen’est pas le seul paramètre significatif pour une transmis- sion numérique. En effet, les bits d’information sont rarement isolés ; ils sont plutôt regroupés par paquets. Or, une erreur sur 1 bit du paquet revient à considérer le paquet comme fautif dans sa totalité.

SoitN, la taille des paquets à transmettre, la probabilité d’erreur par paquet vaut

PP = 1 − (1 − Pe)N (9.5)

ce qui s’exprime par

PP ' N × Pe si N × Pe  1 (9.6)

Exemple. Une taille de paquetN = 105 et un taux d’erreur par bit_P

e = 10−7 conduit àPP '

10−2.